ケプラーの第 3 法則は、円軌道を考えれば短く導けます。楕円のままでも答えは同じ形になるので、まず円で出します。
惑星を円軌道に保っているのは万有引力です。中心を向く力はこれしかありませんから、これがそのまま向心力になります。向心力は と書けたので、 と置けます。
「万有引力＝向心力」と書けるのは、ほかに中心を向く力がないからです。向心力という別の力を足したのではありません。万有引力がその役をしている、というだけです。
この 本を整理すれば、あとは計算だけです。両辺を で割り、 を掛けると になります。
いま両辺から が消えました。ここが大事なところです。
同じ半径の軌道なら、重い惑星も軽い惑星も同じ角速度で回る、ということです。図の つは重さが違うのに、同じ軌道を同じ歩調で回っています。物の落ち方が重さによらないのと同じ理由で、引かれる力も動きにくさも、どちらも同じ に比例するので差し引きで消えます。
を周期に直します。 を入れて整理すると です。周期の 乗が軌道の半径の 乗に比例します。
右辺に残ったのは と中心星の質量 、それに軌道の大きさだけです。回っている側の情報はどこにもありません。人工衛星が何トンでも、同じ高さなら同じ周期で回ります。
円で出した式は、楕円でもそのまま成り立ちます。半径 を半長軸 に置き換えるだけで、 となります。これがケプラーの第 3 法則です。
横軸に 、縦軸に を取れば、同じ中心星をまわる天体の点は 本の直線に並びます。図の点が内側ほど原点の近くに集まっているのは、 が 乗で効くからです。少し外へ行くだけで が跳ね上がります。
直線の傾きは で、惑星のことは何も入っていません。中心星の質量だけで決まります。だから太陽系の惑星はすべて同じ直線に乗り、木星の衛星どうしはまた別の直線に乗ります。
これを逆に読むと、天体の重さを測る道具になります。 と は望遠鏡で測れる量ですから、 に入れれば中心星の質量が出ます。触れない天体の質量が分かるのは、この式のおかげです。
第 3 法則は、周期を決めれば軌道の大きさが決まる、という向きにも読めます。その例が静止衛星です。
地上から見て止まって見えるには、地球の自転と同じ周期で、同じ向きに、赤道の上を回ればよいことになります。周期が決まってしまうので、 を について解けば、回る高さが つに決まります。
図では地表の目印と衛星が、いつも一直線に並んだまま回っています。地上から見上げると、衛星は空の一点に貼り付いて見えます。
高さを好きに選べるわけではない、というのがこの問題の勘どころです。低く飛ばせば周期が短くなって西へ流れ、高く上げれば周期が長くなって東へ遅れます。この周期なら、この高さしかありません。