関数の極大点・極小点とはなにか？微分から極大値と極小値を求めるやり方

$x^3-6x^2-15x+8$ のグラフは山と谷があり，山のピークを極大点，谷のピークを極小点といいます．極大点は微分係数がマイナスからプラスに変わる点で，その $x$ 座標は増減表からわかります．極大点と極小点の問題を解くときは増減表が必要になります．

極大点と極小点の座標を求めるには

1. 導関数を計算する
2. 導関数の値が $0$ になる $x$ を求める
3. もとの関数の増減表をつくる

のステップをふみます．

$x^3-6x^2-15x+8$ の導関数は

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =3x^2-12x-15\\ & =3(x^2-4x-5)\\ & =3(x+1)(x-5)\end{array}$$

で，その値が $0$ になる $x$ の値は $-1,5$ です．導関数は二次関数でグラフは下図になります．

もとの関数の増減表は

$$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & -1& \cdots & 5& \cdots \\ f^{\prime }(x)& +& 0& -& 0& +\\ f(x)& \nearrow & 16& \searrow & -92& \nearrow \end{array}$$

で，極大点は $(-1,16)$，極小点は $(5,-92)$ となります．