極限から微分係数を求める - 高校数学 2

$x^{2}$ の $(a, a^{2})$ から $(a + h, (a + h)^{2})$ までの変化は

$x : a \to a + h$
$y : a^{2} \to (a + h)^{2}$

です． $x$ の変化量は $h$ ， $y$ の変化量は

$(a + h)^{2} - a^{2} = a^{2} + 2 ah + h^{2} - a^{2} = 2 ah + h^{2}$

だから，平均的な変化率は

$\frac{2 ah + h ^{2}}{h} = 2 a + h$

となります．

$(a + h, (a + h)^{2})$ を $(a, a^{2})$ に近づけると $h$ は $0$ に近づくため，平均変化率 $2 a + h$ は最終的に $2 a$ に収束します．

$2 a + h \to 2 a (h \to 0)$

これを $(a, a^{2})$ における微分係数といいます．微分係数とは平均変化率の収束値です．平均変化率は二点を結ぶ傾き，微分係数は点における接線の傾きを意味します．

例題

$x^{2}$ の $(5, 5^{2})$ における微分係数を計算しなさい．

解説

$(a, a^{2})$ における微分係数は $2 a$ だから， $(5, 5^{2})$ における微分係数は

$2 \cdot 5 = 10$

です．

$x^{2}$ の $(a, a^{2})$ における微分係数は $2 a$ でした． $a$ を $x$ にした $2 x$ は微分係数の変化をあらわす関数になります．これを $x^{2}$ の導関数といいます．

$y = x^{2}$ の導関数は $y^{'} = 2 x$

導関数は $y^{'}$ とあらわします．

微分係数とは平均変化率の収束値です．平均変化率は二点を結ぶ傾き，微分係数は点における接線の傾きを意味します．