モニック多項式の根になる元を集める〜整拡大と整閉包

$\sqrt{2}$ は $X^2-2=0$ の根なので $\mathbb{Z}$ 上整です。$\frac{1}{2}$ は $2X-1=0$ の根ですが、こちらは整ではありません。

差は最高次の係数だけ。モニックかどうかで結論が変わります^[2]。

整元の定義

$A\subset B$ を環の拡大とします。$b\in B$ が $A$ 上整とは、$A$ 係数のモニック多項式の根になることです^[2]。

$$b^n+a_{n-1}{b}^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_0=0$$

この式を整従属関係といいます^[2]。$B$ のすべての元が $A$ 上整のとき、$B$ を $A$ の整拡大と呼びます。

体の拡大での代数的という条件の、環の版にあたります。係数の分母を許さないぶん、条件は強くなる。

$\frac{1}{2}$ が整でないことは直接確かめられます。整従属関係に $2^n$ を掛けると $1+2a_{n-1}+\cdots =0$。左辺は奇数なので $0$ になりません。

有限生成加群という言いかえ

整であることは、加群の有限性で言いかえられます^[2,3]。

上から下は簡単です。整従属関係から $b^n$ が低い冪で書けるので、$1,b,\dots ,b^{n-1}$ が生成系になります^[3]。

下から上には行列式を使います。生成系を $m_1,\dots ,m_n$ とし、$b{m}_i={\sum }_j{a}_{ij}{m}_j$ と書く。

行列 $bE-(a_{ij})$ が生成系をすべて消すので、Cramer の公式から行列式も環全体を消します。$1$ が環に入っているので行列式が $0$ になり、展開すると整従属関係が出る^[3]。

中山の補題と同じ手口です。行列式のトリックが、ここでも効いています。

整閉包は環になる

$b$ と $c$ が $A$ 上整なら、$b+c$ と $bc$ も整です^[1]。

理由は 1 行で済みます。$A[b,c]$ が $A$ 加群として有限生成になるので、その中の元はすべて整^[1]。

したがって $B$ の中で $A$ 上整な元の全体は部分環になります。これを $B$ における $A$ の整閉包といいます^[3]。

和と積で閉じている、という事実が加群の有限性から出る。整従属関係を直接組み合わせる必要はありません。

推移性

$A\subset B\subset C$ で、$B$ が $A$ 上整、$C$ が $B$ 上整とします。このとき $C$ は $A$ 上整です^[1]。

$c\in C$ の整従属関係の係数 $b_i$ を集めて $B^{\prime }=A[b_0,\dots ,b_{n-1}]$ とおくと、$B^{\prime }$ は $A$ 上有限。

$B^{\prime }[c]$ は $B^{\prime }$ 上有限なので、あわせて $A$ 上有限になります。だから $c$ は $A$ 上整^[1]。

系として、整閉包の整閉包はもとの整閉包に等しい。2 度とっても増えません。

整であることと有限であること

$B$ が $A$ 代数として有限生成のとき、次が同値です^[1,3]。

$$B\text{ が }A\text{ 上整}⟺B\text{ が }A\text{ 加群として有限生成}$$

代数として有限生成というのは、$B=A[b_1,\dots ,b_k]$ と書けること。加群として有限生成なら、もっと強い条件です。

$\mathbb{Z}[x]$ は $\mathbb{Z}$ 代数として有限生成ですが、加群としては有限生成になりません。実際 $x$ は整でない。

有限生成という語がどちらの意味かで、話が変わります。

体になるかどうか

$A\subset B$ を整域の整拡大とします。$A$ が体であることと $B$ が体であることは同値です^[3,4]。

$B$ が体なら $A$ も体、という向きが面白いところ。$a\in A$ の逆元は $B$ の中にありますが、整従属関係に $a^{n-1}$ を掛けると $A$ の中で書けます^[4]。

$$a^{-1}=-(a_1+a_{2}a+\cdots +a_n{a}^{n-2})$$

逆向きも同じ計算です。最小次数をとると定数項が $0$ でないので、そこから逆元が作れる^[4]。

系として、素イデアル $\mathfrak{q}\subset B$ が極大であることと $\mathfrak{q}\cap A$ が極大であることが同値になります^[4]。

素イデアルの動き方

整拡大では、素イデアルが行儀よくふるまいます。

Incomparability の証明は局所化で済みます。$A_{\mathfrak{p}}$ の上で考えると両方が極大イデアルになり、包含から一致が出る^[4]。

$\mathrm{Spec}B\to \mathrm{Spec}A$ は全射で、ファイバーの中に包含関係がない。ファイバーが離散的だということです。

次元が変わらない

Lying over と Going-up と Incomparability を合わせると、素イデアルの鎖が両側で対応します。

したがって整拡大では Krull 次元が保たれます。$\dim A=\dim B$ です。

代数体の整数環が $\mathbb{Z}$ 上整なので、次元はどちらも $1$。有限次拡大をとっても次元は上がりません。

Noether の正規化定理は、この性質を使います。有限生成代数を多項式環の上に整にのせて、次元を多項式環の側で数える。

例をいくつか

$\mathbb{Z}\subset \mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ は整拡大です。$\sqrt{2}$ が $X^2-2$ の根なので、生成元が整。

$\mathbb{Z}$ の $\mathbb{Q}(i)$ における整閉包はガウス整数環 $\mathbb{Z}[i]$ です^[1]。

$\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ は整拡大ではありません。$\frac{1}{2}$ が整でないためです。

体の有限次拡大 $K\subset L$ は整拡大です。代数的であることと整であることが、体の上では同じ意味になります^[3]。

局所化しても整のまま

$S$ を $A$ の乗法的集合とします。$B$ が $A$ 上整なら、$S^{-1}B$ は $S^{-1}A$ 上整です^[1]。

$b/s$ の整従属関係は、$b$ の関係式の係数を $s$ の冪で割ったものになります。分母がそろうので、そのまま関係式が立つ。

有限であることも同じように保たれます^[1]。だから整性の議論を局所化に持ち込めます。

まちがえやすい点

分母を許さない。その一点で、素イデアルの動き方から次元の保存まで、まとまった性質が出てきます。

出典