ファイバー束とは｜定義と例をメビウスの帯からわかりやすく

ファイバー束は、近くで見ると単純な積の形をしているのに、全体としてはねじれているかもしれない空間です。円柱とメビウスの帯を思い浮かべると、この二面性がつかめます。どちらも「円に沿って帯を並べた」ものですが、円柱はまっすぐで、メビウスの帯は一周のあいだにひとひねり入っています。近所だけを切り取れば、両者は見分けがつきません。違いは、その近所どうしをどう貼り合わせたか、という大域的な部分にだけ現れます。

この「局所的には積、大域的にはねじれうる」という構造を精密にしたものがファイバー束です。多様体論や位相幾何学のいたるところに顔を出し、ベクトル場・被覆空間・ゲージ理論といった一見ばらばらな話題を、同じ言葉で扱えるようにしてくれます。まっすぐな積空間を基準に置き、そこからどれだけずれているかを測る。この見方を軸に、たくさんの例を絵で追っていきます。

積空間という出発点

いちばんやさしいのは、二つの空間をそのまま掛け合わせた積空間です。土台になる空間 $B$ と、各点に生やすファイバー $F$ を用意し、そのすべての組 $(b,f)$ を集めたものが $B\times F$ です。

円 $S^1$ に線分 $[0,1]$ を掛けた $S^1\times [0,1]$ は円柱です。円のどの点にもまっすぐな線分が一本ずつ立っていて、全体はきれいな筒になります。円 $S^1$ に円 $S^1$ を掛けた $S^1\times S^1$ はトーラス、つまり浮き輪の表面です。平面 $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ も、直線に直線を掛けた積空間の一つといえます。

これらはどれも、底 $B$ の上に同じファイバー $F$ が「まっすぐ」並んだ形です。ファイバー束とは、この積をゆるめて、近くでは積に見えるが全体ではねじれてもよい、としたものにほかなりません。まっすぐな積を基準に置き、そこからのずれを測る、という構えでこの先を読むと迷いません。

ファイバー束の定義

ファイバー束は、四つの登場人物 $(E,B,F,\pi )$ からなります。

括弧の中はメビウスの帯を念頭に置いた対応です。射影 $\pi$ は「この点はどの底の点の真上にあるか」を答える写像で、ある底の点 $b$ の真上にある全空間の点を集めた ${\pi }^{-1}(b)$ が、その点でのファイバーになります。どのファイバーも同じ $F$ の形をしています。

決定的なのは局所自明性という条件です。どの底の点 $b$ にも、その周りの開近傍 $U$ が取れて、$U$ の真上の部分 ${\pi }^{-1}(U)$ が積 $U\times F$ と同相になり、しかもその同相が射影と両立します。

$${\pi }^{-1}(U)\cong U\times F$$

「射影と両立する」とは、この同相でうつしてから $U$ へ落としても、もとの $\pi$ で落としても同じ、という意味です。つまり同相は、ファイバーをファイバーへ、真上の点を真上の点へと、きちんと対応させます。ひとことでいえば、どの点のそばでも、その一帯だけ見れば積 $U\times F$ とそっくり、ということです。

局所的には積、大域的にはねじれ

局所自明性は「近くでは積」としか言っていません。近所どうしをつなぎ合わせるとき、ねじりを入れずにまっすぐつなげば積になり、ひねって貼ればねじれた束になります。ねじれは、局所では見えず、大域でだけ効きます。

円柱とメビウスの帯が、まさにこの違いです。どちらも円の各点に線分が立ち、円周のごく一部を切り取れば「短冊 × 線分」の積にしか見えません。ところが円を一周ぶんつなぐと、円柱は端がそのまま合わさってまっすぐな筒になり、メビウスの帯は端を裏返してから合わさります。この一回のひねりこそ、非自明な束の正体です。

自明束：ただの積

$E=B\times F$ で、射影が $\pi (b,f)=b$ であるものを自明束といいます。ねじれがまったくなく、全体が一枚の積になっている、いちばん素直な束です。円柱 $S^1\times [0,1]$、トーラス $S^1\times S^1$、平面 ${\mathbb{R}}^2$ は、すべて自明束です。

自明束では、底の全体で通用する座標 $(b,f)$ が一組で取れます。あとで出てくる切断（各ファイバーから一点を選ぶ規則）も、自明束なら「つねに同じ高さ $f_0$ を選ぶ」だけで作れます。困るのは、世の中の束が自明とは限らないことです。

メビウスの帯：最初のねじれ

非自明な束のもっとも有名な例がメビウスの帯です。底は円 $S^1$、ファイバーは線分で、全空間は細長い帯になります。作り方は、長方形の帯の左右の端を、上下を入れ替えてから貼り合わせるだけです。長方形 $[0,1]\times [0,1]$ の左端と右端を、次のように同一視します。

$$(0,t)\sim (1,1-t)$$

左端の高さ $t$ の点が、右端では高さ $1-t$、つまり上下反転した位置に貼られます。射影は帯の横方向を円周上の点に対応させ、縦の線分がファイバーになります。

このねじれのため、メビウスの帯は積 $S^1\times [0,1]$ とは同相になりません。帯に沿ってファイバーの「上向き」を連続的に選びながら一周すると、戻ってきたとき向きが下向きに反転してしまいます。まっすぐな円柱では、こんなことは起きません。局所的にはどこも円柱と同じなのに、大域的なつなぎ方だけが違う。これが非自明束の手ざわりです。

トーラスとクラインの壺

同じ仕掛けは、ファイバーを線分から円に取り替えても働きます。底を円 $S^1$、ファイバーも円 $S^1$ とする束を考えましょう。ねじらずに貼ればトーラス $S^1\times S^1$、ファイバーの円を裏返してから貼ればクラインの壺になります。前者は自明束、後者は非自明束です。

つまり、底とファイバーを決めても束は一つに決まらず、貼り方しだいでいくつもの束が生まれます。円柱とメビウス、トーラスとクラインは、この事情をきれいに並べて見せてくれます。

被覆空間：ファイバーが飛び飛び

ファイバーはつながっている必要すらありません。ファイバーが離散的な点の集まりである束は、被覆空間と呼ばれます。射影は、上に重なった何枚もの層を一枚の底へ落とす写像になります。

いちばん有名なのは、実数直線を円へ巻きつける写像です。

$$\mathbb{R}\to S^1,s\mapsto e^{2\pi is}$$

これは、ぐるぐる回るらせん階段を真上から見て、一つの円へ潰す絵に対応します。円の一点の真上には、整数だけずれた点が縦に並ぶので、ファイバーは整数全体 $\mathbb{Z}$ です。

もっと簡単な被覆もあります。円を二重に巻く写像 $z\mapsto z^2$（$z$ は $|z|=1$ の複素数）は、円の各点の真上に二点を乗せる二重被覆で、ファイバーは 2 点です。球面の対心点を同一視して射影平面をつくる写像 $S^2\to {\mathbb{RP}}^2$ も、各点の真上に $\pm$ の二点を持つ二重被覆になります。被覆空間とは、飛び飛びのファイバーを持つファイバー束のことにほかなりません。

ベクトル束：ファイバーがベクトル空間

ファイバーがベクトル空間 ${\mathbb{R}}^n$ である束をベクトル束といい、幾何でもっともよく使われます。各点に、ベクトルの張る平らな空間が一枚ずつ生えている、と思えば十分です。

代表例は接束です。多様体 $M$ の各点に、その点での接空間（接ベクトル全体）を生やして集めたものが接束 $TM$ で、ファイバーは ${\mathbb{R}}^n$ になります。円 $S^1$ の接束 $T{S}^1$ は、円の各点に接線方向の直線を一本ずつ立てたもので、ねじれずにきれいに並ぶため自明束です。

$$T{S}^1\cong S^1\times \mathbb{R}$$

いっぽう球面 $S^2$ の接束 $T{S}^2$ は自明ではありません。この後の毛玉定理が、そのねじれを目に見える形で教えてくれます。ちなみにメビウスの帯も、ファイバーを線分ではなく直線 $\mathbb{R}$ に広げれば、円 $S^1$ 上の非自明な実直線束という立派なベクトル束です。円柱 $S^1\times \mathbb{R}$ が自明な直線束、メビウスが非自明な直線束、という対が、ここでも同じ構図で現れます。

切断：各ファイバーから一点を選ぶ

束を理解する鍵が切断です。ファイバー束 $\pi :E\to B$ の切断とは、底の各点 $b$ に対して、その真上のファイバーから一点を連続的に選ぶ写像 $s:B\to E$ のことです。条件は次のように書けます。

$$\pi \circ s={\mathrm{id}}_B$$

これは「$s(b)$ はちゃんと $b$ の真上にある」ことを言っているだけです。絵でいえば、全空間 $E$ の中を底に沿って走る、一枚の連続な面です。

ベクトル束の切断は、各点にベクトルを一本ずつ連続に割り当てたもの、つまりベクトル場です。接束の切断は、多様体の上のベクトル場そのものになります。自明束なら「つねに同じ点を選ぶ」定数の切断がいつでも作れますが、ねじれた束ではそう簡単にいきません。

毛玉定理：切断が取れないことの意味

非自明さがもっとも鮮やかに現れるのが、球面の接束です。毛玉定理は、球面 $S^2$ の上には、いたるところ零でない連続な接ベクトル場が存在しない、と主張します。毛の生えたボールをどうとかしても、必ずどこかにつむじができてしまう、というあの現象です。

言い換えれば、接束 $T{S}^2$ には零でない切断がありません。もし $T{S}^2$ が自明束 $S^2\times {\mathbb{R}}^2$ なら、「つねに同じ方向のベクトル」を選べて矛盾するので、これは $T{S}^2$ が非自明であることの証拠になります。切断が取れるかどうかは束のねじれを検出する敏感な道具で、その障害は Euler 類などの特性類で測られます。

変換関数：ねじれを数値で測る

ねじれを具体的に扱うには、局所自明化どうしのつなぎ目を見ます。底を開集合 $\{U_{\alpha }\}$ で覆うと、各 $U_{\alpha }$ の上では束を積 $U_{\alpha }\times F$ と見なせます。二つの近所 $U_{\alpha }$ と $U_{\beta }$ が重なる部分では、同じ点に二通りの「積としての座標」が入るので、両者を変換する写像が生じます。

$$g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \mathrm{Aut}(F)$$

これが変換関数で、重なりの各点で「ファイバーをどうつなぎ替えるか」を表します。円柱ならつなぎ替えは何もしない恒等変換、メビウスなら一周のどこかで裏返す、という具合に、ねじれの情報がここに詰まっています。三つの近所が重なるところでは、つなぎ替えのつじつまが合っていなければならず、これをコサイクル条件といいます。

$$g_{\alpha \beta }{g}_{\beta \gamma }=g_{\alpha \gamma }$$

ファイバー束は、突き詰めれば、この変換関数の張り合わせ方で分類されます。

Hopf 束：絡み合う円

もっとも美しい非自明束が Hopf 束です。三次元球面 $S^3$ を、円 $S^1$ をファイバーとして二次元球面 $S^2$ の上に乗せた束で、次のように書かれます。

$$S^1\hookrightarrow S^3\stackrel{\pi }{\to }{S}^2$$

$S^3$ を、$|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=1$ を満たす複素数の対 $(z_1,z_2)$ と見ると、射影は比 $[z_1:z_2]$ を取る写像です。その行き先は複素射影直線 ${\mathbb{CP}}^1$ で、これは $S^2$ と同じものにあたります。

$$\pi (z_1,z_2)=[z_1:z_2]\in {\mathbb{CP}}^1\cong S^2$$

底 $S^2$ の各点の真上にあるファイバーは一つの円で、しかも異なる二つのファイバーは、どれも輪のように絡み合っています。この絡みのため Hopf 束は自明ではなく、$S^3$ は積 $S^2\times S^1$ とは同相になりません。絵にすると、$S^3$ が互いにリンクした無数の円で埋め尽くされている、という驚くほど幾何的な像が得られます。

主束：対称性そのものがファイバー

最後に、ファイバーが群である束にふれておきます。ファイバーが群 $G$ で、$G$ がそのファイバーに右から自由かつ推移的に作用する束を、主 $G$-束といいます。各ファイバーが群 $G$ のコピーになっていて、束全体が $G$ という対称性を帯びている、と思えば十分です。

典型例は枠束（フレーム束）で、多様体の各点に「その点での座標軸の取り方すべて」を生やしたものです。座標軸の取り替えは回転群などの作用にあたり、これがファイバーの群構造になります。主束は、物理のゲージ理論の数学的な骨格でもあります。難しく見えても、根っこは「対称性をファイバーとして束ねた」だけで、これまでと同じ構造です。

例のまとめ

ここまでの束を一覧にします。どれも「底の上に同じファイバーを並べ、まっすぐか、ねじれているか」という同じ枠でとらえられます。

ファイバー束の要点は、たった一つの問いに集約されます。近くでは同じ積に見えるいくつもの空間が、大域的な貼り合わせだけでどう違ってくるのか。円柱とメビウス、トーラスとクライン、そして Hopf 束は、すべてその問いに対する具体的な答えでした。