射影次元と大域次元は、加群や環の「ホモロジー的な複雑さ」を測る不変量です。
射影分解
-加群 の射影分解とは、完全列
で各 が射影加群であるものをいいます。任意の加群は射影分解をもちます（自由加群による分解を構成すればよい）。
射影次元の定義
-加群 の射影次元 （または ）は、 の射影分解の最小の長さです。
有限長の射影分解が存在しない場合は とします。
射影次元の例
射影加群
が射影加群
-加群として 。分解 による。
-加群として 。
Ext による特徴づけ
射影次元と Ext
（すべての に対し）
（すべての巡回加群 に対し）
大域次元の定義
環 の大域次元（global dimension） は、すべての -加群の射影次元の上限です。
大域次元の例
体
。体上の加群（ベクトル空間）はすべて自由、したがって射影的。
PID
が PID なら 。
多項式環
（Hilbert のシジジー定理）。
正則局所環
が正則局所環なら 。
大域次元の特徴づけ
ネーター環 に対し、次は同値です。
任意の有限生成加群 に対し
任意のイデアル に対し
弱大域次元
平坦次元を用いた弱大域次元 も定義されます。
ネーター環では が成り立ちます。
Auslander-Buchsbaum の公式
Auslander-Buchsbaum の公式
を局所環、 を の有限生成加群とする。このとき
