導関数の公式と微分の計算問題

微分は関数の変化の度合いを調べるために使います。そして「関数の変化の度合い」を調べることを微分といい、関数を微分した関数を導関数と呼びます。数Ⅱでは多項式の微分と導関数を扱います。三角関数や指数関数の微分は出てきません。まずは $x^{2}$ などの単純な関数の微分から考えてみましょう。

$n$ を正の整数、 $c$ を定数とする

① $x^{n}$ を微分すると $n x^{n - 1}$
② $c$ を微分すると $0$

つまり二次関数を微分すると一次関数に、一次関数を微分すると定数に、定数を微分すると $0$ になる

問題

次の関数を微分しなさい。

((1))　(x^2)

((2))　(x^3)

((3))　(x^4)

((4))　(x^5)

((5))　(x)

((6))　(2)

((7))　(3.14)

解答

((1))　(2x)

((2))　(3x^2)

((3))　(4x^3)

((4))　(5x^4)

((5))　(1)

((6))　(0)

((7))　(0)

係数のついた関数の微分

続いて $3 x^{2}$ などの係数のついた微分を扱います。

$n$ を正の整数、 $a$ を定数とする

$a x^{n}$ を微分すると $an x^{n - 1}$

※係数 $a$ を後でかけるというイメージ

問題

(1)　 $5 x^{2}$

(2)　 $- 9 x^{4}$

(3)　 $2 x$

(4)　 $\frac{1}{3} x^{6}$

(5)　 $- \frac{3}{4} x^{8}$

(6)　 $\frac{7}{9}$

解答

(1)　 $10 x$

(2)　 $- 36 x^{3}$

(3)　 $2$

(4)　 $2 x^{5}$

(5)　 $- 6 x^{7}$

(6)　 $0$

多項式の微分

最後に $4 x^{3} + 7 x^{2}$ といった二つ以上の項がある関数の微分を扱います。これはそれぞれの項を上と同じように微分し、後でつなげるというやり方をとります。

$4 x^{3} + 7 x^{2}$ を微分する方法

① $4 x^{3} + 7 x^{2}$ を $4 x^{3}$ と $7 x^{2}$ に分ける
② $4 x^{3}$ を微分して $12 x^{2}$ にする
③ $7 x^{2}$ を微分して $14 x$ にする
④ $12 x^{2}$ と $14 x$ を足して $12 x^{2} + 14 x$ にする

$4 x^{3} - 7 x^{2}$ を微分する方法

① $4 x^{3} - 7 x^{2} = 4 x^{3} + (- 7 x^{2})$ を $4 x^{3}$ と $- 7 x^{2}$ に分ける
② $4 x^{3}$ を微分して $12 x^{2}$ にする
③ $- 7 x^{2}$ を微分して $- 14 x$ にする
④ $12 x^{2}$ と $- 14 x$ を足して $12 x^{2} - 14 x$ にする

問題

次の関数を微分しなさい。

(1)　 $6 x^{2} + 9 x$

(2)　 $3 x^{2} - 5 x + 3$

(3)　 $- 2 x^{2} + 4 x - 1$

(4)　 $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 4$

(5)　 $\frac{1}{8} x - \frac{3}{8}$

(6)　 $0.5 x + 0.3$

解答

(1)　 $12 x + 9$

(2)　 $6 x - 5$

(3)　 $- 4 x + 4$

(4)　 $x + 3$

(5)　 $\frac{1}{8}$

(6)　 $0.5$