離散付値環とは何か

離散付値環（Discrete Valuation Ring, DVR）は、整域の中でも特に扱いやすい構造をもつ環です。局所環であり、かつ極大イデアルがただ一つの元で生成されるという性質をもちます。

定義

環 $R$ が離散付値環であるとは、以下の条件を満たすことです。

この $\pi$ を一様化元（uniformizer）と呼びます。一様化元は一意ではありませんが、任意の二つの一様化元は単元倍の違いしかありません。

具体例

最も基本的な例は、整数の局所化 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$ です。これは分母が $p$ で割れない有理数全体の環で、極大イデアルは $(p)$ です。

もう一つの重要な例は、体 $k$ 上の形式的べき級数環 $k[[t]]$ です。この環の極大イデアルは $(t)$ であり、$t$ が一様化元になります。

付値との関係

離散付値環という名前は、付値（valuation）と深く関係しています。$R$ の商体 $K$ 上に、各元 $x\ne 0$ に対して「$x$ が $\pi$ で何回割れるか」を対応させる写像

$$v:K^{\times }\to \mathbb{Z}$$

を定義できます。これが離散付値と呼ばれるもので、$R$ はちょうど $v(x)\ge 0$ となる元（と $0$）の全体として復元されます。

なぜ重要か

離散付値環は、代数曲線上の「点の近傍」を代数的に記述するために使われます。曲線の滑らかな点に対応する局所環は離散付値環になり、その一様化元は点における局所座標の役割を果たします。また、整数論では $p$ 進整数環 ${\mathbb{Z}}_p$ が離散付値環であり、$p$ 進解析の基盤となっています。