振り子のおもりにはたらく力は、重力と糸の張力の 2 つでした。このうち張力は、おもりの進む向きといつも直角を向いています。
おもりは糸の長さだけ離れた円の上を動くので、進む向きは円の接線です。張力は糸に沿う向き、つまり半径の向き。円では、接線と半径はどこでも直角に交わります。
直角にはたらく力は仕事をしません。仕事は、力と、その力の向きに進んだ距離の積ですが、直角ならその向きへはまったく進んでいないからです。張力はおもりの向きを変えるだけで、速さには手を出しません。
仕事をするのは重力だけということになります。重力は保存力ですから、力学的エネルギーは保存します。おもりが速くなるのも遅くなるのも、高さが変わったぶんだけです。
そこで、最下点からどれだけ持ち上がっているかが要ります。図の縦の線を見てください。支点からおもりの高さまでが 、そこから最下点までが です。
2 つを足すと糸の長さ になりますから、、まとめて です。角が のとき も で、角が大きいほど高く持ち上がります。
が出てくると身構えてしまいますが、やっていることは直角三角形 1 つぶんです。斜辺が 、その鉛直の辺が 。振り子のエネルギーの問題は、たいていここでつまずきます。
高さが分かれば位置エネルギーが出ます。最下点を基準に取って です。
おもりが動くあいだ、運動エネルギー と位置エネルギー はたがいに入れ替わります。棒の中の境目だけが動いて、全長は動きません。端では速さが なので全部が 、最下点では高さが なので全部が です。
和はいつも、放したところでの値に等しくなります。 です。 は放した高さ、つまり のことです。
を について解きます。 から、両辺の が消えて となります。
が消えました。重いおもりでも軽いおもりでも、同じ高さから放せば同じ速さになります。時刻 も出てきません。いつの話なのかを知らなくても、どこにいるかが分かれば速さが求まります。入試でいちばん使う道具がこれです。
高さを角で書き直せば です。最下点では で となっていちばん速く、端では で になります。前の講義で、接線の向きの力が端でいちばん強く最下点で消えていたのと、ちょうど裏返しの関係です。