Euler標数とBetti数は位相空間の基本的な数値不変量です。両者は密接に関連し、空間の形状を数値で特徴づけます。
Betti数の定義
次Betti数 は、 次ホモロジー群の自由部分のランクです。
有理数係数ホモロジーはベクトル空間なので、 はその次元です。整数係数ホモロジーのねじれ部分は無視されます。
Betti数の直感的意味
は連結成分の個数です。
は独立な「1次元の穴」（トンネル、取っ手）の個数です。
は独立な「2次元の穴」（空洞、中空）の個数です。
Betti数の例
球面 では , 他は です。
トーラス では , , です。2つの穴（経線と緯線方向）があります。
種数 の閉曲面 では , , です。
Euler標数の定義
Euler標数 はBetti数の交代和です。
有限CW複体では有限和で、 は整数になります。
Euler標数の例
（ が偶数なら 、奇数なら ）
Euler標数と胞体分割
有限CW複体 がちょうど 個の -胞体を持つとき、
が成り立ちます。これはEuler標数の組み合わせ的定義です。
多面体のEuler標数
凸多面体で を頂点数、 を辺数、 を面数とすると、
これは の特別な場合です。この公式はEulerの多面体公式として知られています。
Euler標数の乗法性
と が「良い」空間（有限CW複体など）のとき、
例えば です。
Euler標数の加法性
で が「良い」空間のとき、
これは包除原理の位相的版です。
Euler標数とベクトル場
コンパクト多様体 上の、零点が孤立したベクトル場 に対して、
が成り立ちます（Poincaré-Hopfの定理）。 なので、 上のベクトル場は必ず零点を持ちます（毛玉定理）。
Euler標数と不動点
連続写像 に対して、Lefschetz不動点定理により
が でなければ は不動点を持ちます。 のとき です。
Betti数
各次元の「穴の数」。詳細な情報を持つ。非負整数の列。
Euler標数
Betti数の交代和。単一の整数。乗法性など扱いやすい性質を持つ。
