曲線に触れる直線をどう決めるか（接線の方程式と微分係数）

$y = x^{2}$ の点 $(1, 1)$ における接線は $y = 2 x - 1$ です。導関数 $2 x$ に $x = 1$ を入れて傾き $2$ 、通る点は $(1, 1)$ 。

直線は、通る点 1 つと傾き 1 つで決まります。接線の問題は、この 2 つを用意する作業です^[1]。

通る点

接点 $(a, f (a))$ 。 $x$ 座標が与えられていれば、 $y$ 座標は関数に代入して出す

傾き

その点での微分係数 $f^{'} (a)$ 。導関数を求めてから代入する

公式

点 $(a, f (a))$ を通り傾き $f^{'} (a)$ の直線を書くと、接線の方程式になります^[2]。

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

中学で習った「点 $(p, q)$ を通り傾き $m$ の直線は $y = m (x - p) + q$ 」に、 $m = f^{'} (a)$ を入れただけです。

新しい公式を覚えるというより、微分係数を傾きの場所へ差し込む形になります。

接点を動かすと接線も一緒に動きます。山と谷のところで水平になり、そのあいだでは下向きに傾く。

例：放物線の接線を 4 つ

接点が与えられている型です。導関数を出し、代入し、公式に入れる。

$y = x^{2}$ の $(1, 1)$ では $y^{'} = 2 x$ から傾き $2$ 。接線は $y = 2 (x - 1) + 1 = 2 x - 1$ です。

$y = x^{2} + 3$ の $(2, 7)$ では傾き $4$ 。 $y = 4 (x - 2) + 7 = 4 x - 1$ になります。

$y = 2 x^{2} - x + 1$ の $(- 1, 4)$ では $y^{'} = 4 x - 1$ から傾き $- 5$ 。 $y = - 5 (x + 1) + 4 = - 5 x - 1$ です。

$y = - 3 x^{2} + 2 x - 3$ の $(1, - 4)$ では $y^{'} = - 6 x + 2$ から傾き $- 4$ 。 $y = - 4 (x - 1) - 4 = - 4 x$ になります。

曲線	接点	接線
$y = x^{2}$	$(1, 1)$	$y = 2 x - 1$
$y = x^{2} + 3$	$(2, 7)$	$y = 4 x - 1$
$y = 2 x^{2} - x + 1$	$(- 1, 4)$	$y = - 5 x - 1$
$y = - 3 x^{2} + 2 x - 3$	$(1, - 4)$	$y = - 4 x$

$y = x^{2}$ と $y = x^{2} + 3$ は接点の $x$ が違うので、傾きも違います。 $3$ だけ上へずらした曲線でも、同じ $x$ なら傾きは同じです。

例： $x$ 座標だけが与えられる

接点の $y$ 座標が書かれていないこともあります。関数に代入して自分で出します。

$y = x^{2} - 4 x + 1$ の $x = 3$ における接線を求めます。

$f (3) = 9 - 12 + 1 = - 2$ なので接点は $(3, - 2)$ 。 $f^{'} (x) = 2 x - 4$ から傾きは $2$ です。

$y = 2 (x - 3) - 2 = 2 x - 8$

接点の $y$ 座標を出し忘れると、通る点が決まらずに止まります。最初に代入しておくのが安全です。

例：3 次関数の接線

$y = x^{3} - 2 x$ の $x = 2$ における接線を求めます。

$f (2) = 8 - 4 = 4$ 、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2$ から $f^{'} (2) = 10$ です。

$y = 10 (x - 2) + 4 = 10 x - 16$

この直線は接点のほかにもう 1 か所で曲線と交わります。連立して確かめます。

$x^{3} - 2 x x^{3} - 12 x + 16 (x - 2)^{2} (x + 4) = 10 x - 16 = 0 = 0$

$x = 2$ が重解、 $x = - 4$ が別の解です。 $x = - 4$ のところで接線が曲線を突き抜けています。

接するというのは、その点で重解になるという意味です。

1 点でしか出会わない、という意味ではない。3 次関数ではよそで交わることがある。

図にすると、触れている場所と横切っている場所の違いがはっきりします。

傾きから接点を探す

接点ではなく傾きが与えられる型もあります。 $f^{'} (a)$ が指定の値になる $a$ を先に求めます。

$y = x^{2}$ の接線で傾きが $4$ のものを出します。 $f^{'} (a) = 2 a = 4$ から $a = 2$ 。

接点は $(2, 4)$ なので、接線は $y = 4 (x - 2) + 4 = 4 x - 4$ です。

$y = x^{3} - 3 x$ で傾きが $9$ のものなら $3 a^{2} - 3 = 9$ から $a^{2} = 4$ 、 $a = \pm 2$ 。接点が 2 つ出ます。

$a = 2$ のとき $f (2) = 2$ で $y = 9 (x - 2) + 2 = 9 x - 16$ 。 $a = - 2$ のとき $f (- 2) = - 2$ で $y = 9 x + 16$ です。

指定の傾きと $f^{'} (a)$ を等号で結ぶ

$a$ を解いて接点を出す

公式に入れて式にする

3 次関数では $f^{'} (a)$ が 2 次式なので、 $a$ が 2 つ出ることがあります。答えも 2 本になる。

導関数の最小値より小さい傾きは作れません。 $3 x^{2} - 3$ の最小値が $- 3$ なので、それより下の傾きの接線はない。

例：曲線と直線が接する条件

$y = x^{2} + 1$ と $y = m x$ が接するような $m$ を求めます。

接点を $x = a$ とすると、条件は 2 つ。 $y$ 座標が一致することと、傾きが一致することです。

$a^{2} + 1 = ma$ と $2 a = m$ 。2 つめを 1 つめに入れると $a^{2} + 1 = 2 a^{2}$ となり $a^{2} = 1$ 。

$a = \pm 1$ から $m = \pm 2$ です。 $y = 2 x$ と $y = - 2 x$ の 2 本が接線になります。

判別式でも同じ答えが出ます。 $x^{2} - m x + 1 = 0$ の判別式 $m^{2} - 4 = 0$ から $m = \pm 2$ 。

微分で解く

接点での傾きが一致する、という条件を使う。3 次以上でも通じる

判別式で解く

連立した方程式が重解をもつ、という条件を使う。2 次までなら速い

どちらで解いても答えは同じです。問題文に「接する」とあれば、重解と傾きの一致は言いかえの関係にあります。

$y = x^{3} + 2 x$ の $x = 1$ における接線の方程式はどれですか。

$y = 5 x - 2$
$y = 5 x + 3$
$y = 3 x$

__RESULT__

$f (1) = 3$ 、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2$ から $f^{'} (1) = 5$ です。公式に入れて $y = 5 (x - 1) + 3 = 5 x - 2$ になります。 $5 x + 3$ は $- 5 a$ の項を足し忘れた形にあたります。

傾きが先に与えられる型も確かめます。

$y = x^{2} - 6 x$ の接線で、傾きが $0$ になるものはどれですか。

$y = 0$
$y = - 9$
存在しない

__RESULT__

$f^{'} (x) = 2 x - 6$ が $0$ になるのは $x = 3$ 。 $f (3) = 9 - 18 = - 9$ なので、接線は $y = - 9$ という水平な直線です。放物線の頂点を通ります。

接点と傾き。この 2 つがそろえば式は 1 行で書けます。どちらが与えられていないかで、先にやる計算が決まります。

参考文献

3.1 Defining the Derivative. Calculus Volume 1, OpenStax.

Nombre dérivé – Fonction dérivée. Maths-Cours.fr.

Paul Dawkins. *Tangent Lines and Rates of Change*. Paul's Online Notes, Lamar University.

直線は通る点と傾きで決まります。接線ではその 2 つが接点 $(a, f(a))$ と微分係数 $f'(a)$ にあたり、$y = f'(a)(x - a) + f(a)$ という形になる。放物線 4 本での計算、$y$ 座標が書かれていない場合の代入、3 次関数の接線を並べました。$y = x^3 - 2x$ の $x = 2$ での接線は $x = -4$ でも曲線と交わります。接するとは重解になることで、1 点でしか出会わないことではありません。傾きを先に指定して接点を探す型、$y = x^2 + 1$ と $y = mx$ が接する $m$ を微分と判別式の両方で出す型も扱いました。