特異ホモロジーの定義

特異ホモロジーは任意の位相空間に対して定義できるホモロジー理論です。単体複体への分割を必要とせず、位相的に同じ空間には同じホモロジー群を与えます。

特異単体

$n$ -単体 $Δ^{n}$ を標準単体とします。

$Δ^{n} = {(t_{0}, \dots, t_{n}) \in R^{n + 1} : t_{i} \geq 0, \sum t_{i} = 1}$

位相空間 $X$ への特異 $n$ -単体とは、連続写像 $σ : Δ^{n} \to X$ のことです。

$n$ 次特異鎖群 $S_{n} (X)$ は、 $X$ への特異 $n$ -単体すべてを基底とする自由アーベル群です。

$S_{n} (X) = σ : Δ^{n} \to X ⨁ Z \cdot σ$

単体複体のホモロジーと異なり、基底は一般に非可算無限です。

面写像 $d_{i} : Δ^{n - 1} \to Δ^{n}$ を、 $i$ 番目の頂点を飛ばす線形写像として定義します。

境界作用素 $\partial_{n} : S_{n} (X) \to S_{n - 1} (X)$ は

$\partial_{n} σ = i = 0 \sum n (- 1)^{i} σ \circ d_{i}$

で定義されます。 $\partial_{n - 1} \circ \partial_{n} = 0$ が成り立ちます。

$n$ 次特異ホモロジー群は

$H_{n} (X) = ker \partial_{n} / im \partial_{n + 1}$

で定義されます。これは位相空間の位相不変量であり、同相な空間は同型なホモロジー群を持ちます。

より強く、特異ホモロジーはホモトピー不変です。 $X ≃ Y$ （ホモトピー同値）ならば $H_{n} (X) ≅ H_{n} (Y)$ です。

可縮空間 $X$ のホモロジーは一点のホモロジーと同じです。

$H_{0} (X) ≅ Z, H_{n} (X) = 0 (n \geq 1)$

連続写像 $f : X \to Y$ は準同型 $f_{*} : H_{n} (X) \to H_{n} (Y)$ を誘導します。

$(g \circ f)_{*} = g_{*} \circ f_{*}$ および $(id_{X})_{*} = id_{H_{n} (X)}$ が成り立ち、 $H_{n}$ は位相空間の圏からアーベル群の圏への函手となります。

部分空間 $A \subseteq X$ に対して、相対鎖群 $S_{n} (X, A) = S_{n} (X) / S_{n} (A)$ を定義し、相対ホモロジー群

$H_{n} (X, A) = ker \partial_{n} / im \partial_{n + 1}$

を構成できます。 $A$ を「潰した」空間のホモロジーに対応します。

対 $(X, A)$ に対して、ホモロジーの長完全列が存在します。

$\dots \to H_{n} (A) i_{*} H_{n} (X) j_{*} H_{n} (X, A) \partial_{*} H_{n - 1} (A) \to \dots$

この完全列は相対ホモロジーの計算に不可欠です。

$U \subseteq A \subseteq X$ で $\overline{U} \subseteq int (A)$ ならば、

$H_{n} (X ∖ U, A ∖ U) ≅ H_{n} (X, A)$

が成り立ちます。「内部」を切り取っても相対ホモロジーは変わりません。

単体複体 $K$ に対して、単体ホモロジーと特異ホモロジーは同型です。

$H_{n}^{simp} (K) ≅ H_{n} (∣ K ∣)$

したがって、具体的な計算には組み合わせ的な単体ホモロジーを用い、理論的な議論には特異ホモロジーを用いることが多いです。

単体ホモロジー

単体複体に対して定義。有限複体なら計算可能。組み合わせ的。

特異ホモロジー

任意の位相空間に定義可能。ホモトピー不変性など理論的性質が良い。鎖群は巨大だが抽象的議論に向く。