特異ホモロジーは任意の位相空間に対して定義できるホモロジー理論です。単体複体への分割を必要とせず、位相的に同じ空間には同じホモロジー群を与えます。
特異単体
-単体 を標準単体とします。
位相空間 への特異 -単体とは、連続写像 のことです。
特異鎖群
次特異鎖群 は、 への特異 -単体すべてを基底とする自由アーベル群です。
単体複体のホモロジーと異なり、基底は一般に非可算無限です。
境界作用素
面写像 を、 番目の頂点を飛ばす線形写像として定義します。
境界作用素 は
で定義されます。 が成り立ちます。
特異ホモロジー群
次特異ホモロジー群は
で定義されます。これは位相空間の位相不変量であり、同相な空間は同型なホモロジー群を持ちます。
ホモトピー不変性
より強く、特異ホモロジーはホモトピー不変です。（ホモトピー同値）ならば です。
可縮空間 のホモロジーは一点のホモロジーと同じです。
函手性
連続写像 は準同型 を誘導します。
および が成り立ち、 は位相空間の圏からアーベル群の圏への函手となります。
相対ホモロジー
部分空間 に対して、相対鎖群 を定義し、相対ホモロジー群
を構成できます。 を「潰した」空間のホモロジーに対応します。
長完全列
対 に対して、ホモロジーの長完全列が存在します。
この完全列は相対ホモロジーの計算に不可欠です。
切除定理
で ならば、
が成り立ちます。「内部」を切り取っても相対ホモロジーは変わりません。
単体ホモロジーとの関係
単体複体 に対して、単体ホモロジーと特異ホモロジーは同型です。
したがって、具体的な計算には組み合わせ的な単体ホモロジーを用い、理論的な議論には特異ホモロジーを用いることが多いです。
単体ホモロジー
単体複体に対して定義。有限複体なら計算可能。組み合わせ的。
特異ホモロジー
任意の位相空間に定義可能。ホモトピー不変性など理論的性質が良い。鎖群は巨大だが抽象的議論に向く。
