正則列とKoszul複体

正則列は加群の深さを測る基本的な道具であり、Koszul 複体はそれを系統的に扱うホモロジー代数的な構成です。

正則列の定義

$R$ を可換環、$M$ を $R$-加群とします。元の列 $x_1,\dots ,x_n\in R$ が $M$ 上の正則列（$M$-regular sequence）であるとは、次の条件を満たすことをいいます。

二番目の条件は、$x_i\cdot m\in (x_1,\dots ,x_{i-1})M$ ならば $m\in (x_1,\dots ,x_{i-1})M$ となることを意味します。

正則列の例

深さ（depth）

$(R,\mathfrak{m})$ を局所環、$M$ を有限生成 $R$-加群とします。$M$ の深さ $\mathrm{depth}(M)$（または ${\mathrm{depth}}_R(M)$）は、$\mathfrak{m}$ に含まれる $M$-正則列の最大の長さです。

$$\mathrm{depth}(M)=\max \{n\mid \text{長さ }n\text{ の }M\text{-正則列が }\mathfrak{m}\text{ に存在}\}$$

Koszul 複体の構成

$x\in R$ に対し、Koszul 複体 $K(x)$ は

$$0\to R\stackrel{\cdot x}{\to }R\to 0$$

という長さ $1$ の複体です。

$x_1,\dots ,x_n$ に対する Koszul 複体 $K(x_1,\dots ,x_n)$ はテンソル積

$$K(x_1,\dots ,x_n)=K(x_1){\otimes }_R\cdots {\otimes }_{R}K(x_n)$$

で定義されます。これは長さ $n$ の複体で、$i$ 次の項は $R^{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)}$ です。

Koszul 複体の明示的記述

$K(x_1,\dots ,x_n)$ の $i$ 次の項は、添字集合 $\{1,\dots ,n\}$ の $i$ 元部分集合でラベルづけられた自由加群です。境界作用素は

$$d(e_{j_1}\wedge \cdots \wedge e_{j_i})=\sum _{k=1}^i(-1{)}^{k-1}{x}_{j_k}{e}_{j_1}\wedge \cdots \wedge {\hat{e}}_{j_k}\wedge \cdots \wedge e_{j_i}$$

で与えられます（${\hat{e}}_{j_k}$ は省略を表す）。

Koszul ホモロジーと正則列

正則列のとき、Koszul 複体は $M/(x_1,\dots ,x_n)M$ の自由分解を与えます。

深さと Ext

正則列の順序

一般に、正則列の性質は元の順序に依存します。ただし次が成り立ちます。

正則局所環との関係

$(R,\mathfrak{m})$ を $n$ 次元ネーター局所環とします。

このとき生成元を正則パラメータ系といいます。