垂直に立てる直線、法線の方程式を接線の傾きから求める

$y = x^{2} - 3 x - 4$ の点 $(2, - 6)$ における法線は $y = - x - 4$ です。

導関数 $2 x - 3$ に $x = 2$ を入れて接線の傾きが $1$ 。法線の傾きはその逆数にマイナスを付けて $- 1$ になります。

法線は、接点を通って接線に垂直な直線のことです^[1]。

垂直な直線どうしの傾き

2 本の直線が垂直に交わるとき、傾きの積は $- 1$ になります。

傾きが $2$ の直線に垂直なら $- \frac{1}{2}$ 、傾きが $- 3$ なら $\frac{1}{3}$ 。逆数にしてから符号を変える、という操作です。

同じ操作を 2 回続けるともとに戻ります。 $2 \to - \frac{1}{2} \to 2$ という具合。

積が $- 1$ になる理由

傾き $m$ の直線は、右へ $1$ 進むと縦に $m$ 動きます。向きを $(1, m)$ という矢印で表せる。

これを $90$ 度回すと $(- m, 1)$ になります。横に $- m$ 、縦に $1$ 進む向きです。

この矢印の傾きは $\frac{1}{- m} = - \frac{1}{m}$ 。掛けると $m \times (- \frac{1}{m}) = - 1$ です。

求める手順

法線を出す流れは 3 段です。接線より 1 段だけ長い^[2]。

導関数を求める

接点での微分係数を出す

逆数にして符号を変え、公式に入れる

接点 $(a, f (a))$ を通り、傾き $- \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ の直線なので、式はこうなります。

$y = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a) + f (a)$

例：放物線の法線

$y = x^{2} - 3 x - 4$ の $(2, - 6)$ で計算します。導関数は $2 x - 3$ です。

$f^{'} (2) = 4 - 3 = 1$ なので接線の傾きは $1$ 、法線の傾きは $- 1$ 。

$y = - 1 \cdot (x - 2) + (- 6) = - x - 4$

$y = x^{2}$ の $(1, 1)$ なら接線の傾きが $2$ 、法線の傾きは $- \frac{1}{2}$ です。

$y = - \frac{1}{2} (x - 1) + 1 = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

分数が出ても、そのまま計算を進めます。約分できる形になることは多くありません。

例：3 次関数の法線

$y = x^{3}$ の $(1, 1)$ における法線を求めます。導関数は $3 x^{2}$ です。

$f^{'} (1) = 3$ なので法線の傾きは $- \frac{1}{3}$ 。

$y = - \frac{1}{3} (x - 1) + 1 = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

$y = x^{3} - 2 x + 1$ の $x = 2$ なら $f (2) = 5$ 、 $f^{'} (2) = 12 - 2 = 10$ です。

法線の傾きは $- \frac{1}{10}$ で、式は $y = - \frac{1}{10} (x - 2) + 5 = - \frac{1}{10} x + \frac{26}{5}$ になります。

曲線と接点	接線の傾き	法線の傾き
$y = x^{2} - 3 x - 4$ , $(2, - 6)$	$1$	$- 1$
$y = x^{2}$ , $(1, 1)$	$2$	$- \frac{1}{2}$
$y = x^{3}$ , $(1, 1)$	$3$	$- \frac{1}{3}$

接線の傾きが大きいほど、法線の傾きは $0$ に近づきます。急な坂に垂直な線は、ほとんど横向きになるためです。

接点が動くと 2 本とも回ります。直角の関係は変わりません。

接線が水平のとき

$f^{'} (a) = 0$ だと、逆数を作る段階で割り算ができません。

このとき接線は水平です。それに垂直な直線は縦にまっすぐ立つので、傾きが決まりません。

答えは $x = a$ という形になります。 $y = \dots$ の形では書けない直線です^[3]。

$y = x^{2} - 4 x + 5$ の $x = 2$ で確かめます。 $f^{'} (2) = 0$ なので、法線は $x = 2$ です。

$f^{'} (a) = 0$ のときだけ、法線が $y = \dots$ の形で書けない。

縦の直線には傾きがない。接線が水平になる点、つまり極値の場所で起こる。

割り算を避ける書き方

分数を作らずに済む書き方もあります^[4]。

$(x - a) + (y - f (a)) f^{'} (a) = 0$

$f^{'} (a)$ を掛ける側に置いてあるので、 $0$ でも困りません。 $f^{'} (a) = 0$ を入れると $x - a = 0$ 、つまり $x = a$ が出ます。

$y = x^{2} - 3 x - 4$ の $(2, - 6)$ で試します。 $f^{'} (2) = 1$ なので $(x - 2) + (y + 6) = 0$ 。

整理すると $y = - x - 4$ で、最初の答えと一致しました。

傾きから作る書き方

$y = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a) + f (a)$ 。読みやすいが $f^{'} (a) = 0$ で止まる

掛け算で作る書き方

$(x - a) + (y - f (a)) f^{'} (a) = 0$ 。場合分けが要らない

高校の答案では前の形を使い、 $f^{'} (a) = 0$ のときだけ $x = a$ と書き分けるのがふつうです。

例：法線が原点を通る条件

$y = x^{2} + k$ の $x = 1$ における法線が原点を通るような $k$ を求めます。

$f^{'} (x) = 2 x$ から $f^{'} (1) = 2$ 、法線の傾きは $- \frac{1}{2}$ です。接点は $(1, 1 + k)$ 。

法線は $y = - \frac{1}{2} (x - 1) + 1 + k$ 。ここに $x = 0$ 、 $y = 0$ を入れます。

$0 = \frac{1}{2} + 1 + k$

$k = - \frac{3}{2}$ です。法線の式は $y = - \frac{1}{2} x$ になり、確かに原点を通ります。

$y = x^{2} + 2 x$ の $(1, 3)$ における法線の方程式はどれですか。

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{13}{4}$
$y = 4 x - 1$
$y = - 4 x + 7$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 2 x + 2$ から $f^{'} (1) = 4$ が接線の傾きです。法線の傾きは $- \frac{1}{4}$ なので $y = - \frac{1}{4} (x - 1) + 3$ 。 $4 x - 1$ は接線、 $- 4 x + 7$ は符号だけ変えて逆数にし忘れた形にあたります。

水平な接線の場合も確かめます。

$y = x^{3} - 3 x$ の $x = 1$ における法線はどれですか。

$y = 0$
$x = 1$
$y = - 2$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ なので $f^{'} (1) = 0$ 。接線が水平な $y = - 2$ になるため、法線は縦の直線 $x = 1$ です。 $y = - 2$ は接線のほうにあたります。

接線の傾きを出したら、逆数にして符号を変える。手数は 1 つ増えるだけで、あとは直線の式を書くだけです。

参考

Normal. Encyclopedia of Mathematics.

Nombre dérivé – Fonction dérivée. Maths-Cours.fr.

Eric W. Weisstein. *Normal Line*. MathWorld, A Wolfram Resource.

3.1 Defining the Derivative. Calculus Volume 1, OpenStax.

$y = x^2 - 3x - 4$ の $(2, -6)$ では接線の傾きが 1 なので、法線の傾きは $-1$。逆数にして符号を変えるだけです。右へ 1、上へ $m$ の矢印を 90 度回すと横へ $-m$、上へ 1 になり、傾きの積が $-1$ になる理由もそこにあります。$f'(a) = 0$ のときだけ法線が縦の直線 $x = a$ になり、$y = \cdots$ の形で書けません。割り算を避けた $(x - a) + (y - f(a))f'(a) = 0$ という書き方なら場合分けも要らない。法線が原点を通る条件から $k$ を決める例も入れました。