導関数の符号を並べれば増減表ができてグラフの形も決まる

$f (x) = x^{2} - 6 x + 13$ を微分すると $f^{'} (x) = 2 x - 6$ です。 $x = 3$ で $0$ になります。

$x < 3$ では $2 x - 6$ が負、 $3 < x$ では正。だから $f$ は $x = 3$ まで減り、そこから増えます。

この読み方を 3 段の表にまとめたものが増減表です。

$x f^{'} (x) f (x) \dots - ↘ 304 \dots + ↗$

1 段目が $x$ 、2 段目が導関数の符号、3 段目がもとの関数の動きです。

作る手順

表を作る流れは決まっています^[1]。

導関数を求める

$f^{'} (x) = 0$ を解いて区切りを決める

区間ごとの符号を書き込む

区切りは $f^{'} (x) = 0$ の解です。符号が変わりうるのは、値が $0$ を通るところだけだからです。

3 段目の矢印は $2$ 段目の符号から決まります。正なら上向き、負なら下向き。

区切りの列には、その $x$ での $f (x)$ の値を書きます。 $f (3) = 9 - 18 + 13 = 4$ でした。

例：3 次関数の増減表

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ で作ります。導関数から始めます。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x + 1) (x - 3)$

$f^{'} (x) = 0$ の解は $x = - 1$ と $x = 3$ 。区切りが 2 つなので、区間は 3 つに分かれます。

$f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 5 = 10$ 、 $f (3) = 27 - 27 - 27 + 5 = - 22$ です。

$x f^{'} (x) f (x) \dots + ↗ - 1 010 \dots - ↘ 30 - 22 \dots + ↗$

符号は因数の積で決まります。 $x < - 1$ では $(x + 1)$ も $(x - 3)$ も負なので積は正です。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… row === 0 ? 'x' : (row === 1 ? "f'(x)" : 'f(x)') …)

表の縦線と、グラフの折り返しが同じ $x$ にそろっています。表はグラフの設計図です。

矢印は形まで表さない

3 段目の矢印は、増えているか減っているかだけを表します。上りの急さや、曲がり方までは表しません^[2]。

同じ $↗$ でも、急な上りとゆるやかな上りが同じ記号になる。だから矢印から曲線の細かい形は決まりません。

グラフを描くときは、区切りでの値をとり、そのあいだをなめらかに結びます。

増減表から読めるのは向きだけで、曲がり方までは書かれていない。

上に凸か下に凸かは 2 回微分で決まる。数学 II では扱わない。

例：山も谷もない 3 次関数

$f (x) = x^{3} + 3 x + 1$ を調べます。導関数は $3 x^{2} + 3$ です。

$3 x^{2} \geq 0$ なので $3 x^{2} + 3 \geq 3$ 。 $0$ になる $x$ がありません。

区切りがないので、増減表は 1 区間だけになります。

$x f^{'} (x) f (x) \dots + ↗$

グラフはずっと右上がり。3 次関数でも、山と谷が出るとは限りません。

例：区切りが 1 つだけ

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$ では $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x + 3 = 3 (x - 1)^{2}$ です。

$x = 1$ で $0$ になりますが、平方なので前後どちらでも正。符号が変わりません。

$x f^{'} (x) f (x) \dots + ↗ 101 \dots + ↗$

$x = 1$ で接線が水平になるだけで、増加は続きます。表の 2 段目に $0$ があっても、上下の向きが変わるとは限りません。

canvas: 式は呼び出しにそのまま書いてください。この引数は焼けません -> drawMath(… buildTopRow[column] …)

上の段から順に埋めます。2 段目が決まった時点で 3 段目は自動的に決まる。

グラフを描くまで

増減表ができたら、グラフを描く材料がそろいます^[3]。

区切りの点をとり、そのあいだを表の矢印どおりに結びます。 $y$ 切片も足すと位置が定まる。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ なら $f (0) = 5$ です。表の $(- 1, 10)$ と $(3, - 22)$ に、この点を加えます。

f^{'} (x) = 0

の解を出して区切りにする。

区切りでの

f (x)

の値を計算する。

y

切片

f (0)

を出す。

表の矢印にそって、点をなめらかに結ぶ。

3 次関数のグラフは、山を 1 つと谷を 1 つ持つか、まったく持たないかのどちらかです。

$x^{3}$ の係数が正なら、左下から来て右上へ抜けます。負なら向きが逆になる。

x^{3}

の係数が正

左下から右上へ。 $f^{'} (x) = 0$ が 2 解なら山が先、谷があと

x^{3}

の係数が負

左上から右下へ。谷が先で山があと

例：4 次関数

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ を調べます。導関数は $4 x^{3} - 8 x = 4 x (x^{2} - 2)$ です。

$f^{'} (x) = 0$ の解は $x = 0$ 、 $x = \pm 2$ 。区切りが 3 つで、区間は 4 つに分かれます。

$f (0) = 0$ 、 $f (\pm 2) = 4 - 8 = - 4$ です。

$x f^{'} (x) f (x) \dots - ↘ - 2 0 - 4 \dots + ↗ 000 \dots - ↘ 20 - 4 \dots + ↗$

谷が 2 つ、山が 1 つ。左右対称の形になります。区切りが増えても手順は同じです。

$f (x) = - x^{3} + 3 x$ の増減表で、 $x = 1$ の列の 2 段目と 3 段目はどうなりますか。

$+$ と $↗$
$0$ と極大値 $2$
$0$ と極小値 $- 2$

__RESULT__

$f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 3 = - 3 (x + 1) (x - 1)$ なので $x = 1$ で $0$ です。 $x < 1$ 側で正、 $1 < x$ 側で負なので、ここで山になります。 $f (1) = 2$ が極大値で、 $x = - 1$ のほうが極小値 $- 2$ です。

導関数を因数分解し、 $0$ になる $x$ を並べ、区間ごとに符号を書く。表が埋まればグラフの骨格も決まります。

参考文献

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

David Guichard. *2.1: The Slope of a Function*/02:_Instantaneous_Rate_of_Change-_The_Derivative/2.01:_The_Slope_of_a_Function). Calculus, Whitman College.

$x^2 - 6x + 13$ の導関数 $2x - 6$ は $x = 3$ で $0$ になり、その前後で符号が入れかわります。これを 1 段目に $x$、2 段目に符号、3 段目に矢印と値を書いた表にまとめたものが増減表。$x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ では $3(x+1)(x-3)$ と因数分解して区切りを 2 つ出します。$3(x-1)^2$ のように $0$ になっても符号が変わらない例、$3x^2 + 3$ のように区切りがない例、区切りが 3 つになる $x^4 - 4x^2$ まで並べました。矢印が表すのは向きだけで、曲がり方までは書かれていません。