ばねを だけのばすには仕事が要ります。ところがばねの力は で、のばすほど強くなります。一定ではないので、力と距離を掛けるだけでは求まりません。
– のグラフを描くと、力は原点を通る直線になります。仕事はこの直線の下の面積、つまり三角形の面積です。底辺が 、高さが ですから 。これがばねにたくわえられたエネルギー です。
が付くのは、はたらいた力の平均が だからだ、と言っても同じことです。 から まで一様に増えるので、平均はちょうど真ん中になります。
おもりが動くあいだ、運動エネルギー とばねのエネルギー は、たがいに入れ替わります。棒の中の境目だけが動いて、全長は動きません。
端では速さが なので全部が 、中心ではのびが なので全部が です。講義2 で見た「端で 、中心で 」が、そのまま棒になっています。
和はいつも端での値に等しく、 です。 と は 1 往復のあいだに 2 度ずつ になるので、この 2 つだけを見ると振動の 2 倍の速さで往復していることになります。
エネルギーの式を について解きます。 から、 となります。
時刻 が消えました。いつの話なのかを知らなくても、どこにいるかが分かれば速さが出ます。入試でいちばん使う道具がこれです。符号が なのは、同じ位置を右向きにも左向きにも通るからです。
を縦、 を横に取って描くと楕円になります。講義1・2 で回していた円が、ここでは楕円として戻ってきます。おもりが 1 往復するあいだに、点はこの楕円を 1 周します。
振幅の違う 2 つの振動を並べます。周期は同じままで、2 つのおもりは同時に端へ着きます。講義1 の等時性のとおり、振幅は周期に効きません。
ところがエネルギーは違います。 ですから、振幅を半分にすると になります。棒の長さが 4 対 1 で並びます。
振幅を 2 倍にしても往復にかかる時間は変わらないのに、そこまで持っていくのに要るエネルギーは 4 倍になる。周期と振幅、エネルギーと振幅は、まったく別の効き方をします。