射影次元と大域次元

射影次元と大域次元は、加群や環の「ホモロジー的な複雑さ」を測る不変量です。

射影分解

$R$ -加群 $M$ の射影分解とは、完全列

$\dots \to P_{n} \to P_{n - 1} \to \dots \to P_{1} \to P_{0} \to M \to 0$

で各 $P_{i}$ が射影加群であるものをいいます。任意の加群は射影分解をもちます（自由加群による分解を構成すればよい）。

$R$ -加群 $M$ の射影次元 $pd_{R} (M)$ （または $proj.dim (M)$ ）は、 $M$ の射影分解の最小の長さです。

$pd_{R} (M) = min {n ∣ 長さ n の射影分解が存在}$

有限長の射影分解が存在しない場合は $pd_{R} (M) = \infty$ とします。

射影加群

$M$ が射影加群 $⟺$ $pd_{R} (M) = 0$

Z / n Z

$Z$ -加群として $pd_{Z} (Z / n Z) = 1$ 。分解 $0 \to Z \times n Z \to Z / n Z \to 0$ による。

k [x] / (x^{2})

$k [x]$ -加群として $pd_{k [x]} (k [x] / (x^{2})) = 1$ 。

射影次元と Ext

$pd_{R} (M) \leq n ⟺ Ext_{R}^{n + 1} (M, N) = 0$ （すべての $N$ に対し）

$⟺ Ext_{R}^{n + 1} (M, N) = 0$ （すべての巡回加群 $N$ に対し）

環 $R$ の大域次元（global dimension） $gl.dim (R)$ は、すべての $R$ -加群の射影次元の上限です。

$gl.dim (R) = sup {pd_{R} (M) ∣ M は R - 加群}$

体

$gl.dim (k) = 0$ 。体上の加群（ベクトル空間）はすべて自由、したがって射影的。

PID

$R$ が PID なら $gl.dim (R) \leq 1$ 。

多項式環

$gl.dim (k [x_{1}, \dots, x_{n}]) = n$ （Hilbert のシジジー定理）。

正則局所環

$(R, m)$ が正則局所環なら $gl.dim (R) = dim R$ 。

ネーター環 $R$ に対し、次は同値です。

gl.dim (R) \leq n

任意の有限生成加群

M

に対し

pd_{R} (M) \leq n

任意のイデアル

I

に対し

pd_{R} (R / I) \leq n

平坦次元を用いた弱大域次元 $w.gl.dim (R)$ も定義されます。

$w.gl.dim (R) = sup {flat.dim (M) ∣ M は R - 加群}$

ネーター環では $gl.dim (R) = w.gl.dim (R)$ が成り立ちます。

$(R, m)$ を局所環、 $M$ を $pd_{R} (M) < \infty$ の有限生成加群とする。このとき

$pd_{R} (M) + depth (M) = depth (R)$