整拡大の定義と性質

整拡大は環の拡大の中でも特に良い性質をもつクラスであり、代数幾何学における有限射や整数論における代数的整数の理論の基礎となります。

整元の定義

$R \subseteq S$ を可換環の拡大とします。 $s \in S$ が $R$ 上整であるとは、ある正整数 $n$ と $a_{0}, \dots, a_{n - 1} \in R$ が存在して

$s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0} = 0$

を満たすことをいいます。すなわち、 $s$ は $R$ 係数のモニック多項式の根です。

整元の同値条件

$s \in S$ が $R$ 上整であることは、次の条件と同値です。

R [s]

が

R

上有限生成加群である

s

を含む

S

の部分環

T

で、

R

上有限生成加群となるものが存在する

「有限生成加群」という条件は、有限個の元の $R$ -線型結合で表せることを意味します。

整拡大の定義

$S$ のすべての元が $R$ 上整であるとき、 $S$ は $R$ の整拡大であるといいます。

体の拡大 $K \subseteq L$ において「 $L$ が $K$ 上代数的」という条件の環版です。

整閉包

$R$ 上整である $S$ の元全体を $R$ の $S$ における整閉包といい、 $\overline{R}$ や $\overline{R}^{S}$ と書きます。

整閉包はイデアル

$\overline{R}$ は $S$ の部分環である。すなわち、整元の和・積は再び整元。

整拡大の推移性

$R \subseteq S \subseteq T$ において、 $S$ が $R$ 上整かつ $T$ が $S$ 上整ならば、 $T$ は $R$ 上整です。

整拡大の性質

S

が

R

上整かつ有限生成

R

-代数なら、

S

は有限生成

R

-加群

整拡大

R \subseteq S

において、

S

が整域なら

R

も整域

整拡大

R \subseteq S

において、

S

が体なら

R

も体

素イデアルの振る舞い

整拡大において素イデアルは良い振る舞いをします。

Lying over

$R \subseteq S$ が整拡大、 $p$ が $R$ の素イデアルなら、 $p = q \cap R$ となる $S$ の素イデアル $q$ が存在する。

Incomparability

$q_{1}, q_{2}$ が $R$ の同じ素イデアル上にある $S$ の素イデアルで $q_{1} \subseteq q_{2}$ なら、 $q_{1} = q_{2}$ 。

具体例

代数的整数

$Z \subseteq Z [2]$ は整拡大。 $2$ は $x^{2} - 2 = 0$ の根なので $Z$ 上整。

非整元

$Z \subseteq Q$ において $\frac{1}{2}$ は $Z$ 上整でない。 $\frac{1}{2}$ を根とするモニック多項式 $x - \frac{1}{2}$ は $Z$ 係数でない。

有限体拡大

体 $K$ 上の有限次拡大 $K \subseteq L$ は整拡大（代数拡大と同じ）。