Euler標数とBetti数

Euler標数とBetti数は位相空間の基本的な数値不変量です。両者は密接に関連し、空間の形状を数値で特徴づけます。

Betti数の定義

$k$ 次Betti数 $b_k(X)$ は、$k$ 次ホモロジー群の自由部分のランクです。

$$b_k(X)=\mathrm{rank}{H}_k(X;\mathbb{Q})={\dim }_{\mathbb{Q}}{H}_k(X;\mathbb{Q})$$

有理数係数ホモロジーはベクトル空間なので、$b_k$ はその次元です。整数係数ホモロジーのねじれ部分は無視されます。

Betti数の直感的意味

$b_0$ は連結成分の個数です。

$b_1$ は独立な「1次元の穴」（トンネル、取っ手）の個数です。

$b_2$ は独立な「2次元の穴」（空洞、中空）の個数です。

Betti数の例

球面 $S^n$ では $b_0=b_n=1$, 他は $0$ です。

トーラス $T^2$ では $b_0=1$, $b_1=2$, $b_2=1$ です。2つの穴（経線と緯線方向）があります。

種数 $g$ の閉曲面 ${\Sigma }_g$ では $b_0=1$, $b_1=2g$, $b_2=1$ です。

Euler標数の定義

Euler標数 $\chi (X)$ はBetti数の交代和です。

$$\chi (X)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{b}_k(X)=b_0-b_1+b_2-b_3+\cdots$$

有限CW複体では有限和で、$\chi (X)$ は整数になります。

Euler標数の例

Euler標数と胞体分割

有限CW複体 $X$ がちょうど $c_k$ 個の $k$-胞体を持つとき、

$$\chi (X)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k{c}_k$$

が成り立ちます。これはEuler標数の組み合わせ的定義です。

多面体のEuler標数

凸多面体で $V$ を頂点数、$E$ を辺数、$F$ を面数とすると、

$$V-E+F=2$$

これは $\chi (S^2)=2$ の特別な場合です。この公式はEulerの多面体公式として知られています。

Euler標数の乗法性

$X$ と $Y$ が「良い」空間（有限CW複体など）のとき、

$$\chi (X\times Y)=\chi (X)\cdot \chi (Y)$$

例えば $\chi (T^2)=\chi (S^1)\cdot \chi (S^1)=0\cdot 0=0$ です。

Euler標数の加法性

$X=A\cup B$ で $A,B$ が「良い」空間のとき、

$$\chi (X)=\chi (A)+\chi (B)-\chi (A\cap B)$$

これは包除原理の位相的版です。

Euler標数とベクトル場

コンパクト多様体 $M$ 上の、零点が孤立したベクトル場 $V$ に対して、

$$\sum _{p:V(p)=0}{\mathrm{index}}_p(V)=\chi (M)$$

が成り立ちます（Poincaré-Hopfの定理）。$\chi (S^2)=2\ne 0$ なので、$S^2$ 上のベクトル場は必ず零点を持ちます（毛玉定理）。

Euler標数と不動点

連続写像 $f:X\to X$ に対して、Lefschetz不動点定理により

$$L(f)=\sum _k(-1{)}^k\mathrm{tr}(f_{\ast }:H_k(X)\to H_k(X))$$

が $0$ でなければ $f$ は不動点を持ちます。$f=\mathrm{id}$ のとき $L(\mathrm{id})=\chi (X)$ です。