形式的ベキ級数環の性質

形式的ベキ級数環は多項式環の完備化であり、解析的な直観と代数的な厳密さを橋渡しする重要な環です。

形式的ベキ級数環の定義

$R$ を可換環とします。 $R$ 上の一変数形式的ベキ級数環 $R [[x]]$ は

$R [[x]] = {n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} ∣ a_{n} \in R}$

という形式的な無限和全体の集合に、係数ごとの和と畳み込み積

$(\sum a_{n} x^{n}) (\sum b_{n} x^{n}) = n = 0 \sum \infty (k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k}) x^{n}$

を入れた環です。収束性は問いません。

多変数の場合 $R [[x_{1}, \dots, x_{n}]]$ も同様に定義されます。

多項式環との関係

$R [x] \subseteq R [[x]]$ であり、 $R [[x]]$ は $R [x]$ のイデアル $(x)$ による完備化 $lim R [x] / (x^{n})$ と同型です。

単元の特徴づけ

単元の判定

$f = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} \in R [[x]]$ が単元 $⟺$ $a_{0}$ が $R$ で単元

$a_{0}$ が単元なら、 $f^{- 1} = a_{0}^{- 1} (1 - (- a_{0}^{- 1} (a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots)))^{- 1}$ を等比級数展開で構成できます。

形式的ベキ級数環の性質

$R$ の性質が $R [[x]]$ に遺伝します。

R

が整域

\Rightarrow

R [[x]]

も整域

R

がネーター環

\Rightarrow

R [[x]]

もネーター環

R

が UFD

\Rightarrow

R [[x]]

も UFD

R

が局所環

\Rightarrow

R [[x]]

も局所環

局所環としての構造

$k$ を体とすると、 $k [[x]]$ は極大イデアル $(x)$ をもつ局所環です。

k [[x]]

の構造

$k [[x]]$ の $0$ でないイデアルは $(x^{n})$ （ $n \geq 0$ ）の形に限る。したがって $k [[x]]$ は離散付値環（DVR）であり、PID である。

多変数の場合 $k [[x_{1}, \dots, x_{n}]]$ は極大イデアル $(x_{1}, \dots, x_{n})$ をもつ正則局所環です。

Weierstrass の準備定理

形式的ベキ級数環では次の準備定理が成り立ちます。

Weierstrass の準備定理

$f \in k [[x_{1}, \dots, x_{n}]]$ が $f (0, \dots, 0, x_{n}) \neq = 0$ を満たすとする。 $f (0, \dots, 0, x_{n}) = x_{n}^{d} \cdot (単元)$ と書けるとき、 $f = u \cdot g$ と一意的に分解できる。ここで $u$ は $k [[x_{1}, \dots, x_{n}]]$ の単元、 $g$ は $k [[x_{1}, \dots, x_{n - 1}]] [x_{n}]$ の次数 $d$ のモニック多項式。

Hensel の補題

形式的ベキ級数環（より一般に完備局所環）では Hensel の補題が成り立ちます。

Hensel の補題

$(R, m)$ を完備局所環、 $f \in R [x]$ とする。 $\overset{ˉ}{f} \in (R / m) [x]$ が互いに素な $\overset{g}{ˉ}, \overset{ˉ}{h}$ の積 $\overset{ˉ}{f} = \overset{g}{ˉ} \overset{ˉ}{h}$ に分解するなら、 $f = g h$ となる $g, h \in R [x]$ で $g mod m = \overset{g}{ˉ}$ , $h mod m = \overset{ˉ}{h}$ を満たすものが存在する。

収束ベキ級数環との関係

複素数上では、収束ベキ級数環 $C {x_{1}, \dots, x_{n}}$ と形式的ベキ級数環 $C [[x_{1}, \dots, x_{n}]]$ の両方が考えられます。前者は解析的、後者は純代数的な対象です。両者は局所環として類似の性質をもちますが、 $C {x} ⊊ C [[x]]$ です。