単体複体は位相空間を三角形やその高次元版（単体）で分割したものです。単体ホモロジーは組み合わせ的な方法でホモロジー群を計算します。
単体の定義
における -単体（-simplex）は、アフィン独立な 個の点 の凸包です。
-単体は点、-単体は線分、-単体は三角形、-単体は四面体です。
単体複体の定義
単体複体 は単体の集まりで、次の条件を満たすものです。
単体複体の幾何学的実現 は、含まれる単体すべての和集合に相対位相を入れた空間です。
単体複体の例
三角形の境界は、3つの -単体（頂点）と3つの -単体（辺）からなる単体複体であり、 です。
四面体の境界は4つの頂点、6つの辺、4つの面からなり、 です。
鎖群の定義
-鎖群 は、 の -単体を基底とする自由アーベル群です。
元は -単体の整数係数形式和 です。
境界作用素
境界作用素 は、単体の境界を計算する準同型です。
は を除くことを意味します。交代符号により が成り立ちます。
境界作用素の例
-単体 の境界は
です。これは三角形の3辺を向き付きで足し合わせたものです。
サイクルと境界
をサイクル群、 を境界群といいます。
より です。
ホモロジー群の定義
次ホモロジー群は商群として定義されます。
サイクル（境界を持たない鎖）のうち、別の鎖の境界として表せないものが非自明なホモロジー類を与えます。
ホモロジー群の直感的意味
は連結成分を数えます。 は連結成分の個数です。
は「1次元の穴」（ループで囲めるが塗りつぶせない領域）を検出します。
は「2次元の穴」（球面で囲めるが充填できない空洞）を検出します。
三角形の境界のホモロジー
を三角形の境界（ と同相）とすると、
は連結、 は1つの穴（円周が囲む）を表します。
四面体のホモロジー
を中身の詰まった四面体とすると、 は可縮なので
四面体の境界のみ（中身なし、 と同相）では , , 他は です。
境界を持たない鎖。閉じた図形を表す。
他の鎖の境界として表せるサイクル。「塗りつぶせる」穴。
