環のテンソル積はなぜ零因子を生じるのか？普遍性とファイバー積

$\mathbb{C}$ を $\mathbb{R}$ の上で $\mathbb{C}$ とテンソルすると、体ではなく $2$ つの $\mathbb{C}$ の積になります。

$$\mathbb{C}{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\cong \mathbb{C}\times \mathbb{C}$$

体を $2$ つ持ってきても、できあがる環に零因子が入る。テンソル積は積を並べるだけの操作ではありません。

加群のテンソル積を思い出す

$R$ を可換環、$M$ と $N$ を $R$ 加群とします。テンソル積 $M{\otimes }_{R}N$ は、双線型写像を線型写像に直す場所として決まります^[1]。

双線型写像 $\phi :M\times N\to P$ があれば、線型写像 $\tilde{\phi }:M{\otimes }_{R}N\to P$ がただ $1$ つとれる。

$\phi (m,n)=\tilde{\phi }(m\otimes n)$ を満たすものが、その $\tilde{\phi }$ です。

この条件だけで $M{\otimes }_{R}N$ は同型を除いて決まります^[2]。存在のほうは、$M\times N$ の自由加群を双線型性の関係式で割って組み立てる^[2]。

環のテンソル積

$A$ と $B$ を $R$ 代数とします。加群としてのテンソル積 $A{\otimes }_{R}B$ に、成分ごとの積を入れる。

$$(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2)=a_1{a}_2\otimes b_1{b}_2$$

この式だけでは定義になりません。$a\otimes b$ の書き方が $1$ 通りではないため、代表元によらないことを確かめる必要がある。

$4$ 変数の写像 $(a_1,b_1,a_2,b_2)\mapsto a_1{a}_2\otimes b_1{b}_2$ が各成分について線型だから、普遍性を $2$ 回使えば積が $A{\otimes }_{R}B$ の上の写像として決まります^[3]。

単位元は $1\otimes 1$。$R\to A{\otimes }_{R}B$、$r\mapsto r\otimes 1$ で $R$ 代数になる。

普遍性で言い直す

$A{\otimes }_{R}B$ は、$R$ 代数の圏での余積です^[5]。$A$ と $B$ の両方から $C$ への準同型の組が、$A{\otimes }_{R}B$ から $C$ への準同型 $1$ つと対応します。

$${\mathrm{Hom}}_R(A{\otimes }_{R}B,C)\cong {\mathrm{Hom}}_R(A,C)\times {\mathrm{Hom}}_R(B,C)$$

対応は、$f$ と $g$ の組に $a\otimes b\mapsto f(a)g(b)$ を返す形です。像が $C$ の中で交わっても構造は決まる。

生成元と関係式で計算する

多項式環の商どうしなら、変数をまとめて関係式を足すだけで計算できる。

$$R[x]/I{\otimes }_{R}R[y]/J\cong R[x,y]/(I+J)$$

右辺の $I$ と $J$ は $R[x,y]$ の中で生成したイデアルです。変数を並べ、両方の関係式を課す形。

$I=J=0$ なら $R[x]{\otimes }_{R}R[y]\cong R[x,y]$。テンソル積が変数を増やす操作になる。

この式が、以下の計算のほとんどを引き受けます。

例：$\mathbb{C}{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$

$\mathbb{C}=\mathbb{R}[x]/(x^2+1)$ と書いて、上の式に入れる。片側は係数の側へ移す。

$$\mathbb{C}{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\cong \mathbb{C}[x]/(x^2+1)$$

$\mathbb{C}$ の中では $x^2+1$ が $(x-i)(x+i)$ と分かれる。$(x-i)$ と $(x+i)$ は互いに素なイデアルだから、中国剰余定理が使える。

$$\mathbb{C}[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{C}[x]/(x-i)\times \mathbb{C}[x]/(x+i)\cong \mathbb{C}\times \mathbb{C}$$

$\mathbb{C}$ を $2$ つ並べた環になりました。$(1,0)$ と $(0,1)$ の積が $0$ で、零因子が生まれている。

もとの $2$ つはどちらも体でした。テンソル積は体を体へ写しません。

例：$\mathbb{Z}/m$ と $\mathbb{Z}/n$

$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ を計算します。$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}=\mathbb{Z}/(m)$ と見て、剰余の式を当てる。

$$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/(m,n)\cong \mathbb{Z}/\gcd (m,n)\mathbb{Z}$$

$m$ と $n$ が互いに素なら $\gcd =1$ で、テンソル積は $0$ です。$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\otimes \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}=0$。

$0$ でない加群を $2$ つ持ってきても、テンソル積が $0$ になることがある。

剰余と局所化はテンソル積で書ける

イデアルで割る操作も、分母を入れる操作も、テンソル積の形になります^[1]。

$\mathbb{Q}{\otimes }_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は $0$ になります。$q\otimes \bar{a}$ を $\frac{q}{n}\otimes n\bar{a}$ と書き直せて、右側が $0$ だから。

分母を入れる側と、割る側がぶつかると何も残りません。

右完全だが左は崩れる

$N$ とのテンソル積は右完全関手です^[2]。完全列 $M^{\prime }\to M\to M^{\prime \prime }\to 0$ に当てると、次も完全になる。

$$M^{\prime }{\otimes }_{R}N⟶M{\otimes }_{R}N⟶M^{\prime \prime }{\otimes }_{R}N⟶0$$

左端の単射性は残りません。$0\to \mathbb{Z}\stackrel{\times 2}{\to }\mathbb{Z}$ に $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ をかけると、$\times 2$ が零写像に変わる。

$$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\stackrel{0}{\to }\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$

もとの写像は単射でしたが、テンソルしたあとは単射ではありません。このずれを測るのが $\mathrm{Tor}$ です。

$\mathrm{Spec}$ ではファイバー積

環の側の余積は、空間の側では引き戻しになります^[4]。

$$\mathrm{Spec}(A{\otimes }_{R}B)=\mathrm{Spec}A{\times }_{\mathrm{Spec}R}\mathrm{Spec}B$$

$R=k$ で $A$、$B$ が座標環なら、$\mathrm{Spec}k$ が $1$ 点だから、普通の直積になります。$k[x]{\otimes }_{k}k[y]\cong k[x,y]$ が、直線 $\times$ 直線 $=$ 平面にあたる。

$\mathbb{C}{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ のほうは、$1$ 点の上に $1$ 点が $2$ つ乗った形。$\mathbb{R}$ 上の $1$ 点を $\mathbb{C}$ へ広げると $2$ 点に分かれる、という事情が零因子として現れている。

保たれない性質

テンソル積を通すと落ちる性質があります。整域どうしでも整域とは限らないことは、$\mathbb{C}{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ で見たとおり。

被約でもなくなる。標数 $p$ の体 $K=k(t)$ と $L=K(t^{1/p})$ をとる。

$L=K[y]/(y^p-t)$ で、$L$ の中では $y^p-t=(y-t^{1/p}{)}^p$ です。

$$L{\otimes }_{K}L\cong L[y]/\left((y-t^{1/p}{)}^p\right)$$

$y-t^{1/p}$ の類が冪零元になる。分離的でない拡大では、こういう形が現れる。

ネーター性も保たれません^[3]。$K=\mathrm{Quot}k[X_1,X_2,\dots ]$ とすると、$K{\otimes }_{k}K$ の中で次のイデアルが真に増え続けます。

$$(X_1-Y_1)⊊(X_1-Y_1,X_2-Y_2)⊊\cdots$$

ここで $X_i=X_i\otimes 1$、$Y_i=1\otimes X_i$。$K$ は体でネーター環ですが、$2$ つのテンソル積は昇鎖条件を満たさない。

$A$ と $B$ の両方から $C$ へ向かう準同型を $1$ 本にまとめる場所、それが $A{\otimes }_{R}B$ です。空間の側では引き戻しにあたり、点が割れたり潰れたりする分だけ、環の側に零因子や冪零元が現れます。

参考