正規部分群と商群

正規部分群は商群を構成するために必要な条件を満たす部分群である。商群は群を「粗く見る」操作を可能にし、群の構造解析の基本となる。

正規部分群の定義

部分群 $N\le G$ が正規部分群（normal subgroup）であるとは、任意の $g\in G$ に対して $gN{g}^{-1}=N$ が成り立つことをいう。$N⊴G$ と書く。

同値な条件として、任意の $g\in G$ と $n\in N$ に対して $gn{g}^{-1}\in N$ がある。

正規部分群の同値条件

次の条件は同値である。

条件2は左剰余類と右剰余類が一致することを意味する。

正規部分群の例

可換群ではすべての部分群が正規部分群である。$gn{g}^{-1}=g{g}^{-1}n=n\in N$ となるからである。

$S_n$ において交代群 $A_n$ は正規部分群である。$A_n=\ker (\mathrm{sgn})$ だからである。

$G{L}_n(K)$ において $S{L}_n(K)=\ker (\det )$ は正規部分群である。

正規でない部分群の例

$S_3$ において $H=\{e,(12)\}$ は正規部分群でない。$(123)(12)(123{)}^{-1}=(23)\notin H$ となるからである。

商群の構成

$N⊴G$ のとき、剰余類全体の集合 $G/N=\{gN:g\in G\}$ に演算

$$(aN)(bN)=(ab)N$$

を定義すると、$G/N$ は群となる。これを $G$ の $N$ による商群（quotient group）という。

演算のwell-defined性

$aN=a^{\prime }N$, $bN=b^{\prime }N$ ならば $(ab)N=(a^{\prime }{b}^{\prime })N$ を示す必要がある。

$a^{\prime }=a{n}_1$, $b^{\prime }=b{n}_2$（$n_1,n_2\in N$）とすると、$a^{\prime }{b}^{\prime }=a{n}_{1}b{n}_2=ab(b^{-1}{n}_{1}b)n_2$ である。$N$ が正規なので $b^{-1}{n}_{1}b\in N$ であり、$(a^{\prime }{b}^{\prime })N=(ab)N$ となる。

商群の位数

$|G/N|=[G:N]=|G|/|N|$ である。

$|\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}|=n$, $|S_n/A_n|=2$ などが例である。

自然な準同型

写像 $\pi :G\to G/N$, $\pi (g)=gN$ は全射準同型であり、$\ker \pi =N$ を満たす。これを標準射影または自然な準同型という。

商群の例

$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ を $n\mathbb{Z}$ で割った商群である。

$S_n/A_n\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。剰余類は $A_n$（偶置換）と $(12)A_n$（奇置換）の2つである。

単純群

$G\ne \{e\}$ が単純群（simple group）であるとは、$G$ の正規部分群が $\{e\}$ と $G$ のみであることをいう。

素数位数の群は単純群である。$A_n$（$n\ge 5$）も単純群である。

正規部分群の演算

$N,M⊴G$ ならば $N\cap M⊴G$ かつ $NM⊴G$ である。

$H\le G$, $N⊴G$ ならば $HN\le G$ かつ $H\cap N⊴H$ である。