特異ホモロジーとは？定義・計算例・単体ホモロジーとの違い

特異ホモロジーは、任意の位相空間に対して定義できるホモロジー理論です。単体複体への分割をいっさい必要とせず、位相的に同じ空間には同じホモロジー群を与えます。単体ホモロジーが三角形分割という具体的な足場を要したのに対し、特異ホモロジーは空間へのあらゆる連続写像を材料に使うことで、この足場を取り払います。そのぶん鎖群は巨大になりますが、定義から位相不変性がほぼ明らかで、理論を組み立てる土台として扱いやすくなります。

標準単体と特異単体

出発点は、各次元のひな型となる標準単体です。標準 $n$-単体 ${\Delta }^n$ を次で定めます。

$${\Delta }^n=\{(t_0,\dots ,t_n)\in {\mathbb{R}}^{n+1}:t_i\ge 0,\sum _{i=0}^n{t}_i=1\}$$

${\Delta }^0$ は点、${\Delta }^1$ は線分、${\Delta }^2$ は三角形、${\Delta }^3$ は四面体と、次元ごとに基本図形が並びます。位相空間 $X$ への特異 $n$-単体とは、この標準単体からの連続写像 $\sigma :{\Delta }^n\to X$ のことです。

ここで「特異（singular）」という語が効いています。$\sigma$ は単射である必要も、像がきれいな $n$ 次元の図形になる必要もありません。全体を一点へ潰す写像も、像が折り重なる写像も、すべて特異単体として認めます。この寛容さこそが、単体分割という制約を外す原動力です。低次元で見ると、特異 $0$-単体は $X$ の一点、特異 $1$-単体は $X$ の中の道（曲線）、特異 $2$-単体は三角形を $X$ へ写した膜にあたります。

構成の流れ

特異ホモロジーの組み立ては、単体ホモロジーと同じ四段の道すじをたどります。

違うのは最初の一歩だけです。単体ホモロジーがあらかじめ分割した単体を基底にしたのに対し、特異ホモロジーは空間へのあらゆる連続写像を基底にします。以下、各段を順に見ていきます。

特異鎖群

$n$ 次特異鎖群 $S_n(X)$ は、$X$ へのすべての特異 $n$-単体を基底とする自由アーベル群です。

$$S_n(X)=\underset{\sigma :{\Delta }^n\to X}{⨁}\mathbb{Z}\cdot \sigma$$

その元は、有限個の特異単体の整数係数の形式和 $\sum n_i{\sigma }_i$ です。単体複体のホモロジーでは基底が有限個の単体でしたが、ここでは連続写像すべてが基底なので、基底は一般に非可算無限になります。一見すると手に負えない大きさですが、ホモロジーを取る段階でこの巨大さは畳み込まれ、最終的な群はしばしば有限生成のこぢんまりした形に落ち着きます。

境界作用素

境界を定めるために、面写像を用意します。$i$ 番目の面写像 $d_i:{\Delta }^{n-1}\to {\Delta }^n$ は、$i$ 番目の頂点を飛ばして残りの頂点へ順に対応させる線形写像です。これを $\sigma$ に前から合成した $\sigma \circ d_i$ が、$\sigma$ の第 $i$ 面にあたります。境界作用素 ${\partial }_n:S_n(X)\to S_{n-1}(X)$ は、各面を交代符号で足し合わせて定めます。

$${\partial }_n\sigma =\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\sigma \circ d_i$$

もっとも簡単な例は $1$-単体です。道 $\sigma :{\Delta }^1\to X$ の始点を $\sigma (e_0)$、終点を $\sigma (e_1)$ とすると、その境界は終点から始点を引いたものになります。

$${\partial }_1\sigma =\sigma (e_1)-\sigma (e_0)$$

交代符号のおかげで、境界の境界はつねに消えます。すなわち ${\partial }_{n-1}\circ {\partial }_n=0$ が成り立ちます。これは面写像どうしの関係 $d_i\circ d_j=d_j\circ d_{i-1}$（$i>j$）から従う恒等式で、ホモロジー理論全体を支える一点です。

特異ホモロジー群

$\partial$ の核 $\ker {\partial }_n$ をサイクル、$\partial$ の像 $\mathrm{im}{\partial }_{n+1}$ を境界と呼びます。${\partial }^2=0$ より境界はつねにサイクルなので、商を取れます。$n$ 次特異ホモロジー群を次で定義します。

$$H_n(X)=\ker {\partial }_n/\mathrm{im}{\partial }_{n+1}$$

閉じているのに何かの境界にはなっていないサイクル、それが非自明なホモロジー類として生き残り、空間の $n$ 次元の穴を測ります。この $H_n(X)$ は位相不変量であり、同相な空間は同型なホモロジー群を持ちます。

例：一点空間

もっとも小さな空間で、定義を最後まで回してみます。$X=\{\ast \}$ を一点とします。各次元で、${\Delta }^n$ から一点への連続写像はすべてを $\ast$ へ送る定値写像ただ一つなので、特異 $n$-単体は各 $n$ でちょうど一つ、${\sigma }_n$ だけです。したがって $S_n(\{\ast \})\cong \mathbb{Z}$ がすべての $n\ge 0$ で成り立ちます。

境界を計算します。${\partial }_n{\sigma }_n={\sum }_{i=0}^n(-1{)}^i{\sigma }_{n-1}$ で、各面はどれも唯一の ${\sigma }_{n-1}$ に等しいので符号だけが残り、和 ${\sum }_{i=0}^n(-1{)}^i$ は $n$ が奇数なら $0$、$n$ が正の偶数なら $1$ になります。すると境界写像は $0$ と恒等写像が交互に並ぶ形になり、ホモロジーを取ると次のようになります。

$$H_0(\{\ast \})\cong \mathbb{Z},H_n(\{\ast \})=0(n\ge 1)$$

一点には高次元の穴がないという当たり前の事実が、確かに再現されました。この計算が、以後すべての空間の基準点になります。

ゼロ次ホモロジーと弧状連結成分

$H_0$ は、特別に明快な意味を持ちます。任意の空間 $X$ に対して、$H_0(X)$ は $X$ の弧状連結成分ひとつにつき $\mathbb{Z}$ を一つ持つ自由アーベル群になります。成分が $k$ 個なら $H_0(X)\cong {\mathbb{Z}}^k$ です。理由は境界の形にあります。$1$-単体は道で、その境界は終点から始点を引いたものでした。だから二つの点は、道でつながっているときちょうどホモロジー的に等しくなり、$H_0$ が数えているのは道でつながるかどうかで分けたかたまりの個数になります。

たとえば二点からなる離散空間 $X=\{p,q\}$ では、$p$ と $q$ を結ぶ道がないので $H_0(X)\cong {\mathbb{Z}}^2$ となります。低次のホモロジーの意味を、ここでまとめておきます。

被約ホモロジー

一点空間で $H_0=\mathbb{Z}$ が残るのは、しばしば計算の見通しを悪くします。そこで、$H_0$ からこの $\mathbb{Z}$ を一つ差し引いた被約ホモロジー ${\tilde{H}}_n(X)$ を導入します。弧状連結な空間なら ${\tilde{H}}_0(X)=0$ となり、$n\ge 1$ では ${\tilde{H}}_n(X)=H_n(X)$ と通常のホモロジーに一致します。

$$H_0(X)\cong {\tilde{H}}_0(X)\oplus \mathbb{Z}$$

被約ホモロジーでは、一点空間のホモロジーがすべての次数で $0$ になります。基準がゼロにそろうので、球面の計算などで公式が一段すっきりします。

ホモトピー不変性と函手性

特異ホモロジーの威力は、位相不変性よりさらに強いホモトピー不変性にあります。二つの空間がホモトピー同値 $X\simeq Y$ であれば、$H_n(X)\cong H_n(Y)$ がすべての $n$ で成り立ちます。とくに一点へ縮む可縮空間は、一点と同じホモロジーを持ちます。円板 $D^n$ やユークリッド空間 ${\mathbb{R}}^n$ が可縮の例で、そのホモロジーは次のようになります。

$$H_0\cong \mathbb{Z},H_n=0(n\ge 1)$$

もう一つの根本的な性質が函手性です。連続写像 $f:X\to Y$ は、特異単体 $\sigma$ を $f\circ \sigma$ へ送ることで鎖の写像を定め、これがホモロジーの準同型 $f_{\ast }:H_n(X)\to H_n(Y)$ を誘導します。合成と恒等について $(g\circ f{)}_{\ast }=g_{\ast }\circ f_{\ast }$ および $({\mathrm{id}}_X{)}_{\ast }=\mathrm{id}$ が成り立ち、$H_n$ は位相空間の圏からアーベル群の圏への函手になります。同相写像が同型を誘導するのは、この函手性のもっともわかりやすい帰結です。

Mayer-Vietoris 完全列

具体的な空間のホモロジーを計算する主力道具が、Mayer-Vietoris 完全列です。空間 $X$ を二つの開集合で $X=U\cup V$ と覆うと、それらのホモロジーが長い完全列で結ばれます。

$$\cdots \to H_n(U\cap V)\to H_n(U)\oplus H_n(V)\to H_n(X)\stackrel{{\partial }_{\ast }}{\to }{H}_{n-1}(U\cap V)\to \cdots$$

空間を重なりのある二枚に切り分け、各パーツと重なりのホモロジーから全体を復元する、という仕組みです。van Kampen の定理が基本群を貼り合わせで求めたのと同じ発想が、ホモロジーでは完全列という線型代数的な形で現れます。

例：円周と球面

Mayer-Vietoris で円周 $S^1$ を計算します。$S^1$ を、上側と下側に少し余裕を持たせた二つの弧 $U,V$ で覆うと、$U,V$ はどちらも可縮、共通部分 $U\cap V$ は離れた二つの弧で二点とホモトピー同値です。可縮な $U,V$ の高次ホモロジーが消えるので、被約ホモロジーの完全列は次の部分にしぼられます。

$$0\to {\tilde{H}}_1(S^1)\to {\tilde{H}}_0(U\cap V)\to {\tilde{H}}_0(U)\oplus {\tilde{H}}_0(V)$$

${\tilde{H}}_0(U\cap V)\cong \mathbb{Z}$（二点なので被約で $\mathbb{Z}$）、右端は $0$（$U,V$ は連結）なので、${\tilde{H}}_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ が読み取れます。まとめると円周のホモロジーは次のとおりです。

$$H_0(S^1)\cong \mathbb{Z},H_1(S^1)\cong \mathbb{Z},H_n(S^1)=0(n\ge 2)$$

$H_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ の生成元は、円周を一周するループそのものです。同じ計算を球面 $S^n$ に繰り返すと、上半球と下半球（ともに可縮）の重なりが $S^{n-1}$ にあたるので、次元を一つずつ上げる漸化式が立ちます。結果は、両端の次数だけに $\mathbb{Z}$ が立つ形になります。

$$H_0(S^n)\cong \mathbb{Z},H_n(S^n)\cong \mathbb{Z},H_k(S^n)=0(k\ne 0,n)$$

例：トーラスと射影平面

もう少し込み入った曲面も、同じ道具で計算できます。トーラス $T^2=S^1\times S^1$ は、独立な二つの向きのループを持つので $H_1$ が ${\mathbb{Z}}^2$ になり、全体を囲む膜として $H_2$ に $\mathbb{Z}$ が現れます。

$$H_0(T^2)\cong \mathbb{Z},H_1(T^2)\cong {\mathbb{Z}}^2,H_2(T^2)\cong \mathbb{Z}$$

対照的なのが実射影平面 ${\mathbb{RP}}^2$ です。ここには、一周では境界にならないのに二周すると境界になるループがあり、その事情が有限位数の群、すなわちねじれとして現れます。

$$H_0({\mathbb{RP}}^2)\cong \mathbb{Z},H_1({\mathbb{RP}}^2)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z},H_2({\mathbb{RP}}^2)=0$$

$H_1$ に現れた $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は、${\mathbb{RP}}^2$ が向き付け不可能であることの代数的な影です。ホモロジーが単なる穴の個数だけでなく、こうしたねじれ方まで拾えるのは、係数に整数を選んでいるおかげです。

一次ホモロジーと基本群

$H_1$ には、基本群との美しい橋がかかっています。フレヴィッツの定理によれば、弧状連結な空間 $X$ の一次ホモロジー群は、基本群 ${\pi }_1(X)$ をアーベル化したものに一致します。

$$H_1(X)\cong {\pi }_1(X{)}^{\mathrm{ab}}$$

基本群ではループの合成が非可換でしたが、ホモロジーではループを向きつきで足し合わせるため、可換性が強制されます。だから $H_1$ は ${\pi }_1$ から非可換性を消した線型化だと読めます。$8$ の字 $S^1\vee S^1$ なら ${\pi }_1$ は自由群 $F_2$、そのアーベル化は ${\mathbb{Z}}^2$ なので $H_1\cong {\mathbb{Z}}^2$、トーラスなら ${\pi }_1\cong {\mathbb{Z}}^2$ がそのままアーベル群なので $H_1\cong {\mathbb{Z}}^2$、という具合に計算がきれいに合います。

相対ホモロジーと長完全列

部分空間 $A\subseteq X$ を持つ対 $(X,A)$ に対して、相対ホモロジーが定義できます。相対鎖群を商 $S_n(X,A)=S_n(X)/S_n(A)$ で定め、そこから同じ要領で相対ホモロジー群 $H_n(X,A)$ を作ります。これは直感的には、$A$ を一点に潰した空間のホモロジーに対応します。

対 $(X,A)$ には、絶対ホモロジーと相対ホモロジーを結ぶ長完全列があります。

$$\cdots \to H_n(A)\stackrel{i_{\ast }}{\to }{H}_n(X)\stackrel{j_{\ast }}{\to }{H}_n(X,A)\stackrel{{\partial }_{\ast }}{\to }{H}_{n-1}(A)\to \cdots$$

完全列とは、各項で入ってくる像と出ていく核がちょうど一致する列のことで、隣り合う項の情報から未知の項をしぼり込めます。この列は相対ホモロジーの計算に欠かせず、たとえば円板 $D^n$ とその境界 $S^{n-1}$ の対に適用すると $H_n(D^n,S^{n-1})\cong {\tilde{H}}_{n-1}(S^{n-1})$ が得られ、球面のホモロジーを次元について帰納的に求める別ルートにもなります。

切除定理

長完全列と並ぶもう一つの基本定理が切除定理です。部分空間が $U\subseteq A\subseteq X$ を満たし、$U$ の閉包が $A$ の内部に収まっている（$\overline{U}\subseteq \mathrm{int}(A)$）とき、$U$ を両側から取り除いても相対ホモロジーは変わりません。

$$H_n(X\setminus U,A\setminus U)\cong H_n(X,A)$$

相対ホモロジー $H_n(X,A)$ が $A$ の外側の情報だけで決まり、内部を切り取っても影響を受けない、ということです。切除定理は Mayer-Vietoris 完全列を導く鍵でもあり、二つはほぼ同じ内容の言い換えになっています。

写像度への応用

計算できるホモロジー群は、写像そのものの分類にも使えます。連続写像 $f:S^n\to S^n$ は、函手性から準同型 $f_{\ast }:H_n(S^n)\to H_n(S^n)$ を誘導します。$H_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$ なので $f_{\ast }$ は整数の掛け算という形になり、この整数を $f$ の写像度と呼びます。

$$f_{\ast }:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z},f_{\ast }(m)=(\mathrm{deg}f)m$$

写像度は、球面を球面へ何回巻きつけるかを数える整数不変量です。恒等写像の度は $1$、定値写像の度は $0$、対心写像 $x\mapsto -x$ の度は $(-1{)}^{n+1}$ になります。ホモトピックな写像は同じ度を持つので、度は写像のホモトピー類を区別する道具になり、代数学の基本定理や毛玉定理の証明にも使われます。

単体ホモロジーとの関係

最後に、計算に強い単体ホモロジーとの関係を押さえます。単体複体 $K$ に対して、組み合わせ的に定義した単体ホモロジーと、その幾何学的実現 $|K|$ の特異ホモロジーは、つねに同型になります。

$$H_n^{\mathrm{simp}}(K)\cong H_n(|K|)$$

だから両者は役割分担ができます。具体的な数値は有限個の単体と整数行列で扱える単体ホモロジーで求め、理論的な議論は性質のよい特異ホモロジーで進める、というのが定石です。

計算例のまとめ

これまでに求めた空間のホモロジーを一覧にします。どれも弧状連結なので $H_0$ はすべて $\mathbb{Z}$ で、表には $H_1$ と $H_2$ を並べます。

表からは、$S^1$ の輪、$S^2$ の空洞、$T^2$ の二方向の輪と全体の膜、${\mathbb{RP}}^2$ のねじれといった幾何的特徴が、各ホモロジー群の姿にそのまま反映されているのが読み取れます。締めくくりに、特異ホモロジーが備える基本性質を並べておきます。

これらの性質は、まとめてアイレンベルグ・スティーンロッドの公理として整理され、ホモロジー理論を特徴づける最小限の要請になっています。特異ホモロジーは、その公理をすべて満たす代表的なモデルであり、任意の空間に使える汎用性と、理論を組み立てやすい良い性質を兼ねそなえた、ホモロジー論の標準的な出発点です。