巡回群とその構造

巡回群は1つの元で生成される群であり、最も単純な構造を持つ。すべての巡回群は整数の加法群またはその剰余群と同型である。

巡回群の定義

群 $G$ がある元 $a \in G$ によって $G = ⟨ a ⟩$ と生成されるとき、 $G$ を巡回群（cyclic group）という。 $a$ を $G$ の生成元という。

$⟨ a ⟩ = {a^{n} : n \in Z} = {\dots, a^{- 2}, a^{- 1}, e, a, a^{2}, \dots}$ である。

$a$ の位数が有限のとき $⟨ a ⟩$ は有限巡回群、無限のとき無限巡回群となる。

$ord (a) = n$ ならば $⟨ a ⟩ = {e, a, a^{2}, \dots, a^{n - 1}}$ であり、 $∣ ⟨ a ⟩ ∣ = n$ となる。

$ord (a) = \infty$ ならば $a^{i} = a^{j}$ （ $i \neq = j$ ）となることはなく、 $⟨ a ⟩ ≅ Z$ となる。

位数 $n$ の巡回群は $Z / n Z$ と同型である。無限巡回群は $Z$ と同型である。

したがって、巡回群は位数によって完全に分類される。位数 $n$ の巡回群を $C_{n}$ または $Z_{n}$ と書くこともある。

巡回群の部分群は再び巡回群である。

$Z$ の部分群は $n Z$ （ $n \geq 0$ ）の形に限る。これは $n$ で生成される巡回群である。

$Z / n Z$ の部分群は、 $n$ の約数 $d$ に対して位数 $d$ の部分群がちょうど1つ存在する。それは $⟨ n / d ⟩$ で生成される。

位数 $n$ の巡回群の部分群の個数は $n$ の約数の個数 $τ (n)$ に等しい。

$Z /12 Z$ の部分群は、位数 $1, 2, 3, 4, 6, 12$ の部分群が1つずつ、計6個である。

$Z / n Z$ の生成元は $n$ と互いに素な元、すなわち $g cd (k, n) = 1$ を満たす $k$ である。

生成元の個数はオイラー関数 $φ (n)$ で与えられる。 $φ (12) = 4$ なので、 $Z /12 Z$ の生成元は $1, 5, 7, 11$ の4つである。

$Z$ の自己同型は $n \mapsto n$ と $n \mapsto - n$ の2つであり、 $Aut (Z) ≅ Z /2 Z$ となる。

$Z / n Z$ の自己同型は $1 \mapsto k$ （ $g cd (k, n) = 1$ ）で定まり、 $Aut (Z / n Z) ≅ (Z / n Z)^{\times}$ となる。位数は $φ (n)$ である。

$g cd (m, n) = 1$ ならば $Z / m Z \times Z / n Z ≅ Z / mn Z$ である（中国剰余定理）。

$g cd (m, n) > 1$ ならば直積は巡回群にならない。 $Z /2 Z \times Z /2 Z$ は位数4だが、すべての元の位数が2以下なので $Z /4 Z$ と同型でない。

位数が素数 $p$ の群は巡回群 $Z / p Z$ に限る。

$∣ G ∣ = p$ のとき、 $e$ でない任意の元 $a$ の位数は Lagrange の定理より $p$ の約数だが、 $1$ ではないので $p$ である。よって $G = ⟨ a ⟩$ となる。

有限体 $F_{q}$ の乗法群 $F_{q}^{\times}$ は位数 $q - 1$ の巡回群である。

この事実の証明には、有限アーベル群の構造と多項式の根の個数に関する議論が必要である。