単体複体と単体ホモロジー

単体複体は位相空間を三角形やその高次元版（単体）で分割したものです。単体ホモロジーは組み合わせ的な方法でホモロジー群を計算します。

単体の定義

${\mathbb{R}}^n$ における $k$-単体（$k$-simplex）は、アフィン独立な $k+1$ 個の点 $v_0,\dots ,v_k$ の凸包です。

$$\sigma =[v_0,\dots ,v_k]=\left\{\sum _{i=0}^k{t}_i{v}_i:t_i\ge 0,\sum _{i=0}^k{t}_i=1\right\}$$

$0$-単体は点、$1$-単体は線分、$2$-単体は三角形、$3$-単体は四面体です。

単体複体の定義

単体複体 $K$ は単体の集まりで、次の条件を満たすものです。

単体複体の幾何学的実現 $|K|$ は、含まれる単体すべての和集合に相対位相を入れた空間です。

単体複体の例

三角形の境界は、3つの $0$-単体（頂点）と3つの $1$-単体（辺）からなる単体複体であり、$|K|\cong S^1$ です。

四面体の境界は4つの頂点、6つの辺、4つの面からなり、$|K|\cong S^2$ です。

鎖群の定義

$k$-鎖群 $C_k(K)$ は、$K$ の $k$-単体を基底とする自由アーベル群です。

$$C_k(K)=\underset{\sigma :k\text{-単体}}{⨁}\mathbb{Z}\cdot \sigma$$

元は $k$-単体の整数係数形式和 $\sum n_i{\sigma }_i$ です。

境界作用素

境界作用素 ${\partial }_k:C_k(K)\to C_{k-1}(K)$ は、単体の境界を計算する準同型です。

$${\partial }_k[v_0,\dots ,v_k]=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i[v_0,\dots ,\widehat{v_i},\dots ,v_k]$$

$\widehat{v_i}$ は $v_i$ を除くことを意味します。交代符号により ${\partial }_{k-1}\circ {\partial }_k=0$ が成り立ちます。

境界作用素の例

$2$-単体 $[v_0,v_1,v_2]$ の境界は

$${\partial }_2[v_0,v_1,v_2]=[v_1,v_2]-[v_0,v_2]+[v_0,v_1]$$

です。これは三角形の3辺を向き付きで足し合わせたものです。

サイクルと境界

$\ker {\partial }_k=Z_k(K)$ をサイクル群、$\mathrm{im}{\partial }_{k+1}=B_k(K)$ を境界群といいます。

${\partial }_{k-1}\circ {\partial }_k=0$ より $B_k\subseteq Z_k$ です。

ホモロジー群の定義

$k$ 次ホモロジー群は商群として定義されます。

$$H_k(K)=Z_k(K)/B_k(K)=\ker {\partial }_k/\mathrm{im}{\partial }_{k+1}$$

サイクル（境界を持たない鎖）のうち、別の鎖の境界として表せないものが非自明なホモロジー類を与えます。

ホモロジー群の直感的意味

$H_0$ は連結成分を数えます。$\mathrm{rank}{H}_0$ は連結成分の個数です。

$H_1$ は「1次元の穴」（ループで囲めるが塗りつぶせない領域）を検出します。

$H_2$ は「2次元の穴」（球面で囲めるが充填できない空洞）を検出します。

三角形の境界のホモロジー

$K$ を三角形の境界（$S^1$ と同相）とすると、

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z},H_1(K)\cong \mathbb{Z},H_k(K)=0(k\ge 2)$$

$H_0\cong \mathbb{Z}$ は連結、$H_1\cong \mathbb{Z}$ は1つの穴（円周が囲む）を表します。

四面体のホモロジー

$K$ を中身の詰まった四面体とすると、$|K|$ は可縮なので

$$H_0(K)\cong \mathbb{Z},H_k(K)=0(k\ge 1)$$

四面体の境界のみ（中身なし、$S^2$ と同相）では $H_0\cong \mathbb{Z}$, $H_2\cong \mathbb{Z}$, 他は $0$ です。