極限から微分係数を求める - 高校数学 2

$x^2$ の $(a,a^2)$ から $(a+h,(a+h{)}^2)$ までの変化は

$x:a\to a+h$
$y:a^2\to (a+h{)}^2$

です．$x$ の変化量は $h$，$y$ の変化量は

$$\begin{array}{rl}(a+h{)}^2-a^2& =a^2+2ah+h^2-a^2\\ & =2ah+h^2\end{array}$$

だから，平均的な変化率は

$$\frac{2ah+h^2}{h}=2a+h$$

となります．

$(a+h,(a+h{)}^2)$ を $(a,a^2)$ に近づけると $h$ は $0$ に近づくため，平均変化率 $2a+h$ は最終的に $2a$ に収束します．

$$2a+h\to 2a(h\to 0)$$

これを $(a,a^2)$ における微分係数といいます．微分係数とは平均変化率の収束値です．平均変化率は二点を結ぶ傾き，微分係数は点における接線の傾きを意味します．

例題

$x^2$ の $(5,5^2)$ における微分係数を計算しなさい．

解説

$(a,a^2)$ における微分係数は $2a$ だから，$(5,5^2)$ における微分係数は

$$2\cdot 5=10$$

です．

導関数

$x^2$ の $(a,a^2)$ における微分係数は $2a$ でした．$a$ を $x$ にした $2x$ は微分係数の変化をあらわす関数になります．これを $x^2$ の導関数といいます．

$y=x^2$ の導関数は $y^{\prime }=2x$

導関数は $y^{\prime }$ とあらわします．