整閉整域

整閉整域は分数体における整元をすべて含む整域であり、代数的整数論や代数幾何学で中心的な役割を果たします。

整閉整域の定義

整域 $R$ が整閉であるとは、 $R$ が自身の分数体 $K = Frac (R)$ において整閉であることをいいます。すなわち、 $K$ の元 $α$ が $R$ 上整ならば $α \in R$ です。

言い換えると、 $R$ 係数のモニック多項式の根で $K$ に属するものは、すべて $R$ に属します。

整閉整域の例

体

任意の体 $K$ は整閉整域。 $K = Frac (K)$ で、 $K$ 上整な $K$ の元は $K$ 自身。

Z

$Z$ は整閉。有理数 $\frac{p}{q}$ （既約）が整数係数モニック多項式の根なら $q = \pm 1$ 。

UFD（一意分解整域）

UFD は整閉整域。特に $Z [x]$ 、 $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ は整閉。

正規局所環

正則局所環は整閉（より強く UFD）。

整閉でない例

カスプ

$R = k [t^{2}, t^{3}] \subset k [t]$ を考える。 $Frac (R) = k (t)$ で、 $t = \frac{t ^{3}}{t ^{2}} \in k (t)$ は $R$ 上整（ $t$ は $x^{2} - t^{2}$ の根で $t^{2} \in R$ ）だが $t \in / R$ 。

ノード

$R = k [x, y] / (y^{2} - x^{2} (x + 1))$ は整閉でない。

整閉包

整域 $R$ の分数体 $K$ における整閉包 $\overline{R}$ を $R$ の整閉包といいます。 $\overline{R}$ は $K$ に含まれる最大の $R$ 上整な環であり、整閉整域です。

代数的整数環

$Z$ の $Q (d)$ における整閉包が代数的整数環。 $d \equiv 1 (mod 4)$ のとき $Z [\frac{1 + d}{2}]$ 、それ以外は $Z [d]$ 。

整閉性の判定

UFD ならば整閉

R

が整閉で

S

が乗法的集合なら

S^{- 1} R

も整閉

R

が整閉

⟺

任意の素イデアル

p

で

R_{p}

が整閉

R

が整閉

⟺

任意の極大イデアル

m

で

R_{m}

が整閉

整閉性は局所的な性質です。

正規環

可換環論では、整閉な整域を正規整域（または正規環）と呼ぶことがあります。代数幾何学では、対応するアファイン多様体を正規多様体といいます。

正規性は特異点の観点から重要です。

正規

余次元 $1$ での「悪い振る舞い」がない。

非正規

カスプやノードのような特異点をもつ。

Serre の判定条件

ネーター整域 $R$ が整閉であるための必要十分条件は、次の2条件を満たすことです。

(R_{1})

: 高さ

1

の素イデアル

p

に対し

R_{p}

が離散付値環

(S_{2})

: 高さ

\geq 2

の素イデアル

p

に対し

depth (R_{p}) \geq 2