整な元が外へ逃げない整域 - 整閉整域と正規性の判定

$R = k [t^{2}, t^{3}]$ を見ます。分数体は $k (t)$ で、その中の $t$ は $X^{2} - t^{2} = 0$ の根です。係数の $t^{2}$ は $R$ に入っています。

それでも $t$ 自身は $R$ に入りません。整な元が環の外に残っている。この状態を整閉でないといいます^[2]。

整閉整域とは

整域 $R$ が整閉であるとは、分数体 $K$ の元で $R$ 上整なものがすべて $R$ に属することです^[1]。

$R$ 係数のモニック多項式の根で $K$ に入るものは、はじめから $R$ の元だった。外へはみ出す部分がない、という条件になります。

正規整域という呼び方もします^[2]。幾何では正規多様体に対応する言葉です。

UFD は整閉

いちばん使う十分条件がこれです^[2]。証明は既約分数の議論で終わります。

$α = a / b$ を既約分数とし、 $R$ 上整とします。

$α^{n} + c_{n - 1} α^{n - 1} + \dots + c_{0} = 0$

$b^{n}$ を掛けると $a^{n} + c_{n - 1} a^{n - 1} b + \dots + c_{0} b^{n} = 0$ 。第 2 項から先はすべて $b$ で割れます。

だから $b ∣ a^{n}$ 。 $a$ と $b$ が互いに素なので $b$ は単元で、 $α \in R$ です^[1]。

一意分解が効いているのは、互いに素という言い方ができるところ。 $Z$ 、 $k [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 、正則局所環はすべて整閉になります^[2]。

体はつねに整閉。分数体が自分自身なので条件が自明になる。

Z

は整閉。既約分数の分母が単元に限られる。

UFD は整閉。上の議論がそのまま通る。

正則局所環は UFD なので整閉。

反例を 2 つ

$k [t^{2}, t^{3}]$ が最初の例です。冒頭で見たとおり $t$ がはみ出します。

幾何ではカスプにあたります。 $y^{2} = x^{3}$ の原点で尖った曲線の座標環です。整閉包をとると $k [t]$ になり、尖りが消えます。

2 つ目は $Z [5]$ です。 $\frac{1 + 5}{2}$ が $X^{2} - X - 1 = 0$ の根になります。

この元は $Q (5)$ に入りますが $Z [5]$ には入りません。整閉包は $Z [\frac{1 + 5}{2}]$ です。

$d \equiv 1 (mod 4)$ のときにこの現象が起きます。 $Z [- 5]$ のほうは $- 5 \equiv 3$ なので、これ自身が整数環で整閉。

整閉包

$R$ 上整である $K$ の元をすべて集めたものを、 $R$ の整閉包 $\overline{R}$ といいます。

これは環になります。整な元どうしの和と積が、また整になるためです。 $\overline{R}$ 自身は整閉整域。

代数体の整数環がこの形です。 $Z$ の $Q (d)$ における整閉包が、その体の整数環になります。

$d \equiv 1 (mod 4)$ なら $Z [\frac{1 + d}{2}]$ 、それ以外なら $Z [d]$ です。

幾何では正規化と呼びます。カスプを直線に直す操作が、整閉包をとる操作にあたる。

整閉性は局所的

$R$ が整閉であることは、局所化で確かめられます^[1]。

R

が整閉なら、どの素イデアル

p

でも

R_{p}

が整閉。

逆に、すべての極大イデアルで

R_{m}

が整閉なら

R

も整閉。

乗法的集合

S

について、

R

が整閉なら

S^{- 1} R

も整閉。

点ごとに調べれば足ります^[2]。大域の条件を局所の条件に落とせる、という性質です。

次元 1 なら離散付値環と同じこと

$R$ を次元 $1$ のネーター局所整域とします。次が同値です^[1]。

R

が整閉である。

m

が単項イデアルである。

0

でないイデアルがすべて

m^{n}

の形に一意に書ける。

3 つ目まで来ると、離散付値環そのものです。次元 $1$ では整閉性が単項性に化ける。

デデキント整域を素イデアルで局所化すると、この状況になります。だから局所化はつねに単項イデアル整域です^[1]。

デデキント整域の定義も、この線で書けます。ネーターで、次元が高々 $1$ で、整閉であること^[4]。

次元 1

整閉であることが、極大イデアルの単項性と同じ意味になる

次元 2 以上

単項性までは言えない。整閉でも単項イデアル整域とは限らない

Serre の判定条件

ネーター環が正規であることは、2 つの条件に分かれます^[3]。

(R_{1})

高さ

1

の素イデアル

p

で、

R_{p}

が正則局所環になる。

(S_{2})

どの素イデアル

p

でも、

depth R_{p} \geq min (2, dim R_{p})

が成り立つ。

この 2 つを満たすことと正規であることが同値です^[3]。 $(R_{1})$ が余次元 $1$ での滑らかさ、 $(S_{2})$ が深さの条件。

言いかえると、特異点が余次元 $2$ 以上にしか現れず、しかも低い次元で切れていない。正規性の意味がここに出ます。

カスプは余次元 $1$ の特異点なので $(R_{1})$ が破れます。だから整閉になりません。

Going-down が使える

整閉性は素イデアルの動き方にも効きます。 $A \subset B$ を整域の整拡大とし、 $A$ が整閉とします^[2]。

このとき Going-down が成り立ちます。 $B$ の素イデアルの列を、 $A$ 側の列に合わせて下へ延ばせる^[2]。

幾何では、写像が開になることに対応します。整閉性がないと、下へ降りる道が塞がることがある。

Going-up は整拡大というだけで成り立ちますが、Going-down には整閉性が要る。

上へ延ばすのと下へ延ばすので条件が違います。整閉性は下向きの自由さを保証します。

ノードも整閉でない

$R = k [x, y] / (y^{2} - x^{2} (x + 1))$ を見ます。原点で自分自身と交わる曲線です。

$t = y / x$ が分数体に入ります。曲線の式から $t^{2} = x + 1$ なので、 $t$ は $R$ 上整。

ところが $t \in / R$ です。だから整閉ではありません。整閉包は $k [t]$ になります。

正規化すると交点がほどけて、2 回通っていた点が別々の点に分かれます。

$Z [- 3]$ は整閉整域ですか。

整閉である
整閉でない
整域ではない

__RESULT__

$- 3 \equiv 1 (mod 4)$ なので、 $Q (- 3)$ の整数環は $Z [\frac{1 + - 3}{2}]$ です。 $\frac{1 + - 3}{2}$ は $X^{2} - X + 1 = 0$ の根で、 $Z [- 3]$ の外にあります。

まちがえやすい点

整閉であることを UFD と同じ条件だと思う。

Z [- 5]

は整閉ですが UFD ではありません。

Z [d]

がつねに整数環だと考える。

d \equiv 1 (mod 4)

では小さすぎます。

整閉性を大域でしか調べられないと思う。極大イデアルごとに確かめられます。

(S_{2})

を高さ

2

以上だけの条件と読む。すべての素イデアルで

min (2, dim)

と比べます。

Going-down が整拡大だけで出ると考える。整閉性が要ります。

はみ出した元を拾って環に戻す。それが整閉包で、幾何では尖りや交わりをほどく操作になります。

参考文献

Damian Rössler. *Commutative Algebra*, §12. University of Oxford.

Wolfgang Soergel. *Kommutative Algebra und Geometrie*, §5.7–5.9. Universität Freiburg.

Serre's criterion for normality, Lemma 10.157.4. The Stacks Project.

Andrew V. Sutherland. *Number Theory I, Lecture 3*, Theorem 3.30. Massachusetts Institute of Technology.

$k[t^2, t^3]$ の分数体には $t$ がいます。$X^2 - t^2 = 0$ の根なのに環の外。これが整閉でないということです。UFD が整閉になるのは既約分数の議論で片づき、$\mathbb{Z}[\sqrt{5}]$ が整閉でないのは $(1+\sqrt{5})/2$ が外にいるため。整閉性は極大イデアルごとに確かめられ、次元 $1$ では極大イデアルの単項性と一致します。Serre の $(R_1)$ と $(S_2)$、Going-down まで扱います。