冪零元を足しても単元のまま（多項式環の単元と冪零元の判定）

$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ で $3$ は単元です。$3\times 3=9\equiv 1$ になる。

この $3$ は $1+2$ で、足した $2$ のほうは $2^3=8\equiv 0$ で冪零元です。偶然ではない。

冪零元は、単元に足しても単元をこわしません。この一点から、多項式環の単元の形まで決まる。

冪零元を 1 に足すと単元になる

$a^n=0$ とします。等比級数を $n$ 項で打ち切った式を、$1+a$ にかけてみる。

$$(1+a)(1-a+a^2-\cdots +(-1{)}^{n-1}{a}^{n-1})=1+(-1{)}^{n-1}{a}^n$$

右辺の $a^n$ は $0$ です。残るのは $1$ だけなので、$1+a$ は単元になる。

$\frac{1}{1+a}=1-a+a^2-\cdots$ という無限級数を、途中で打ち切った形。冪零だから打ち切れる、というのがこの計算の中身です。

例：$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ で数える

$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ の冪零元は $0,2,4,6$ です。$2^3=8\equiv 0$、$4^2=16\equiv 0$、$6^3=216\equiv 0$。

単元のほうは $1,3,5,7$ の 4 個。並べると、単元は冪零元にちょうど $1$ を足したものになっています。

$$\{1,3,5,7\}=1+\{0,2,4,6\}$$

$1+a$ が単元になる、という事実がそのまま見える形。$a=2$ で確かめると、$(1+2)(1-2+4)=3\times 3=9\equiv 1$。

単元に足しても単元

$1$ でなくても同じです。$u$ を単元、$a$ を冪零元とすると、$u+a$ もまた単元になる。

$$u+a=u(1+u^{-1}a)$$

$u^{-1}a$ は冪零元です。$(u^{-1}a{)}^n=u^{-n}{a}^n=0$ になるため。かっこの中は単元で、単元どうしの積だから全体も単元。

つまり冪零元は、単元の集合を動かしません。足しても単元は単元のまま、非単元は非単元のまま。

冪零元はどの極大イデアルにも入る

この性質から、冪零元の居場所が決まります。$a$ が冪零なら、$R$ のどの極大イデアル $\mathfrak{m}$ にも $a$ が入る。

$a\notin \mathfrak{m}$ と仮定します。$\mathfrak{m}$ は極大なので $\mathfrak{m}+(a)=R$ になり、$m+ra=1$ と書ける $m\in \mathfrak{m}$、$r\in R$ がとれる。

移項すると $m=1-ra$ です。$ra$ は冪零だから、右辺は単元になる。

$\mathfrak{m}$ に単元が入ると $\mathfrak{m}=R$ になってしまう。極大イデアルは真のイデアルなので、矛盾します。

多項式環では定数以外にも単元がある

$k$ を体とすると、$k[x]$ の単元は $0$ でない定数だけです。次数が $\mathrm{deg}(fg)=\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g$ で足し算になるため、$fg=1$ なら両方が定数。

係数の環に冪零元があると、話が変わります。$R=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ で $f=1+2x$ を 2 乗してみる。

$$(1+2x{)}^2=1+4x+4x^2=1$$

$4\equiv 0$ なので、途中の項が消えました。$1+2x$ は自分自身を逆元に持つ単元になる。

次数の議論が通らないのは、$2\times 2=0$ のせいで最高次の係数が消えるため。

単元の判定

一般に、$f=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n\in R[x]$ が単元であるための条件は次のとおりです。

$R$ が体や整域なら冪零元は $0$ だけなので、$a_1=\cdots =a_n=0$ になる。定数しか単元にならない、というさきほどの話がこの特別な場合。

なぜ高次の係数が冪零になるのか

条件がそろえば単元になる側は短く済みます。$a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n$ は冪零元の和なので冪零で、$f$ は単元 $a_0$ に冪零元を足した形。さきほどの結果から単元です。

逆向きは、最高次から順に押さえていく。$fg=1$ とし、$g=b_0+\cdots +b_m{x}^m$ と置く。

定数項を比べると $a_0{b}_0=1$ で、$a_0$ は単元になります。最高次の項を比べると $a_n{b}_m=0$。

ここから $a_n^{r+1}{b}_{m-r}=0$ が $r$ についての帰納法で従います。$x^{m+n-r}$ の係数を見て、$a_n^r$ をかけると、帰納法の仮定で余分な項が消えるため。

$r=m$ まで進むと $a_n^{m+1}{b}_0=0$ で、$b_0$ は単元だから $a_n^{m+1}=0$。$a_n$ が冪零だと分かります。

すると $a_n{x}^n$ も冪零なので、$f-a_n{x}^n$ もまた単元になる。次数が 1 つ下がった多項式に同じ議論をあてれば、$a_{n-1}$ も冪零です。

例：$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[x]$ の単元を並べる

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ の単元は $1$ と $3$、冪零元は $0$ と $2$ です。判定にあてはめると、単元は定数項が $1$ か $3$、他の係数が $0$ か $2$ の多項式になる。

次数がいくら高くても、係数が $0$ か $2$ なら単元のままです。体の上では起こらない。

多項式環の冪零元

冪零のほうも係数で読めます。$f\in R[x]$ が冪零であることと、係数 $a_0,\dots ,a_n$ がすべて冪零であることは同値になる。

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}[x]$ で $2+2x$ を 2 乗すると $4+8x+4x^2=0$。係数が両方 $2$ なので、確かに冪零になります。

同値の片側は、冪零元の和と積がまた冪零だという事実そのもの。もう片側は、単元のときと同じように最高次から順に押さえます。

冪級数環では条件がゆるむ

係数が無限に続く $R[[x]]$ では、単元の条件が定数項だけになります。高次の係数に冪零という縛りがつかない。

$k[x]$ で単元でない $1-x$ が、$k[[x]]$ では $1+x+x^2+\cdots$ を逆元に持ちます。止まらない級数をそのまま書けるかどうかの差。

冪零のほうは、この対応が片側でしか成り立ちません。$R[[x]]$ で $f$ が冪零なら各係数は冪零ですが、逆は言えない。

多項式なら係数が有限個なので冪零指数の最大値をとれますが、無限に続くと最大値がとれないためです。

冪零元は単元をこわさない。$1$ に足しても、どんな単元に足しても単元のままで、その性質が多項式環の単元の形をそのまま決めています。