ファイバー束は空間を局所的に積空間とみなせる構造です。多様体論や位相幾何学で基本的な役割を果たし、ベクトル束や主束など重要な特殊ケースを含みます。
ファイバー束の定義
ファイバー束（fiber bundle）は次の組 です。
任意の に対して開近傍 が存在し、 と同相であり、この同相が と への射影と両立します。
局所自明性
ファイバー束は局所的には積 と同じ構造を持ちますが、大域的には「ねじれ」があり得ます。
底空間を覆う開被覆 上で となる同相（局所自明化）が存在します。
自明束
, となる場合を自明束といいます。
すべてのファイバー束が自明とは限りません。自明でない束は「ねじれ」を持ちます。
メビウスの帯
メビウスの帯は円周 上の ファイバー束です。
で、 です。
メビウスの帯は自明束ではありません。帯を一周するとファイバーの向きが反転します。
被覆空間
被覆写像 は離散ファイバーを持つファイバー束とみなせます。
は をファイバーとするファイバー束です。
Hopf束
Hopf束は から へのファイバー束で、ファイバーは です。
で定義されます。これは非自明な束であり、 です。
変換関数
重なり 上で2つの局所自明化を比較すると、変換関数 が定まります。
変換関数はコサイクル条件 を満たします。ファイバー束は変換関数で分類されます。
主束
ファイバーが群 で、 が右からファイバーに自由かつ推移的に作用する束を主 -束といいます。
主束は対称性を持つファイバー束であり、ゲージ理論の数学的基礎となります。
切断
ファイバー束 の切断（section）とは、連続写像 で を満たすものです。
自明束は常に切断を持ちますが、非自明束は切断を持たないことがあります。
切断の存在と障害
ベクトル束の零でない切断の存在は、特性類によって判定されます。
の接束には零でない切断が存在しません（毛玉定理）。これはEuler類が非自明であることから従います。
。大域的切断が常に存在。ねじれなし。
局所的には積だが大域的にはねじれを持つ。切断の存在に障害がありうる。メビウスの帯、Hopf束など。
