刻み幅 h を 0 へ近づけると微分係数が残る - 極限による定義

$f (x) = x^{2}$ の $x = 3$ における微分係数は $6$ です。出し方は割り算を 1 回と、約分が 1 回。

$\frac{f ( 3 + h ) - f ( 3 )}{h} = \frac{9 + 6 h + h ^{2} - 9}{h} = 6 + h$

ここで $h$ を限りなく $0$ に近づけると $6 + h$ は $6$ に寄ります。この行き先が微分係数です^[1]。

定義

$x = a$ における微分係数 $f^{'} (a)$ は、次の極限で定めます^[2]。

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

分数の中身は区間 $[a, a + h]$ の平均変化率です。 $h$ を $0$ へ送った先が微分係数になります。

$h$ は正でも負でもよく、 $0$ だけがだめ。分母が $0$ になるためです。

$h = 0$ を先に入れてはいけない

$h = 0$ をそのまま代入すると、分子も分母も $0$ になります。

$\frac{f ( 3 + 0 ) - f ( 3 )}{0} = \frac{0}{0}$

$\frac{0}{0}$ は値が決まりません。 $\frac{2 h}{h}$ なら $2$ 、 $\frac{h ^{2}}{h}$ なら $0$ と、式によって行き先が変わるためです。

だから順番が決まっています。先に約分して $h$ を分母から消し、それから $0$ に近づける。

分子を展開する

分子と分母を $h$ で約分する

$h$ を $0$ に近づける

約分できるのは、分子が必ず $h$ を因数に持つからです。 $f (a + h) - f (a)$ は $h = 0$ のとき $0$ になります。

$h$ がどれだけ小さくても $6 + h$ は $6$ より大きい。それでも近づく先は $6$ です。極限は到達点ではなく行き先を指します。

例： $x^{2}$ の一般の点

$x = a$ で同じ計算をします。文字のまま進めれば、どの点でも通じる式になる。

$\frac{( a + h ) ^{2} - a ^{2}}{h} = \frac{a ^{2} + 2 ah + h ^{2} - a ^{2}}{h} = \frac{2 ah + h ^{2}}{h} = 2 a + h$

$h \to 0$ で $2 a$ です。 $a = 3$ を入れると $6$ になり、最初の計算と合います。

$a$ を $x$ に書き直した $2 x$ が導関数。どの点の微分係数も、これに代入すれば出ます。

例： $x^{3}$

分子の展開に $(a + h)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} h + 3 a h^{2} + h^{3}$ を使います。

$\frac{( a + h ) ^{3} - a ^{3}}{h} = \frac{3 a ^{2} h + 3 a h ^{2} + h ^{3}}{h} = 3 a^{2} + 3 ah + h^{2}$

$h \to 0$ で $3 a^{2}$ です。残るのは $h$ を含まない項だけ、と覚えると速い。

例：係数と定数がある式

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$ の $x = 1$ での微分係数を出します。

$f (1) = 6$ 、 $f (1 + h) = 3 (1 + h)^{2} - 2 (1 + h) + 5 = 3 h^{2} + 4 h + 6$ です。

$\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{3 h ^{2} + 4 h}{h} = 3 h + 4$

$h \to 0$ で $4$ 。定数の $5$ は引き算で消えるので、微分係数には効きません。

関数	$x = a$ での計算結果	微分係数
$x^{2}$	$2 a + h$	$2 a$
$x^{3}$	$3 a^{2} + 3 ah + h^{2}$	$3 a^{2}$
$3 x^{2} - 2 x + 5$	$6 a - 2 + 3 h$	$6 a - 2$

例：直線と水平線

$f (x) = 5 x - 1$ では $\frac{5 ( a + h ) - 1 - ( 5 a - 1 )}{h} = \frac{5 h}{h} = 5$ です。

$h$ が残らないので、極限をとる前から $5$ に決まっています。直線の傾きはどこでも同じ。

$f (x) = 7$ のような定数関数なら分子が $0$ なので、微分係数も $0$ になります。

左からも右からも同じ値へ

$h$ を $0$ に近づける道は 2 つあります。正の側から縮める道と、負の側から縮める道です。

$6 + h$ なら、 $h = 0.1$ で $6.1$ 、 $h = - 0.1$ で $5.9$ 。どちらも $6$ に寄ります。

両側の行き先が一致するときだけ、微分係数があると言えます^[3]。

もう 1 つの書き方

$a + h$ を $x$ と置くと、 $h = x - a$ です。この置きかえで定義が別の形になります^[4]。

$f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

$h \to 0$ が $x \to a$ に変わっただけで、意味は同じ。問題によって使いやすいほうを選びます。

$f (x) = x^{2}$ 、 $a = 3$ で試すと $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x + 3$ となり、 $x \to 3$ で $6$ です。

h \to 0

の形

$h$ が 1 か所にまとまるので、展開して約分する流れが作りやすい

x \to a

の形

因数分解で $x - a$ を出す形。 $x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$ のように使える

拡大すると直線に見える

微分係数がある点のまわりを強く拡大すると、曲線は直線に近づいていきます。

その直線の傾きが微分係数です。曲がっているものを、狭い範囲でまっすぐと見なす作業になります。

青い曲線と赤い直線が、拡大するにつれて見分けられなくなります。この重なり具合が微分係数の中身です。

補足：どこでも寄るとは限らない

尖った点では、左から寄せた値と右から寄せた値が食い違います。

$f (x) = ∣ x ∣$ の $x = 0$ では、右から寄せると $1$ 、左から寄せると $- 1$ 。行き先が 2 つあるので微分係数がありません^[3]。

数学 II で扱う多項式にはこうした点がなく、どこでも微分できます。折れ目や切れ目のある関数を相手にしたときだけ起こる話です。

$f (x) = 2 x^{2} + x$ の $x = 3$ における微分係数はいくつですか。

$21$
$13$
$12$

__RESULT__

$f (3 + h) - f (3) = 2 (3 + h)^{2} + (3 + h) - 21 = 2 h^{2} + 13 h$ なので、 $h$ で割ると $2 h + 13$ 。 $h \to 0$ で $13$ です。 $21$ は $f (3)$ の値、 $12$ は $2 x^{2}$ だけを微分した値にあたります。

展開して、約分して、 $0$ へ送る。この 3 手はどの多項式でも変わりません。

出典

Paul Dawkins. *The Definition of the Derivative*. Paul's Online Notes, Lamar University.

Differentialquotient. Serlo, Lernplattform für Mathematik.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

3.1 Defining the Derivative. Calculus Volume 1, OpenStax.

$x^2$ の $x = 3$ での微分係数が 6 になるまでに要るのは、展開と約分と極限の 3 手です。$h = 0$ を先に代入すると $\dfrac{0}{0}$ になり値が決まりません。約分して $6 + h$ にしてから $0$ へ送る、という順番になる。$x^3$ なら $3a^2 + 3ah + h^2$ から $3a^2$、$3x^2 - 2x + 5$ なら $6a - 2$ が残り、定数項は引き算で消えます。$h$ を正の側からと負の側から寄せて行き先が一致すること、$x \to a$ に書き換えた形、拡大すると放物線が直線に見えることまで扱いました。