局所化の定義と普遍性

局所化は可換環論における基本的な構成であり、環の一部の元を「分母として許す」操作です。代数幾何学では、多様体上のある点の近傍だけを見ることに対応します。

乗法的集合

可換環 $R$ の部分集合 $S$ が乗法的集合であるとは、次の条件を満たすことをいいます。

典型的な例として、$0$ でない元 $f\in R$ に対し $S=\{1,f,f^2,f^3,\dots \}$ があります。また、素イデアル $\mathfrak{p}$ に対し $S=R\setminus \mathfrak{p}$ も乗法的集合です。

局所化の構成

$R$ を可換環、$S$ を乗法的集合とします。$R\times S$ 上の関係 $\sim$ を

$$(a,s)\sim (b,t)⟺\exists u\in S,u(at-bs)=0$$

で定めると、これは同値関係になります。$(a,s)$ の同値類を $\frac{a}{s}$ と書き、商集合 $R\times S/\sim$ を $S^{-1}R$ と書きます。

$S^{-1}R$ には次の演算で環構造が入ります。

$$\frac{a}{s}+\frac{b}{t}=\frac{at+bs}{st},\frac{a}{s}\cdot \frac{b}{t}=\frac{ab}{st}$$

この環 $S^{-1}R$ を $R$ の $S$ による局所化といいます。

標準的な準同型

自然な写像 $\iota :R\to S^{-1}R$ が $\iota (a)=\frac{a}{1}$ で定義されます。この写像は環準同型ですが、一般には単射とは限りません。$\ker \iota =\{a\in R\mid \exists s\in S,sa=0\}$ です。

$R$ が整域で $0\notin S$ ならば $\iota$ は単射となり、$R$ を $S^{-1}R$ の部分環とみなせます。

局所化の普遍性

局所化 $S^{-1}R$ は次の普遍性で特徴づけられます。

環準同型 $\phi :R\to A$ が「$S$ の元をすべて単元に写す」とき、すなわちすべての $s\in S$ に対し $\phi (s)$ が $A$ で可逆であるとき、$\phi$ は $S^{-1}R$ を経由して一意的に分解します。

$$\phi =\tilde{\phi }\circ \iota$$

を満たす環準同型 $\tilde{\phi }:S^{-1}R\to A$ がただ一つ存在します。図式で書くと

$$R\stackrel{\iota }{\to }{S}^{-1}R\stackrel{\tilde{\phi }}{\to }A$$

となります。この普遍性により、局所化は本質的に一意に定まります。

記法

特別な場合に専用の記法があります。

局所化の性質

局所化は多くの良い性質を持ちます。