イデアルの鎖はどこかで止まる - ネーター環

可換環 $A$ がネーター環であるとは、$A$ のすべてのイデアルが有限生成であることをいいます^[1,3]。生成元を有限個で書き切れる、という有限性の条件です。

同じ内容は、イデアルの並び方でも言えます。イデアルの昇鎖が途中で止まる、という言い方^[1,2]。

無限に太りつづけるイデアルの列を許さない環、と読むといちばん近い。エミー・ネーターの名から来ています^[2]。

3 つの同値な条件

次の 3 つは互いに同値です^[1,2,3]。どれをとっても定義として使える。

昇鎖が止まるとは、ある $n$ から先で $I_n=I_{n+1}=\cdots$ となること。以降は太らなくなる。

3 番目は「上限が必ずどこかにある」という言い方です。ツォルンの補題と違って、鎖の上界ではなく族の極大元をじかに要求している。

左の $\mathbb{Z}$ では $12\mathbb{Z}\subseteq 6\mathbb{Z}\subseteq 3\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{Z}$ と伸びます。$\mathbb{Z}$ に届いたところで打ち止め。

右は $(x_1)\subseteq (x_1,x_2)\subseteq \cdots$ といくらでも続く。変数がいくらでもあるので、生成元が増えつづけます。

この差が、そのままネーターかどうかの差になる。

同値性はどう出るか

$(1)\Rightarrow (2)$ は和集合をとるだけです。昇鎖 $I_1\subseteq I_2\subseteq \cdots$ の和集合 $I$ はイデアルになり、仮定から有限生成。

生成元が有限個なら、全部を含む段 $I_n$ がどこかにある。そこから先は $I_n=I$ のまま動きません。

$(2)\Rightarrow (3)$ は背理法です。極大元を持たない族があれば、どの元にも真に大きい元があるので、無限昇鎖が作れてしまう。

$(3)\Rightarrow (1)$ は少し工夫がいる。イデアル $I$ の有限生成部分イデアルの族に極大元 $J$ をとる。

$J\ne I$ なら $I\setminus J$ の元 $a$ を足した $J+(a)$ が、より大きい有限生成部分イデアルになります。極大性に反するので $J=I$、つまり $I$ は有限生成です。

ヒルベルトの基底定理

$A$ がネーター環なら、多項式環 $A[x]$ もネーター環になる^[1,2,3]。ヒルベルトの基底定理と呼ばれる結果です。

証明の骨は最高次係数です。$A[x]$ のイデアル $I$ について、次数ごとに最高次係数を集めるとイデアルの昇鎖ができる。

$A$ がネーターなのでその昇鎖は止まる。止まったところまでの有限個の多項式が $I$ を生む、という筋道になります。

変数を繰り返せば $A[x_1,\dots ,x_n]$ もネーターです。体 $k$ は自明にネーターなので、$k[x_1,\dots ,x_n]$ とその剰余環がすべてネーターになる^[4]。

これは代数幾何の土台です。アフィン多様体の座標環がすべてネーターになるので、有限性の議論が全域で使える。

形式的冪級数環 $A[[x]]$ についても同じことが成り立つ^[3]。

例: 整数環と単項イデアル整域

$\mathbb{Z}$ はネーター環です^[2]。イデアルはすべて $n\mathbb{Z}$ の形で、生成元が $1$ 個ですから有限生成。

単項イデアル整域なら同じ理由でネーターになる。$k[x]$ もガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]$ も、この型に入る^[3]。

代数体の整数環はデデキント環で、これもネーターです^[1,3]。イデアルの生成元は $2$ 個で足りる。

体は自明にネーターです。イデアルが $2$ つしかない。

反例: 変数が無限にある多項式環

$k[x_1,x_2,x_3,\dots ]$ はネーターになりません^[1,2,3]。変数を全部含むイデアル $(x_1,x_2,\dots )$ が有限生成でないためです。

有限個の生成元をとると、そこに現れる変数も有限個。使われていない変数はその有限個から作れません。

昇鎖でも同じことが見えます。$(x_1)⊊(x_1,x_2)⊊(x_1,x_2,x_3)⊊\cdots$ が止まらない。

反例: 連続関数の環

実数上の連続関数全体 $C(\mathbb{R})$ もネーターではありません^[1]。

区間 $[n,\infty )$ で $0$ になる関数を集めるとイデアルができる。$n$ を大きくするほどイデアルは小さくなり、逆向きにとれば止まらない昇鎖が作れる。

反例: すべての代数的整数の環

代数的整数を全部集めた環もネーターになりません^[1]。$2$ の平方根、$4$ 乗根、$8$ 乗根と続けていける。

$$(2)⊊(2^{1/2})⊊(2^{1/4})⊊(2^{1/8})⊊\cdots$$

昇鎖がどこまでも伸びる。個々の代数体の整数環はネーターなのに、全部を合わせると崩れる。

剰余環と局所化は受けつぐ

ネーター環の剰余環はネーター環です^[1,2]。$A/I$ のイデアルは $A$ のイデアルの像なので、生成元の個数が増えません。

局所化も同じです。$S$ を積閉集合とすると $S^{-1}A$ はネーター環になる^[4]。$S^{-1}A$ のイデアルは $A$ のイデアルから伸ばしたものに限られるため。

有限生成な $A$ 代数もネーターです^[4]。多項式環の剰余環として書けるので、基底定理と剰余環の性質から出る。

部分環については成り立ちません^[3]。ネーター環の中に、ネーターでない部分環が入っていることがある。

ネーター加群

同じ条件は加群にも置ける。部分加群がすべて有限生成な $A$ 加群を、ネーター加群と呼ぶ^[2,3]。

$A$ がネーター環であることは、$A$ を自分自身の上の加群と見たときネーター加群であることと同じです。

ネーター環の上では、有限生成加群がすべてネーター加群になる^[1]。有限生成加群の部分加群がまた有限生成になる、という形で効いてくる^[5]。

有限生成であることと有限表示であることも一致する^[5]。関係式の側も有限個で書き切れる。

準素分解

ネーター環のすべてのイデアルは、有限個の準素イデアルの共通部分に書けます^[1,3]。ラスカー・ネーターの定理と呼ばれます。

素因数分解の一般化にあたる。整数で言えば $12=4\cdot 3$ が $(12)=(4)\cap (3)$ に対応する。

分解に現れる素イデアルの集まりは一意に決まる。イデアルそのものの分解は一意とは限りません。

素因数分解ほどきれいには決まらない、というところが $\mathbb{Z}$ との違いです。それでも有限個で書ける保証が付くところに、ネーター性が効いている。

クルルの交叉定理

ネーター局所環 $(A,\mathfrak{m})$ では、次が成り立ちます^[1]。

$$\bigcap _{n\ge 1}{\mathfrak{m}}^n=0$$

$\mathfrak{m}$ の冪をどこまでも交わらせると $0$ に落ちる。アルティン・リースの補題から出る結果です。

これは「無限に小さい元がない」という主張にあたる。冪級数展開が意味を持つ理由がここにある。

クルルの標高定理

ネーター環で $n$ 個の元が生成するイデアルの極小素イデアルは、高さが $n$ 以下になります^[1]。

生成元の本数が、素イデアルの鎖の長さを抑えるという形。ネーター環の次元が有限になる根拠の一つです。

局所環に限れば次元は必ず有限になる。ネーター環全体では、次元が無限になる例も作れる。

アルティン環との関係

イデアルの降鎖が止まる環をアルティン環と呼ぶ。昇鎖と降鎖で対称に見えますが、実は対称ではありません^[1,2]。

アルティン環は必ずネーター環です。秋月・ホプキンス・レヴィツキの定理と呼ばれる^[1]。

逆は成り立ちません。$\mathbb{Z}$ はネーターですがアルティンではなく、$(2)⊋(4)⊋(8)⊋\cdots$ が止まらない^[2]。

差は次元に出ます。アルティン環はクルル次元 $0$ で、素イデアルがすべて極大。ネーター環にその条件を足したものがアルティン環です。

素イデアルだけ見れば足りる

可換環では、判定の手間を減らせる。すべての素イデアルが有限生成なら、その環はネーターになる^[1]。

コーエンの定理と呼ばれる結果です。全部のイデアルを調べる必要がなく、素イデアルだけで済む。

よくある誤り

参考文献