接線の方程式を計算する：微分係数の問題

次の曲線の各点における接線の方程式を求めなさい．

$(1)y=x^2(1,1)$

$(2)y=x^2+3(2,7)$

$(3)y=2x^2-x+1(-1,4)$

$(4)y=-3x^2+2x-3(1,-4)$

答

$(1)y=x^2(1,1)$

$y\prime =2x$ だから $(1,1)$ における接線の傾きは $2\cdot 1=2$．接線の方程式は

$$\begin{array}{rl}y& =2(x-1)+1\\ & =2x-1\end{array}$$

$(2)y=x^2+3(2,7)$

$y\prime =2x$ だから $(2,7)$ における接線の傾きは $2\cdot 2=4$．接線の方程式は

$$\begin{array}{rl}y& =4(x-2)+7\\ & =4x-1\end{array}$$

$(3)y=2x^2-x+1(-1,4)$

$y\prime =4x-1$ だから $(-1,4)$ における接線の傾きは $4\cdot (-1)=-4$．接線の方程式は

$$\begin{array}{rl}y& =-4(x-(-1))+4\\ & =-4x\end{array}$$

$(4)y=-3x^2+2x-3(1,-4)$

$y\prime =-6x+2$ だから $(1,-4)$ における接線の傾きは $-6\cdot 1=-6$．接線の方程式は

$$\begin{array}{rl}y& =-6(x-1)+(-4)\\ & =-6x+2\end{array}$$