係数と指数だけ見れば微分の計算は終わる！導関数の公式と練習問題

多項式の微分でやることは 3 つだけです。肩の数を前へ降ろす、係数はそのまま連れていく、定数は消す。

$5 x^{4}$ なら肩の $4$ を前へ出して $5 \times 4 = 20$ 、肩を $1$ 減らして $20 x^{3}$ 。この動作を項の数だけ繰り返します^[1]。

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}, (a x^{n})^{'} = an x^{n - 1}, (c)^{'} = 0$

1 つの項の動き

$x$ の肩に乗っている数が、掛け算の場所へ降りてきます。降りたぶん肩は $1$ 軽くなる。

$x$ は $x^{1}$ なので、微分すると $1 \cdot x^{0} = 1$ です。 $x^{0} = 1$ を使っています。

定数は $x$ を含まないので $0$ 。 $7$ も $- 3$ も $\frac{7}{9}$ も、微分すればすべて $0$ になります。

例：単項式を微分する

肩の数を前へ出すだけの型です。

$x^{2}$ は $2 x$ 、 $x^{3}$ は $3 x^{2}$ 、 $x^{7}$ は $7 x^{6}$ 。 $x$ は $1$ 、 $4$ は $0$ になります。

係数が付いても手順は変わりません。 $5 x^{2}$ なら $5 \times 2 x = 10 x$ 、 $- 9 x^{4}$ なら $- 9 \times 4 x^{3} = - 36 x^{3}$ です。

もとの式	導関数
$x^{7}$	$7 x^{6}$
$3 x^{4}$	$12 x^{3}$
$- 9 x^{4}$	$- 36 x^{3}$
$\frac{1}{3} x^{6}$	$2 x^{5}$
$- \frac{3}{4} x^{8}$	$- 6 x^{7}$
$0.5 x^{2}$	$x$
$\frac{7}{9}$	$0$

$\frac{1}{3} x^{6}$ は $\frac{1}{3} \times 6 = 2$ で $2 x^{5}$ 。分数の係数は約分できる形で出題されることが多い。

例：多項式を項ごとに処理する

項が増えても、1 つずつ微分して並べ直すだけです^[2]。

$6 x^{2} + 9 x$ なら、 $6 x^{2}$ から $12 x$ 、 $9 x$ から $9$ 。足して $12 x + 9$ です。

引き算は $4 x^{3} - 7 x^{2} = 4 x^{3} + (- 7 x^{2})$ と見ます。 $12 x^{2}$ と $- 14 x$ で $12 x^{2} - 14 x$ 。

もとの式	導関数
$3 x^{2} - 5 x + 3$	$6 x - 5$
$- 2 x^{2} + 4 x - 1$	$- 4 x + 4$
$\frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 4$	$x + 3$
$x^{3} - x^{2} + x - 1$	$3 x^{2} - 2 x + 1$
$2 x^{4} - 3 x^{2} + 7$	$8 x^{3} - 6 x$
$\frac{1}{8} x - \frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$
$0.5 x + 0.3$	$0.5$

$\frac{1}{8} x - \frac{3}{8}$ は 1 次関数なので、導関数は定数の $\frac{1}{8}$ です。傾きがそのまま出ています。

例：先に展開してから微分する

積や累乗の形は、そのままでは公式が当たりません。展開して多項式に直します。

$(x + 2) (x - 3)$ は $x^{2} - x - 6$ なので、導関数は $2 x - 1$ です。

$(2 x - 1)^{2}$ は $4 x^{2} - 4 x + 1$ になり、導関数は $8 x - 4$ 。

$x (x^{2} + 3)$ は $x^{3} + 3 x$ で、導関数は $3 x^{2} + 3$ です。

$(x + 1)^{3}$ は $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ なので $3 x^{2} + 6 x + 3$ になります。

展開して多項式に直す

項ごとに肩を降ろす

足し直して 1 つの式にする

展開した形が $3 (x + 1)^{2}$ とまとめられることもあります。答えは同じなので、どちらで書いても構造は変わりません。

例：文字の係数がある式

$x$ 以外の文字は定数として扱います。動くのは $x$ だけ、という約束です。

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ なら $f^{'} (x) = 2 a x + b$ 。 $c$ は消えます。

$f (x) = x^{3} + a x$ なら $f^{'} (x) = 3 x^{2} + a$ 。 $a$ は $a x = a x^{1}$ の係数として残ります。

$f (x) = a x^{3} - 3 a x$ なら $f^{'} (x) = 3 a x^{2} - 3 a = 3 a (x^{2} - 1)$ です。

$x$ 以外の文字が出てきたら、それが定数か変数かを先に決める。

$f (x)$ と書いてあれば動くのは $x$ だけ。ほかの文字は数と同じ扱いになる。

次数が 1 段ずつ落ちる

微分をくり返すと、次数が 1 段ずつ下がっていきます。 $4$ 次から始めれば $4$ 回で $0$ に着く。

数学 II では 1 回しか微分しませんが、次数の落ち方を見ておくと計算の見当がつきます。

係数は $1$ 、 $4$ 、 $12$ 、 $24$ と増えます。 $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ で、階乗になっている。

微分係数まで出す

導関数が出たら、あとは代入するだけです。

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x + 1$ の $x = 2$ における微分係数を求めます。

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 4$ なので $f^{'} (2) = 24 - 4 = 20$ です。

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2}$ の $x = 3$ なら、 $f^{'} (x) = x^{2} - 2 x$ から $f^{'} (3) = 9 - 6 = 3$ になります。

関数	導関数	$x = 2$ での値
$x^{3} - 3 x$	$3 x^{2} - 3$	$9$
$2 x^{2} + 5 x$	$4 x + 5$	$13$
$- x^{4} + x$	$- 4 x^{3} + 1$	$- 31$

計算を確かめる

答えが出たら、次数を見ます。 $n$ 次だった式は $n - 1$ 次になっているはずです^[3]。

$4$ 次式を微分して $4$ 次式が出てきたら、肩を減らし忘れています。

定数項が残っているのもあやしい。もとの式の定数項は必ず消えます。

項の数も手がかりです。定数項があった式は、微分すると項が 1 つ減ります。

次数が 1 つ下がっているか。

もとの定数項が消えているか。

係数の掛け算をしたか。

分数の約分をしたか。

$\frac{1}{2} x^{2}$ を $\frac{1}{2} x$ と書いてしまう間違いは、掛け算を飛ばしたときに起きます。正しくは $\frac{1}{2} \times 2 x = x$ です。

$f (x) = - \frac{2}{3} x^{3} + 4 x^{2} - x + 6$ の導関数はどれですか。

$- 2 x^{2} + 8 x - 1$
$- 2 x^{2} + 8 x - 1 + 6$
$- \frac{2}{3} x^{2} + 8 x - 1$

__RESULT__

$- \frac{2}{3} \times 3 = - 2$ 、 $4 \times 2 = 8$ 、 $- x$ から $- 1$ 、定数の $6$ は消えます。3 つめは $x^{3}$ の係数に $3$ を掛け忘れた形にあたります。

展開が要る型も確かめます。

$f (x) = (x - 2) (x + 5)$ の $x = 1$ における微分係数はいくつですか。

$- 18$
$5$
$3$

__RESULT__

展開すると $x^{2} + 3 x - 10$ で、導関数は $2 x + 3$ 。 $x = 1$ を入れて $5$ です。 $- 18$ は $f (1)$ の値、 $3$ は $x$ の項の係数だけを見た値にあたります。

肩を降ろす、係数を掛ける、定数を落とす。この 3 つを項の数だけ繰り返せば計算は終わります。

参考文献

3.3 Differentiation Rules. Calculus Volume 1, OpenStax.

Nombre dérivé – Fonction dérivée. Maths-Cours.fr.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

$5x^4$ なら肩の 4 を前へ降ろして $5 \times 4 = 20$、肩を 1 減らして $20x^3$。多項式の微分はこの動作を項の数だけ繰り返すだけです。単項式、係数つき、分数と小数の係数、多項式、$(2x-1)^2$ のように展開してから当てる形、$ax^2 + bx + c$ の文字係数まで、答えつきで並べました。$x = 2$ を代入して微分係数まで出す例も入れています。答えが出たら次数が 1 つ下がっているか、もとの定数項が消えているかを見て確かめる。$\dfrac{1}{2}x^2$ を $\dfrac{1}{2}x$ と書く間違いは掛け算を飛ばしたときに起きます。