平坦加群と平坦性

平坦性はテンソル積が完全列を保つという性質であり、可換環論とホモロジー代数において中心的な概念です。

平坦加群の定義

$R$ を可換環、 $M$ を $R$ -加群とします。 $M$ が平坦であるとは、任意の単射 $R$ -準同型 $ι : N^{'} \to N$ に対し

$ι \otimes id_{M} : N^{'} \otimes_{R} M \to N \otimes_{R} M$

も単射となることをいいます。

同値な条件として、任意の完全列

$0 \to N^{'} \to N \to N^{''} \to 0$

に対し

$0 \to N^{'} \otimes_{R} M \to N \otimes_{R} M \to N^{''} \otimes_{R} M \to 0$

も完全となることがあります。テンソル積は常に右完全なので、平坦性は「左も完全」という条件です。

平坦加群の例

自由加群

自由加群 $R^{n}$ は平坦。 $- \otimes_{R} R^{n}$ は直和と可換で、直和は完全性を保つ。

射影加群

射影加群は平坦。射影加群は自由加群の直和因子だから。

局所化

$S^{- 1} R$ は $R$ -加群として平坦。

平坦性の判定

平坦性はいくつかの同値条件で特徴づけられます。

任意の有限生成イデアル

I \subseteq R

に対し

I \otimes_{R} M \to M

が単射

任意の

R

-加群の単射

N^{'} \to N

に対し

N^{'} \otimes M \to N \otimes M

が単射

任意の完全列に対しテンソル積が完全列を保つ

平坦性の局所的判定

局所的判定

$M$ が $R$ 上平坦 $⟺$ 任意の素イデアル $p$ で $M_{p}$ が $R_{p}$ 上平坦

$⟺$ 任意の極大イデアル $m$ で $M_{m}$ が $R_{m}$ 上平坦

平坦性は局所的な性質です。

局所環上の平坦性

$(R, m)$ を局所環、 $M$ を有限生成 $R$ -加群とします。

局所環上の判定

$M$ が平坦 $⟺$ $M$ が自由

局所環上では、有限生成平坦加群は自由加群に限ります。

Tor による特徴づけ

$M$ が平坦 $⟺$ 任意の $R$ -加群 $N$ に対し $Tor_{1}^{R} (M, N) = 0$

より一般に、 $M$ が平坦 $⟺$ $Tor_{i}^{R} (M, N) = 0$ （すべての $i \geq 1$ と $N$ ）です。

平坦射

環準同型 $φ : R \to S$ が平坦であるとは、 $S$ を $φ$ により $R$ -加群とみなしたとき平坦であることをいいます。

局所化

R \to S^{- 1} R

は平坦射

体の拡大

k \to K

は平坦射

Z \to Z / n Z

は平坦でない（

Z \times n Z

にテンソルすると

0

）

平坦性と基底変換

$φ : R \to S$ が平坦射のとき、 $R$ -加群の完全列は $S$ への基底変換で完全列を保ちます。

$0 \to M^{'} \to M \to M^{''} \to 0 が完全 \Rightarrow 0 \to M^{'} \otimes_{R} S \to M \otimes_{R} S \to M^{''} \otimes_{R} S \to 0 が完全$