部分群と生成元

部分群は群の中に含まれる「小さな群」であり、群の構造を理解する基本的な道具である。生成元は群を構成する最小限の元の集合を記述する。

部分群の定義

群 $G$ の部分集合 $H$ が部分群（subgroup）であるとは、 $H$ が $G$ の演算に関して群をなすことをいう。 $H \leq G$ と書く。

$H$ が $G$ の部分群であるための必要十分条件は次の3つである。

e \in H

（単位元を含む）

a, b \in H

ならば

ab \in H

（積で閉じている）

a \in H

ならば

a^{- 1} \in H

（逆元で閉じている）

実用上は次の条件がよく使われる。 $H \neq = \emptyset$ かつ、任意の $a, b \in H$ に対して $a b^{- 1} \in H$ が成り立てば、 $H$ は $G$ の部分群である。

この条件から単位元の存在（ $a = b$ とすれば $e = a a^{- 1} \in H$ ）と逆元の存在（ $a = e$ とすれば $b^{- 1} \in H$ ）が従う。

任意の群 $G$ に対して、 ${e}$ と $G$ 自身は部分群である。 ${e}$ を自明部分群という。 ${e}$ と $G$ 以外の部分群を真の部分群という。

$Z$ の部分群は $n Z = {nk : k \in Z}$ （ $n \geq 0$ ）の形に限る。特に $2 Z$ は偶数全体、 $3 Z$ は $3$ の倍数全体である。

$S_{n}$ の部分群として交代群 $A_{n}$ （偶置換全体）がある。 $∣ A_{n} ∣ = n! /2$ である。

$G L_{n} (K)$ の部分群として特殊線型群 $S L_{n} (K) = {A \in G L_{n} (K) : det A = 1}$ がある。

部分群の族 ${H_{i}}_{i \in I}$ の共通部分 $⋂_{i \in I} H_{i}$ は再び部分群である。

一方、部分群の和集合は一般に部分群とならない。 $2 Z \cup 3 Z$ は $Z$ の部分群ではない（ $2 + 3 = 5$ が含まれない）。

$S \subseteq G$ に対して、 $S$ を含む最小の部分群を $S$ で生成される部分群といい、 $⟨ S ⟩$ と書く。

$⟨ S ⟩ = S \subseteq H \leq G ⋂ H$

$⟨ S ⟩$ は $S$ の元とその逆元の有限積全体と一致する。

$⟨ S ⟩ = {s_{1}^{ϵ_{1}} s_{2}^{ϵ_{2}} \dots s_{n}^{ϵ_{n}} : s_{i} \in S, ϵ_{i} = \pm 1, n \geq 0}$

$G = ⟨ a ⟩$ と1つの元で生成されるとき、 $G$ を巡回群という。 $G = {a^{n} : n \in Z}$ となる。

$a$ の位数が $n$ ならば $∣ G ∣ = n$ であり、 $G ≅ Z / n Z$ となる。 $a$ の位数が無限ならば $G ≅ Z$ となる。

有限巡回群

$Z / n Z$ と同型。位数 $n$ の巡回群は同型を除いて一意。 $1$ が生成元となる。

無限巡回群

$Z$ と同型。 $1$ または $- 1$ が生成元。すべての群の中で最も基本的な無限群。

$S_{3}$ は $(12)$ と $(123)$ で生成される。すなわち $S_{3} = ⟨(12), (123)⟩$ である。

より一般に、 $S_{n}$ は隣接互換 $(12), (23), \dots, (n - 1 n)$ で生成される。

群 $G$ が有限集合 $S$ で生成されるとき、 $G$ を有限生成群という。

$Z$ は ${1}$ で生成されるので有限生成である。 $Q$ は加法群として有限生成でない。

部分群 $M < G$ が極大部分群であるとは、 $M ⊊ H \leq G$ ならば $H = G$ となることをいう。 $M$ と $G$ の間に真の部分群が存在しない。

有限群では極大部分群が必ず存在するが、無限群では存在しないこともある。 $Z$ の極大部分群は $p Z$ （ $p$ は素数）の形に限る。

群 $G$ の部分群全体は包含関係によって順序集合をなす。これを部分群の格子という。2つの部分群 $H, K$ に対して、 $H \cap K$ は下限、 $⟨ H \cup K ⟩$ は上限を与える。

小さい群の部分群の格子を図示すると、群の構造が視覚的に理解できる。