ファイバー束の定義と例

ファイバー束は空間を局所的に積空間とみなせる構造です。多様体論や位相幾何学で基本的な役割を果たし、ベクトル束や主束など重要な特殊ケースを含みます。

ファイバー束の定義

ファイバー束（fiber bundle）は次の組 $(E,B,F,\pi )$ です。

任意の $b\in B$ に対して開近傍 $U$ が存在し、${\pi }^{-1}(U)\cong U\times F$ と同相であり、この同相が $\pi$ と $U$ への射影と両立します。

局所自明性

ファイバー束は局所的には積 $U\times F$ と同じ構造を持ちますが、大域的には「ねじれ」があり得ます。

底空間を覆う開被覆 $\{U_{\alpha }\}$ 上で ${\pi }^{-1}(U_{\alpha })\cong U_{\alpha }\times F$ となる同相（局所自明化）が存在します。

自明束

$E=B\times F$, $\pi (b,f)=b$ となる場合を自明束といいます。

すべてのファイバー束が自明とは限りません。自明でない束は「ねじれ」を持ちます。

メビウスの帯

メビウスの帯は円周 $S^1$ 上の $[0,1]$ ファイバー束です。

$E=[0,1]\times [0,1]/(0,t)\sim (1,1-t)$ で、$\pi ([s,t])=e^{2\pi is}$ です。

メビウスの帯は自明束ではありません。帯を一周するとファイバーの向きが反転します。

被覆空間

被覆写像 $p:\tilde{X}\to X$ は離散ファイバーを持つファイバー束とみなせます。

$\mathbb{R}\to S^1$ は $\mathbb{Z}$ をファイバーとするファイバー束です。

Hopf束

Hopf束は $S^3$ から $S^2$ へのファイバー束で、ファイバーは $S^1$ です。

$$S^1\hookrightarrow S^3\stackrel{\pi }{\to }{S}^2$$

$\pi (z_1,z_2)=[z_1:z_2]\in {\mathbb{CP}}^1\cong S^2$ で定義されます。これは非自明な束であり、$S^3\ne S^2\times S^1$ です。

変換関数

重なり $U_{\alpha }\cap U_{\beta }$ 上で2つの局所自明化を比較すると、変換関数 $g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to \mathrm{Aut}(F)$ が定まります。

変換関数はコサイクル条件 $g_{\alpha \beta }{g}_{\beta \gamma }=g_{\alpha \gamma }$ を満たします。ファイバー束は変換関数で分類されます。

主束

ファイバーが群 $G$ で、$G$ が右からファイバーに自由かつ推移的に作用する束を主 $G$-束といいます。

主束は対称性を持つファイバー束であり、ゲージ理論の数学的基礎となります。

切断

ファイバー束 $\pi :E\to B$ の切断（section）とは、連続写像 $s:B\to E$ で $\pi \circ s={\mathrm{id}}_B$ を満たすものです。

自明束は常に切断を持ちますが、非自明束は切断を持たないことがあります。

切断の存在と障害

ベクトル束の零でない切断の存在は、特性類によって判定されます。

$S^2$ の接束には零でない切断が存在しません（毛玉定理）。これはEuler類が非自明であることから従います。