導関数が0でも極値とは限らない？極大値と極小値の求め方

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 8$ のグラフには山と谷が 1 つずつあります。山の頂上が $(- 1, 16)$ 、谷の底が $(5, - 92)$ です。

山の高さ $16$ を極大値、谷の深さ $- 92$ を極小値といいます。2 つをまとめて極値と呼ぶ^[1]。

どちらも $f^{'} (x) = 0$ になる点で起きますが、 $f^{'} (x) = 0$ だからといって極値になるとは限りません。

極値は近所での話

極大値は、その点の近くだけを見たときにいちばん高い値です。グラフ全体でいちばん高い値ではありません^[2]。

$f (- 1) = 16$ が極大値ですが、 $f (10) = 1000 - 600 - 150 + 8 = 258$ のほうがずっと大きい。それでも $16$ は極大値です。

$x = - 1$ のまわりだけに目を向ければ、そこがてっぺんになっている。極値の「極」は、狭い範囲での話だという印です。

極大値

その点の近くだけで最大。まわりを見わたすともっと高い場所がありうる

最大値

定義域の全体で最大。3 次関数には存在しないことが多い

3 次関数は $x$ を大きくすればいくらでも大きくなるので、最大値がありません。それでも極大値はあります。

広い範囲では右のほうが高く見えますが、狭めていくとこの点がてっぺんになります。極大の意味はこの狭さにあります。

求める手順

極値を出す流れは 3 段です。

導関数を求める

$f^{'} (x) = 0$ を解く

解の前後で符号が変わるか調べる

3 段目が要ります。 $f^{'} (a) = 0$ だけでは、そこが極値だと言えないためです^[3]。

符号が正から負へ変われば極大、負から正へ変われば極小。変わらなければ極値ではありません。

例： $x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 8$

導関数を因数分解します。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x - 15 = 3 (x^{2} - 4 x - 5) = 3 (x + 1) (x - 5)$

$f^{'} (x) = 0$ の解は $x = - 1$ と $x = 5$ です。増減表を作ります。

$x f^{'} (x) f (x) \dots + ↗ - 1 016 \dots - ↘ 50 - 92 \dots + ↗$

$x = - 1$ で正から負へ変わるので極大、 $x = 5$ で負から正へ変わるので極小です。

極大値は $f (- 1) = - 1 - 6 + 15 + 8 = 16$ 、極小値は $f (5) = 125 - 150 - 75 + 8 = - 92$ になります。

$f^{'} (a) = 0$ でも極値でない場合

$f (x) = x^{3}$ の導関数は $3 x^{2}$ で、 $x = 0$ で $0$ になります。

ところが $3 x^{2}$ は $x = 0$ の前後どちらでも正です。符号が変わらないので、極値になりません。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$ も同じです。 $f^{'} (x) = 3 (x - 1)^{2}$ が $x = 1$ で $0$ になりますが、前後とも正。

$f^{'} (a) = 0$ は極値であるための条件のうち、欠かせないほうだけを表す。

足りているかどうかは、前後の符号を見ないと決まらない。 $x^{3}$ の原点がその例になる。

こういう点を停留点といいます。極大でも極小でもない停留点があるので、符号の確認を飛ばせません^[4]。

真ん中の点で接線が水平になるのは 3 つとも同じです。違うのは、その前後で向きが変わるかどうか。

極値をもつ条件

3 次関数が極値をもつのは、導関数が異なる 2 つの解をもつときです。

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + a x + 1$ で調べます。導関数は $3 x^{2} + 2 a x + a$ です。

2 次方程式が異なる 2 解をもつ条件は判別式が正になること。

$\frac{D}{4} = a^{2} - 3 a = a (a - 3) > 0$

$a < 0$ または $3 < a$ です。 $0 \leq a \leq 3$ のときは山も谷もできません。

$a = 3$ のときは $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3 = 3 (x + 1)^{2}$ となり、 $x = - 1$ で $0$ になるだけで符号は変わりません。

例：極値から係数を決める

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 5$ が $x = 1$ で極大値 $7$ をとるとします。 $a$ と $b$ を出します。

条件は 2 つです。 $f^{'} (1) = 0$ と $f (1) = 7$ 。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ なので $f^{'} (1) = 3 + 2 a + b = 0$ 。

$f (1) = 1 + a + b + 5 = 7$ から $a + b = 1$ です。

2 つを連立すると $a = - 4$ 、 $b = 5$ 。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 8 x + 5 = (3 x - 5) (x - 1)$ になります。

$x = 1$ の前後で正から負へ変わるので、確かに極大です。 $f (1) = 1 - 4 + 5 + 5 = 7$ も合っています。

f^{'} (1) = 0

を書く。

f (1) = 7

を書く。

連立して係数を出す。

出した係数で、本当に極大になるか符号を確かめる。

最後の確認を飛ばすと、極小になっている場合を見落とします。連立を解いただけでは向きが決まりません。

$a$ が $0$ と $3$ のあいだにいるとき、緑の点が消えます。山も谷もない 3 次関数になっている。

極値と最大値を混ぜない

区間が指定されていない 3 次関数には最大値も最小値もありません。極値はあります。

区間が $[0, 6]$ のように区切られると話が変わります。区間の端の値も候補に入るためです。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 15 x + 8$ を $[0, 6]$ で考えると、極小値 $- 92$ が最小値になります。

最大値は端で決まります。 $f (0) = 8$ 、 $f (6) = 216 - 216 - 90 + 8 = - 82$ なので、最大値は $8$ 。

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + 1$ の極大値はいくつですか。

$8$
$- 19$
$1$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x + 1) (x - 2)$ なので、解は $x = - 1$ と $x = 2$ 。 $x = - 1$ で正から負へ変わるので極大で、 $f (- 1) = - 2 - 3 + 12 + 1 = 8$ です。 $- 19$ は $x = 2$ での極小値、 $1$ は $y$ 切片にあたります。

停留点の見分けも確かめます。

$f^{'} (x) = 3 (x - 2)^{2}$ である関数について、 $x = 2$ はどれにあたりますか。

極大値をとる点
極小値をとる点
極値をとらない点

__RESULT__

$3 (x - 2)^{2}$ は $x = 2$ で $0$ になりますが、前後どちらでも正です。符号が変わらないので、そこで増減の向きは入れかわりません。接線が水平になるだけの点になります。

$f^{'} (x) = 0$ を解くところまでは候補さがしです。極値かどうかは、その前後の符号が決めます。

出典

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

Extremum. Encyclopedia of Mathematics.

Chapitre 3 — Dérivation, étude de fonctions. MathSV, Université Claude Bernard Lyon 1.

Eric W. Weisstein. *Stationary Point*. MathWorld, A Wolfram Resource.

$x^3 - 6x^2 - 15x + 8$ の極大値は 16、極小値は $-92$ です。ところが $f(10) = 258$ のほうが大きい。極大値はその点の近くだけで最大という意味で、グラフ全体の最大値とは別ものです。$f'(a) = 0$ は候補さがしにすぎず、$x^3$ の原点のように前後で符号が変わらない停留点もある。$x^3 + ax^2 + ax + 1$ が極値をもつ条件を判別式から $a < 0$ または $3 < a$ と出す形、$x = 1$ で極大値 7 という条件から係数を決める逆問題、区間を $[0, 6]$ に区切ったときの最大最小まで扱いました。