射影次元と大域次元

射影次元と大域次元は、加群や環の「ホモロジー的な複雑さ」を測る不変量です。

射影分解

$R$-加群 $M$ の射影分解とは、完全列

$$\cdots \to P_n\to P_{n-1}\to \cdots \to P_1\to P_0\to M\to 0$$

で各 $P_i$ が射影加群であるものをいいます。任意の加群は射影分解をもちます（自由加群による分解を構成すればよい）。

射影次元の定義

$R$-加群 $M$ の射影次元 ${\mathrm{pd}}_R(M)$（または $proj.dim(M)$）は、$M$ の射影分解の最小の長さです。

$${\mathrm{pd}}_R(M)=\min \{n\mid \text{長さ }n\text{ の射影分解が存在}\}$$

有限長の射影分解が存在しない場合は ${\mathrm{pd}}_R(M)=\infty$ とします。

射影次元の例

Ext による特徴づけ

大域次元の定義

環 $R$ の大域次元（global dimension）$gl.dim(R)$ は、すべての $R$-加群の射影次元の上限です。

$$gl.dim(R)=\sup \{{\mathrm{pd}}_R(M)\mid M\text{ は }R\text{-加群}\}$$

大域次元の例

大域次元の特徴づけ

ネーター環 $R$ に対し、次は同値です。

弱大域次元

平坦次元を用いた弱大域次元 $w.gl.dim(R)$ も定義されます。

$$w.gl.dim(R)=\sup \{flat.dim(M)\mid M\text{ は }R\text{-加群}\}$$

ネーター環では $gl.dim(R)=w.gl.dim(R)$ が成り立ちます。

Auslander-Buchsbaum の公式