冪零元とべき零根基

冪零元は何乗かすると $0$ になる元であり、環の構造を理解する上で重要な役割を果たします。

冪零元の定義

$R$ を可換環とします。元 $a \in R$ が冪零元であるとは、ある正整数 $n$ が存在して $a^{n} = 0$ となることをいいます。

最小の $n$ を $a$ の冪零指数といいます。

冪零元の基本性質

0

は冪零元（

0^{1} = 0

）

冪零元は零因子である（

a^{n} = 0

なら

a \cdot a^{n - 1} = 0

で

a^{n - 1} \neq = 0

）

体には

0

以外の冪零元がない

べき零根基（ニルラジカル）

$R$ の冪零元全体の集合を $R$ のべき零根基（ニルラジカル）といい、 $N (R)$ と書きます。

$N (R) = {a \in R ∣ \exists n \geq 1, a^{n} = 0}$

これは零イデアル $(0)$ の根基 $(0)$ に等しいです。

べき零根基がイデアルであること

$a, b$ が冪零で $a^{m} = b^{n} = 0$ とします。二項定理より

$(a + b)^{m + n - 1} = k = 0 \sum m + n - 1 (k m + n - 1) a^{k} b^{m + n - 1 - k}$

各項で $k \geq m$ なら $a^{k} = 0$ 、 $k < m$ なら $m + n - 1 - k \geq n$ より $b^{m + n - 1 - k} = 0$ です。よって $(a + b)^{m + n - 1} = 0$ となり、 $a + b$ も冪零です。

$r a$ が冪零であること（ $(r a)^{n} = r^{n} a^{n} = 0$ ）と合わせて、 $N (R)$ はイデアルです。

べき零根基の特徴づけ

素イデアルとの関係

$N (R) = ⋂_{p \in Spec (R)} p$

すなわち、べき零根基はすべての素イデアルの共通部分に等しい。

この等式は「冪零でない元は、それを含まない素イデアルが存在する」ことを意味します。

被約環

環 $R$ が被約（reduced）であるとは、 $N (R) = (0)$ すなわち $0$ 以外に冪零元をもたないことをいいます。

整域は被約環

R

が被約

⟺

R

は整域の部分環の直積に埋め込める

R / N (R)

は常に被約環

具体例

Z / p^{n} Z

$\overset{p}{ˉ}^{n} = 0$ より $\overset{p}{ˉ}$ は冪零。 $N (Z / p^{n} Z) = (\overset{p}{ˉ})$ 。

k [x] / (x^{n})

$\overset{x}{ˉ}^{n} = 0$ より $\overset{x}{ˉ}$ は冪零。 $N = (\overset{x}{ˉ})$ 。

Z /6 Z

$6 = 2 \cdot 3$ より冪零元は $\overset{ˉ}{0}$ のみ。被約環。

k [x, y] / (x y)

$\overset{x}{ˉ} \overset{y}{ˉ} = 0$ だが $\overset{x}{ˉ}^{n} \neq = 0$ , $\overset{y}{ˉ}^{n} \neq = 0$ 。 $\overset{x}{ˉ}, \overset{y}{ˉ}$ は零因子だが冪零でない。被約環。

冪零元と単元

$a$ が冪零なら $1 + a$ は単元です。実際、 $a^{n} = 0$ のとき

$(1 + a) (1 - a + a^{2} - \dots + (- 1)^{n - 1} a^{n - 1}) = 1$

となります。これは等比級数の公式 $\frac{1}{1 + a} = 1 - a + a^{2} - \dots$ の有限版です。