環のテンソル積

環のテンソル積は二つの環（または加群）を組み合わせて新しい環を構成する操作であり、スカラー拡大や積多様体の座標環を表現するのに使われます。

加群のテンソル積

まず加群の場合を復習します。$R$ を可換環、$M,N$ を $R$-加群とするとき、テンソル積 $M{\otimes }_{R}N$ は次の普遍性で特徴づけられる $R$-加群です。

双線型写像 $\phi :M\times N\to P$ が与えられたとき、$R$-線型写像 $\tilde{\phi }:M{\otimes }_{R}N\to P$ がただ一つ存在して $\phi (m,n)=\tilde{\phi }(m\otimes n)$ となる。

$m\otimes n$ は $m\in M$ と $n\in N$ の「形式的な積」であり、双線型性を満たします。

$$(m_1+m_2)\otimes n=m_1\otimes n+m_2\otimes n,m\otimes (n_1+n_2)=m\otimes n_1+m\otimes n_2$$
$$(rm)\otimes n=m\otimes (rn)=r(m\otimes n)$$

環のテンソル積

$R$ を可換環、$A,B$ を $R$-代数とします。$A{\otimes }_{R}B$ は加群としてのテンソル積に、積を

$$(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2)=a_1{a}_2\otimes b_1{b}_2$$

で定めることで $R$-代数となります。

具体例

テンソル積の性質

右完全性

テンソル積は右完全関手です。すなわち、完全列

$$M^{\prime }\to M\to M^{\prime \prime }\to 0$$

に対し

$$M^{\prime }{\otimes }_{R}N\to M{\otimes }_{R}N\to M^{\prime \prime }{\otimes }_{R}N\to 0$$

も完全です。しかし左側の完全性は一般には成り立ちません。

テンソル積と局所化

テンソル積と局所化は可換です。

$$S^{-1}(M{\otimes }_{R}N)\cong S^{-1}M{\otimes }_{S^{-1}R}{S}^{-1}N$$

特に、$A_{\mathfrak{p}}{\otimes }_{R}B\cong (A{\otimes }_{R}B{)}_{\mathfrak{p}}$ などが成り立ちます。

環準同型との関係

$R$-代数準同型 $\phi :A\to A^{\prime }$, $\psi :B\to B^{\prime }$ に対し、テンソル積の準同型

$$\phi \otimes \psi :A{\otimes }_{R}B\to A^{\prime }{\otimes }_R{B}^{\prime }$$

が $(\phi \otimes \psi )(a\otimes b)=\phi (a)\otimes \psi (b)$ で定義されます。

零因子の発生

$A,B$ が整域でも $A{\otimes }_{R}B$ が整域になるとは限りません。

$\mathbb{C}{\otimes }_{\mathbb{R}}\mathbb{C}\cong \mathbb{C}\times \mathbb{C}$ は零因子をもちます。$(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$ です。