何回割れるかだけを測る環〜離散付値環と一様化元

割り切れる回数だけを数える環、それが離散付値環です。

整数を $2$ で割れるだけ割り、多項式から $x$ をくくり出せるだけくくり出す。この「何回割れるか」という操作を、環の構造そのものに埋め込んだもの。

素元が本質的に $1$ つしかないので、割り算の結果は $1$ つの整数、つまり位数に落ちます。

以下では定義から出発し、位数を測る写像を作り、整数・べき級数・$p$ 進数・曲線上の点という 4 系統の例を並べます。最後に離散付値環にならない例を集め、境目がどこにあるかを確かめる。

定義

環 $R$ が離散付値環であるとは、次の 3 つが同時に成り立つことをいいます。

3 番目の $\pi$ を一様化元といいます。素元と呼ぶこともあり、指しているものは同じ。

$\pi \ne 0$ を外すと体が紛れ込みます。体では $\mathfrak{m}=(0)$ なので、割れる回数を数える相手がいなくなる。

英語圏の資料では、単項イデアル整域のうち $0$ でない極大イデアルをちょうど $1$ つもつもの、という言い方もよくされます^[1]。あとで見るように、この言い方と上の 3 条件は同じものを指しています。

一様化元は単元倍しか動かない

一様化元の選び方には自由がありますが、自由の幅はごく狭いものです。

$\pi$ と ${\pi }^{\prime }$ をどちらも一様化元とします。$(\pi )=({\pi }^{\prime })$ なので ${\pi }^{\prime }=a\pi$ かつ $\pi =b{\pi }^{\prime }$ となる $a,b\in R$ がとれる。

代入すると $\pi =ba\pi$ となり、整域なので $\pi$ で割って $ba=1$ を得ます。よって $a$ は単元です。

つまり一様化元は単元倍を除いて一意に定まる。$k[[t]]$ で $t$ の代わりに $t+t^2$ を使ってもよいのは、この理由によります。

どの元も一様化元の冪と単元の積になる

離散付値環の計算がやさしいのは、元の形が完全に分かるからです。

$x\in R$ を $0$ でない元とします。$x\in ({\pi }^n)$ となる最大の $n$ が存在すると仮定して、$x=u{\pi }^n$ と書けることを見ましょう。

$x=y{\pi }^n$ と書いたとき、$y$ が単元でなければ $y\in \mathfrak{m}=(\pi )$ となり、$x\in ({\pi }^{n+1})$ になります。最大性に反するので $y$ は単元です。

存在のほうは、共通部分がつぶれることから従います。ネーター局所環では ${\bigcap }_{n\ge 0}{\mathfrak{m}}^n=0$ が成り立つので、$0$ でない $x$ がすべての $({\pi }^n)$ に入ることはありません。

$$x=u{\pi }^n,u\in R^{\times },n\ge 0$$

この $n$ は $x$ から一意に決まります。$u{\pi }^n=u^{\prime }{\pi }^m$ で $n<m$ なら $u=u^{\prime }{\pi }^{m-n}$ となり、左辺が単元、右辺が $\mathfrak{m}$ の元となって矛盾するからです。

位数を測る写像

いま得られた $n$ に名前を付けます。$v(x)=n$ と定め、これを $x$ の位数と呼びましょう。

商体 $K$ へは、割り算の形に伸ばして定義します。$x/y$ に対して $v(x)-v(y)$ を対応させる。

$$v:K^{\times }⟶\mathbb{Z}$$

分子と分母のとり方によらないことは、$x/y=x^{\prime }/y^{\prime }$ なら $x{y}^{\prime }=x^{\prime }y$ となり、両辺の位数を比べれば分かります。

この $v$ が離散付値です。値の集まりが $\mathbb{Z}$ という離散的な群になることが、名前の「離散」にあたります^[2]。

証明: 位数は付値の 2 条件をみたす

付値と呼ぶには、次の 2 つが要ります。

前者から見ましょう。$x=u{\pi }^m$、$y=w{\pi }^n$ と書けば $xy=uw{\pi }^{m+n}$ です。$uw$ は単元どうしの積なので単元で、位数はちょうど $m+n$ になります。

後者は、共通因子をくくり出すだけで済みます。$m\le n$ として $x+y={\pi }^m(u+w{\pi }^{n-m})$ と書くと、括弧の中は $R$ の元です。

したがって $x+y$ は ${\pi }^m$ で割れ、位数は $m$ 以上になる。括弧の中が $\mathfrak{m}$ に入れば位数はもっと上がるので、等号とは限りません。

$m<n$ のときは括弧の中が単元 $+$ 非単元となって単元なので、$v(x+y)=m$ とちょうど決まります。位数が違う 2 つを足すと、小さいほうがそのまま残る。

イデアルの鎖として見る

$R$ を $v$ の値で層に分けると、構造が図になります。位数 $n$ 以上の元の全体がちょうど $({\pi }^n)$ です。

層は無限に続き、どこまでも縮んでいきます。共通部分は $0$ だけになる。

外側の層から内側の層へ移る操作が、$\pi$ を掛けることにあたります。逆に $\pi$ で割ると 1 枚外へ出ます。

例: 整数を素数で局所化する

素数 $p$ を $1$ つ固定し、分母が $p$ で割れない有理数の全体を ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ と書きます。

$${\mathbb{Z}}_{(p)}=\left\{\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}|a,b\in \mathbb{Z},p\nmid b\right\}$$

これは整域で、単元は分子も分母も $p$ で割れない分数です。単元でない元は分子が $p$ で割れるので、$(p)$ にすべて入る。

したがって $\mathfrak{m}=(p)$ が唯一の極大イデアルで、$p$ が一様化元になります。

$p=3$ で計算してみましょう。$45/8$ は $3^2\cdot 5/8$ と書け、$5/8$ は単元です。よって $v(45/8)=2$。

$8/45$ なら位数は $-2$ になります。商体 $\mathbb{Q}$ の上では負の値もとります。

$7/2$ のように分子も分母も $3$ で割れなければ位数は $0$ で、これは単元です。

例: 形式的べき級数環

体 $k$ の上の形式的べき級数環 $k[[t]]$ は、係数を無限に並べたものを元とする環です。

$$f(t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+\cdots$$

$f$ が単元であることと $a_0\ne 0$ であることは同値です。$a_0\ne 0$ なら逆べき級数の係数を順に決められ、$a_0=0$ なら定数項が $0$ の元しか作れないためです。

単元でない元は $t$ でくくれるので $\mathfrak{m}=(t)$ となり、$t$ が一様化元になります。

位数は、最初に $0$ でなくなる係数の番号です。$3t^2+t^5$ なら $v=2$。

商体は形式的ローラン級数体 $k((t))$ で、有限個の負冪を許した級数の全体になります。$t^{-3}+t^{-1}+1$ の位数は $-3$ です。

例: p 進整数環

${\mathbb{Z}}_{(p)}$ を $p$ 進距離で完備化すると、$p$ 進整数環 ${\mathbb{Z}}_p$ が得られます。元は $p$ 進展開で書けます。

$$x=c_0+c_{1}p+c_2{p}^2+\cdots ,c_i\in \{0,1,\dots ,p-1\}$$

形が $k[[t]]$ とそっくりなのは偶然ではありません。$t$ の役割を $p$ が果たしています。

違いは繰り上がりの有無です。$k[[t]]$ では係数どうしが干渉しませんが、${\mathbb{Z}}_p$ では $c_i$ の足し算が上の桁へ繰り上がる。

${\mathbb{Z}}_p$ も離散付値環で、位数は展開の最初に $0$ でなくなる桁の番号です。フランス語圏の資料も、この 2 つを離散付値環の代表例として並べています^[3]。

例: 有理関数の零点と極

体 $k$ の上の $1$ 変数多項式環を、点 $a$ に対応する極大イデアル $(x-a)$ で局所化します。

$$k[x{]}_{(x-a)}=\left\{\frac{f}{g}|g(a)\ne 0\right\}$$

これも離散付値環で、一様化元は $x-a$ です。位数は、点 $a$ での零点の位数そのものになる。

$a=2$ で試しましょう。$\frac{x^2-4}{x+1}$ は $\frac{(x-2)(x+2)}{x+1}$ と書け、$x+1$ も $x+2$ も $x=2$ で消えません。よって位数は $1$ です。

$\frac{x+1}{(x-2{)}^3}$ なら位数は $-3$ で、$x=2$ に 3 位の極があることを表します。

零点の位数が正、極の位数が負。$1$ つの整数で両方を言い表せる点が、この道具の便利なところです。

位数を数えるようす

$\pi$ を掛けるたびに層が 1 枚内側へ進むようすを動かしてみましょう。

点が内側へ入るほど位数が上がり、$0$ に近づいていきます。$p$ 進距離で「$p$ で何回も割れる数ほど小さい」と言うときの、その小ささが図の内側です。

逆向きに読むと、外側へ出る操作が $\pi$ での割り算になります。商体まで広げると層は外へも無限に伸び、位数が負の元が並びます。

イデアルは一様化元の冪しかない

離散付値環のイデアルは、驚くほど少ししかありません。

$I$ を $0$ でないイデアルとします。$I$ の元の位数のうち最小のものを $n$ とし、それを実現する元を $x=u{\pi }^n$ と置く。

$u$ は単元なので ${\pi }^n=u^{-1}x\in I$ となり、$({\pi }^n)\subseteq I$ が出ます。

逆向きも位数から従います。$y\in I$ なら $v(y)\ge n$ なので $y=w{\pi }^{v(y)}\in ({\pi }^n)$ です。

$$I=({\pi }^n)$$

イデアルは $R⊋(\pi )⊋({\pi }^2)⊋\cdots ⊋(0)$ と一列に並びます。単項イデアル整域であることも、これで確かめられました。

素イデアルは $(0)$ と $(\pi )$ の 2 つだけです。$n\ge 2$ では $\pi \cdot {\pi }^{n-1}\in ({\pi }^n)$ なのに $\pi \notin ({\pi }^n)$ となるので、素にならない。

Spec は 2 点しかない

素イデアルが 2 つということは、幾何の側から見ると点が 2 つということです。

閉点は $\mathfrak{m}$ に対応し、位数が正の元がすべて消える場所です。生成点は $(0)$ に対応し、位数の情報を捨てた商体の側にあたります。

ドイツ語圏の資料も、この 2 点からなるスペクトルを離散付値環の特徴として挙げています^[2]。曲線の 1 点とその近傍を、たった 2 点の空間に凝縮したもの、と読めます。

同値な言い換え

上の 3 条件のほかにも、離散付値環を言い当てる条件がいくつも知られています。

英語圏の資料には、これを含む 11 個の同値条件が並んでいます^[1]。フランス語圏の資料も、ネーター局所環に対する 7 条件の形で同じ内容を整理しています^[3]。

4 番目は $1$ 次元の場合の正則性そのものです。正則局所環のうち次元が $1$ のものが離散付値環にあたる、という言い方もできます^[5]。

証明: ネーター局所整域で極大イデアルが単項なら離散付値環

同値性のうち 3 番目を確かめておきます。ネーター性が効く場所が分かるためです。

$(R,\mathfrak{m})$ をネーター局所整域とし、$\mathfrak{m}=(\pi )$ かつ $\pi \ne 0$ とします。

クルルの交叉定理から ${\bigcap }_{n\ge 0}{\mathfrak{m}}^n=0$ です。$0$ でない $x$ に対して、$x\in ({\pi }^n)$ となる $n$ の集合は有限で止まります。

その最大値をとれば、前に見たとおり $x=u{\pi }^n$ と書けます。あとの議論はすべてこの表示から出るので、$R$ は離散付値環です。

ネーター性を落とすと崩れます。付値環がネーターであることと、離散付値環または体であることは同値なので^[4]、ネーターでない付値環はこの枠から外れます。

離散付値環にならない例

境目を見るには、条件を 1 つずつ壊した例が早道になります。

最後の 2 つが特に大切です。$1$ 次元で局所で整域でも、まだ足りない。整閉性という条件が、尖点のような環をはじいています。

完備化しても離散付値環のまま

${\mathbb{Z}}_{(p)}$ と ${\mathbb{Z}}_p$、$k[x{]}_{(x)}$ と $k[[x]]$ は、それぞれ完備化で結ばれた組です。

完備化しても離散付値環であることは変わりません。極大イデアルが単項という性質が、極限をとっても残るからです。

位数の値も変わりません。${\mathbb{Z}}_{(p)}$ の元を ${\mathbb{Z}}_p$ の中で見ても、$p$ で割れる回数は同じです。

級数が増えるぶんだけ計算はしやすくなります。$k[[t]]$ で単元の逆元を係数から順に決められたのは、無限個の係数を許していたおかげです。

練習

条件のどれが壊れているかを言えるようになれば、定義を使いこなせています。

よくある誤り

最後に、間違えやすい点を並べます。

どれも定義の 3 条件に戻れば区別が付きます。整域・局所・単項という 3 つを、別々に確かめる習慣が効きます。

参考文献