部分群は群の中に含まれる「小さな群」であり、群の構造を理解する基本的な道具である。生成元は群を構成する最小限の元の集合を記述する。
部分群の定義
群 の部分集合 が部分群（subgroup）であるとは、 が の演算に関して群をなすことをいう。 と書く。
が の部分群であるための必要十分条件は次の3つである。
部分群の判定条件
実用上は次の条件がよく使われる。 かつ、任意の に対して が成り立てば、 は の部分群である。
この条件から単位元の存在（ とすれば ）と逆元の存在（ とすれば ）が従う。
自明な部分群
任意の群 に対して、 と 自身は部分群である。 を自明部分群という。 と 以外の部分群を真の部分群という。
部分群の例
の部分群は （）の形に限る。特に は偶数全体、 は の倍数全体である。
の部分群として交代群 （偶置換全体）がある。 である。
の部分群として特殊線型群 がある。
部分群の共通部分
部分群の族 の共通部分 は再び部分群である。
一方、部分群の和集合は一般に部分群とならない。 は の部分群ではない（ が含まれない）。
生成元と生成される部分群
に対して、 を含む最小の部分群を で生成される部分群といい、 と書く。
は の元とその逆元の有限積全体と一致する。
巡回群
と1つの元で生成されるとき、 を巡回群という。 となる。
の位数が ならば であり、 となる。 の位数が無限ならば となる。
と同型。位数 の巡回群は同型を除いて一意。 が生成元となる。
と同型。 または が生成元。すべての群の中で最も基本的な無限群。
生成元の例
は と で生成される。すなわち である。
より一般に、 は隣接互換 で生成される。
有限生成群
群 が有限集合 で生成されるとき、 を有限生成群という。
は で生成されるので有限生成である。 は加法群として有限生成でない。
極大部分群
部分群 が極大部分群であるとは、 ならば となることをいう。 と の間に真の部分群が存在しない。
有限群では極大部分群が必ず存在するが、無限群では存在しないこともある。 の極大部分群は （ は素数）の形に限る。
部分群の格子
群 の部分群全体は包含関係によって順序集合をなす。これを部分群の格子という。2つの部分群 に対して、 は下限、 は上限を与える。
小さい群の部分群の格子を図示すると、群の構造が視覚的に理解できる。
