群準同型とは？核と像・第一同型定理・自己同型群を計算例で理解する

指数関数は $e^{x+y}=e^x{e}^y$ を満たす。足し算を掛け算に翻訳する装置である。

この一行が、群論でいう準同型のすべてを言い当てている。演算を演算へ移す写像だけを相手にすれば、群と群を比べられるのだ。

準同型を調べると、つぶれた部分（核）と映った先（像）が現れる。両者を結びつけるのが同型定理であり、群論の計算はほとんどここに集約される。

群準同型の定義

群 $G$ から群 $H$ への写像 $\phi :G\to H$ が、任意の $a,b\in G$ について

$$\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$$

を満たすとき、$\phi$ を群準同型という。左辺は $G$ の演算、右辺は $H$ の演算である点に注意したい。

単位元や逆元を保つことは条件に書かれていない。書く必要がないからだ。次にそれを見る。

単位元と逆元は自動的に保たれる

$\phi (e_G)=\phi (e_G{e}_G)=\phi (e_G)\phi (e_G)$ が成り立つ。両辺に $\phi (e_G{)}^{-1}$ を掛ければ $e_H=\phi (e_G)$ を得る。

逆元も同様だ。$\phi (a)\phi (a^{-1})=\phi (a{a}^{-1})=\phi (e_G)=e_H$ なので、$\phi (a^{-1})$ は $\phi (a)$ の逆元である。

3 番目は $n>0$ で帰納法、$n<0$ で逆元の性質を使えば出る。積を保つという 1 行から、群構造の全体が引き継がれるわけだ。

準同型でない写像

条件は思うより厳しい。加法群 $\mathbb{Z}$ 上の $f(x)=x+1$ は準同型ではない。$f(x+y)=x+y+1$ に対し、$f(x)+f(y)=x+y+2$ となってずれる。

2 乗写像 $g\mapsto g^2$ も、一般には準同型ではない。$(ab{)}^2=abab$ と $a^2{b}^2=aabb$ が一致するのは $ba=ab$ のときだけだ。

$S_3$ で確かめよう。$a=(12)$、$b=(13)$ とすると $ab=(132)$ となる。

すると $(ab{)}^2=(123)$ である。一方で $a^2=b^2=e$ だから $a^2{b}^2=e$ となり、両者は一致しない。

逆元写像 $g\mapsto g^{-1}$ も同じ理由で失格になる。$(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$ であって、$a^{-1}{b}^{-1}$ ではない。可換群でのみ準同型になる。

トレースは準同型ではない

行列式は乗法について $\det (AB)=\det A\det B$ を満たす。だがトレースはそうならない。

$\mathrm{tr}(AB)$ は $\mathrm{tr}(A)\mathrm{tr}(B)$ と一般に異なる。

$2$ 次の単位行列 $I$ で試せば十分だ。$\mathrm{tr}(I\cdot I)=2$ に対し、$\mathrm{tr}(I)\mathrm{tr}(I)=4$ となる。

ただしトレースは加法については $\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$ を満たす。どの演算に関する準同型かを、つねに意識する必要がある。

例：指数関数

$\phi :(\mathbb{R},+)\to ({\mathbb{R}}_{>0},\times )$、$\phi (x)=e^x$ とする。$e^{x+y}=e^x{e}^y$ より準同型である。

これは全単射でもある。逆写像は対数 $\log$ で、こちらも準同型だ。

したがって $(\mathbb{R},+)\cong ({\mathbb{R}}_{>0},\times )$。見た目のまるで違う 2 つの群が、群としては同じものだった。

例：絶対値

$\phi :{\mathbb{C}}^{\times }\to {\mathbb{R}}_{>0}$、$\phi (z)=|z|$ は $|zw|=|z||w|$ より準同型である。

任意の正の実数はそれ自身の絶対値なので、全射だ。単射ではない。$|1|=|i|=|-1|=1$ だからである。

つぶれているのは絶対値 $1$ の複素数、すなわち単位円 $U$ にほかならない。

例：行列式

$\det :G{L}_n(K)\to K^{\times }$ は $\det (AB)=\det A\det B$ より準同型になる。

全射である。対角成分が $(a,1,\dots ,1)$ の行列を取れば行列式は $a$ になる。

つぶれるのは $\det =1$ の行列、つまり $S{L}_n(K)$ である。

例：置換の符号

$\mathrm{sgn}:S_n\to \{1,-1\}$ は、置換を偶置換なら $1$、奇置換なら $-1$ に送る。互換の個数の偶奇が積で足し合わされるので準同型だ。

$n\ge 2$ なら全射になる。$(12)$ が $-1$ に移るからである。

つぶれるのは偶置換の全体、すなわち交代群 $A_n$ だ。

例：剰余写像

$\pi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$、$k\mapsto \bar{k}$ を考える。$\overline{k+l}=\bar{k}+\bar{l}$ なので準同型である。

全射なのは明らかだろう。つぶれるのは $n$ で割り切れる整数、つまり $n\mathbb{Z}$ である。

もっとも素朴な準同型でありながら、同型定理の主役になる写像だ。

例：$m$ 倍写像

${\mu }_m:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$、$k\mapsto mk$（$m\ne 0$）は加法を保つので準同型である。

単射だが全射ではない。像は $m\mathbb{Z}$ に留まる。

つぶれる元はない。それでも像は真の部分群である。$\mathbb{Z}\cong m\mathbb{Z}$、すなわち無限群は自分自身の真の部分群と同型になりうるのだ。

例：$n$ 乗写像

$\phi :{\mathbb{C}}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$、$z\mapsto z^n$ は $(zw{)}^n=z^n{w}^n$ より準同型である。

全射だ。任意の複素数は $n$ 乗根をもつからである。

つぶれるのは $z^n=1$ を満たす $z$、つまり $1$ の $n$ 乗根の全体 ${\mu }_n$ である。有限個の元がつぶれて、$n$ 対 $1$ の写像になっている。

例：座標射影

$p:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$、$(x,y)\mapsto x$ は加法群の準同型である。

全射で、つぶれるのは $x=0$ の点、すなわち $y$ 軸だ。

平面を横につぶして直線にする操作、と言い換えてもよい。つぶした方向がそのまま核になる。

巡回群からの準同型は行き先 1 つで決まる

$G=⟨a⟩$ が巡回群なら、準同型 $\phi :G\to H$ は $\phi (a)$ をどこに送るかだけで決まる。$\phi (a^k)=\phi (a{)}^k$ が強制されるからだ。

とはいえ、行き先は自由には選べない。$a$ の位数が $n$ なら $a^n=e$ なので、$\phi (a{)}^n=e_H$ が必要になる。

つまり $\phi (a)$ の位数が $n$ を割ること。これが唯一の条件であり、逆にこの条件を満たせば準同型が定まる。

例：$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ への準同型を数える

$\phi (\bar{1})=\bar{a}$ と置く。条件は $4a\equiv 0(\mathrm{mod}6)$ である。

$4a\equiv 0(\mathrm{mod}6)$ は $2a\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ と同値で、$a\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ となる。

したがって $\bar{a}\in \{\bar{0},\bar{3}\}$ の 2 通り。準同型はちょうど 2 個ある。

$\bar{a}=\bar{0}$ が自明な準同型、$\bar{a}=\bar{3}$ が $\bar{k}\mapsto \overline{3k}$ で、像は $\{\bar{0},\bar{3}\}$ である。

例：$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ へは何個あるか

同じ計算を一般化する。条件は $ma\equiv 0(\mathrm{mod}n)$ である。

これを満たす $\bar{a}$ の個数は $\gcd (m,n)$ に等しい。準同型の個数は最大公約数で与えられるのだ。

さきほどの $m=4$、$n=6$ なら $\gcd (4,6)=2$ で、たしかに 2 個だった。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ から $\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}$ へは $\gcd (4,9)=1$、つまり自明なものしかない。

例：$S_3$ からの準同型

$S_3$ から $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ への準同型は 2 個ある。自明なものと、符号写像 $\mathrm{sgn}$ である。

$S_3$ から $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ へはどうか。像が位数 3 なら核は位数 2 の正規部分群になるが、$S_3$ の正規部分群は $\{e\}$、$A_3$、$S_3$ の 3 つしかない。

位数 2 のものは存在しない。よって自明な準同型だけである。準同型を数える問題は、正規部分群を数える問題に化ける。

核と像

準同型 $\phi :G\to H$ に対し、次の 2 つの集合を定める。

$$\ker \phi =\{g\in G:\phi (g)=e_H\},\mathrm{Im}\phi =\{\phi (g):g\in G\}$$

前者を核、後者を像という。核は $G$ の側、像は $H$ の側に住んでいる。

核が正規になるのに像がそうならないのは、核が $G$ の内部の対称性を受け継ぐのに対し、像は $H$ の中の一部分でしかないからだ。

核は正規部分群

まず部分群であることを見る。$\phi (a)=\phi (b)=e_H$ なら $\phi (a{b}^{-1})=e_H{e}_H^{-1}=e_H$ となり、$a{b}^{-1}\in \ker \phi$ である。

正規性を示す。$n\in \ker \phi$、$g\in G$ に対し

$$\phi (gn{g}^{-1})=\phi (g)\phi (n)\phi (g{)}^{-1}=\phi (g)e_H\phi (g{)}^{-1}=e_H$$

が成り立つ。よって $gn{g}^{-1}\in \ker \phi$ となり、$\ker \phi ⊴G$ である。

共役で動かしても核から出られない。この事実が、あとで商群を作るときの土台になる。

像は部分群

$\phi (a),\phi (b)\in \mathrm{Im}\phi$ に対し、$\phi (a)\phi (b{)}^{-1}=\phi (a{b}^{-1})$ はふたたび像の元である。

単位元 $e_H=\phi (e_G)$ も含む。判定条件を満たすので、像は $H$ の部分群だ。

正規になるとは限らない。$\phi :\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to S_3$、$\bar{1}\mapsto (12)$ の像は $⟨(12)⟩$ で、これは $S_3$ の正規部分群ではない。

単射は核だけで判定できる

$\phi$ が単射であることと、$\ker \phi =\{e_G\}$ は同値である。

単射なら $\phi (g)=e_H=\phi (e_G)$ から $g=e_G$ が出る。核は自明だ。

逆に核が自明とする。$\phi (a)=\phi (b)$ なら $\phi (a{b}^{-1})=e_H$ なので $a{b}^{-1}\in \ker \phi =\{e_G\}$、すなわち $a=b$ である。

単射性という「すべての点での条件」が、単位元 1 点の逆像を見るだけで済む。準同型の硬さがよく出ている。

核と像の大きさ

有限群では、つぶれた分だけ像が小さくなる。

$$|G|=|\ker \phi |\cdot |\mathrm{Im}\phi |$$

$\mathrm{sgn}:S_4\to \{1,-1\}$ で確かめよう。$|S_4|=24$、核は $A_4$ で位数 12、像は位数 2。たしかに $24=12\cdot 2$ である。

この等式は、次に見る第一同型定理の数え上げ版にあたる。

正規部分群はすべて核である

核は正規部分群だった。逆も成り立つ。

$N⊴G$ とすると、商群 $G/N$ が作れる。標準射影 $\pi :G\to G/N$、$g\mapsto gN$ は準同型で、その核はちょうど $N$ である。

「正規部分群」は部分群としての性質、「核」は写像から生まれる対象である。この 2 つが一致するという事実が、群論の見通しを一気によくする。

例：核になれない部分群

$H=⟨(12)⟩\le S_3$ は正規ではない。したがって、どんな準同型の核にもなりえない。

実際に共役を計算する。$a=(13)$ として $a(12)a^{-1}$ を求めると、$1\mapsto 1$、$2\mapsto 3$、$3\mapsto 2$ となる。

つまり $a(12)a^{-1}=(23)$ で、$H$ の外に飛び出した。$H$ を核にもつ準同型は存在しない。

商群

$N⊴G$ のとき、剰余類 $gN$ の全体に演算 $(aN)(bN)=abN$ を入れると群になる。これが商群 $G/N$ である。

演算が代表元の取り方によらないことは、正規性から従う。$a^{\prime }=a{n}_1$、$b^{\prime }=b{n}_2$ とすると $a^{\prime }{b}^{\prime }=a{n}_{1}b{n}_2=ab(b^{-1}{n}_{1}b)n_2$ で、括弧の中は $N$ の元だ。

正規でなければこの計算は破綻する。商群が作れる部分群は正規部分群に限る、というわけである。

例：$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は商群である

$\mathbb{Z}$ は可換なので、部分群 $n\mathbb{Z}$ は自動的に正規になる。商群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は剰余類 $\bar{0},\bar{1},\dots ,\overline{n-1}$ の全体だ。

$\bar{k}+\bar{l}=\overline{k+l}$ という演算は、まさに「$n$ で割った余りで足す」ことである。

日常的に使う時計の計算が、商群の最初の例になっている。$12$ 時の次が $1$ 時に戻るのは $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の演算だ。

第一同型定理

準同型 $\phi :G\to H$ に対し、次が成り立つ。

$$G/\ker \phi \cong \mathrm{Im}\phi$$

同型は $g\ker \phi \mapsto \phi (g)$ で与えられる。核でつぶしてから見れば、残るのは像そのものだ、という主張である。

これが同型定理の中心にある。以下の第二・第三同型定理は、いずれもこの定理の適用として導かれる。

第一同型定理の証明

$K=\ker \phi$ と置き、$\bar{\phi }(gK)=\phi (g)$ で写像を定める。

まず定義が正当であることを見る。$gK=g^{\prime }K$ なら $g^{-1}{g}^{\prime }\in K$ なので $\phi (g^{-1}{g}^{\prime })=e_H$、すなわち $\phi (g)=\phi (g^{\prime })$ となる。代表元の取り方によらない。

準同型であることは $\bar{\phi }(gK\cdot g^{\prime }K)=\bar{\phi }(g{g}^{\prime }K)=\phi (g{g}^{\prime })=\phi (g)\phi (g^{\prime })$ から従う。

単射性は核を見ればよい。$\bar{\phi }(gK)=e_H$ なら $g\in K$ で、$gK=K$ は $G/K$ の単位元だ。像への全射性は定義から明らかである。

図で見る第一同型定理

準同型はつねに「つぶす」「同型で移る」「埋め込む」の 3 段に分解できる。

<div class="cont">
<svg viewBox="0 0 420 210" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="第一同型定理の分解図">
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<line x1="105" y1="46" x2="325" y2="46"/>
<line x1="80" y1="66" x2="80" y2="140"/>
<line x1="130" y1="160" x2="250" y2="160"/>
<line x1="310" y1="142" x2="345" y2="68"/>
</g>
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<text x="80" y="50" fill="#3468d6">G</text>
<text x="350" y="50" fill="#3468d6">H</text>
<text x="80" y="164">G / ker φ</text>
<text x="290" y="164">Im φ</text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="11.5" text-anchor="middle" fill="#6b7280" stroke="#fafbfc" stroke-width="3.5" paint-order="stroke">
<text x="215" y="36">φ</text>
<text x="52" y="108">π（つぶす）</text>
<text x="190" y="150" fill="#c93c41">≅</text>
<text x="360" y="112">包含</text>
</g>
</svg>
</div>

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.cont svg { width: 100%; max-width: 420px; height: auto; }

まず標準射影 $\pi$ で核をつぶす。次に $G/\ker \phi$ が像と同型に移る。最後に像が $H$ の部分群として収まる。

どんな準同型も、この 3 段より複雑にはならない。核と像さえ押さえれば、写像の全体像は決まってしまう。

使い方の手順

第一同型定理は、商群を計算するための道具として使う。

商群を剰余類の集合として直接調べる必要はない。うまい準同型を 1 本引くだけで、正体が見抜けるのだ。

以下、この手順を繰り返し使う。

例：$G{L}_n(K)/S{L}_n(K)$

行列式 $\det :G{L}_n(K)\to K^{\times }$ を使う。核は $S{L}_n(K)$、像は $K^{\times }$ 全体だった。

第一同型定理から、ただちに次を得る。

$$G{L}_n(K)/S{L}_n(K)\cong K^{\times }$$

正則行列を「行列式が同じもの」でまとめると、残るのはスカラーの掛け算だけになる、という意味である。

例：$S_n/A_n$

符号写像 $\mathrm{sgn}:S_n\to \{1,-1\}$ を使う。核は $A_n$、像は $\{1,-1\}$ である。

したがって $S_n/A_n\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。置換を偶と奇に分ける、あの 2 分割が商群の正体だ。

系として $|A_n|=n!/2$ も出る。指数が 2 なので、剰余類は 2 つしかないからである。

例：$\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong U$

$\phi :\mathbb{R}\to {\mathbb{C}}^{\times }$、$t\mapsto e^{2\pi it}$ とする。$e^{2\pi i(s+t)}=e^{2\pi is}{e}^{2\pi it}$ より準同型である。

像は絶対値 $1$ の複素数の全体、すなわち単位円 $U$ だ。核は $e^{2\pi it}=1$ を満たす $t$、つまり整数の全体 $\mathbb{Z}$ である。

$$\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong U$$

直線を整数の幅で巻き取ると円になる。小数部分だけを見る、という操作の言い換えでもある。

例：${\mathbb{C}}^{\times }/U$

今度は絶対値 $\phi (z)=|z|$ を使う。核は単位円 $U$、像は正の実数全体 ${\mathbb{R}}_{>0}$ だった。

$${\mathbb{C}}^{\times }/U\cong {\mathbb{R}}_{>0}$$

複素数から偏角の情報を捨てると、絶対値だけが残る。前の例と合わせると、${\mathbb{C}}^{\times }$ が「円の方向」と「半径の方向」に分かれる様子が見える。

例：${\mathbb{C}}^{\times }/{\mu }_n\cong {\mathbb{C}}^{\times }$

$n$ 乗写像 $z\mapsto z^n$ を使う。核は $1$ の $n$ 乗根の全体 ${\mu }_n$、像は ${\mathbb{C}}^{\times }$ 全体である。

$${\mathbb{C}}^{\times }/{\mu }_n\cong {\mathbb{C}}^{\times }$$

自明でない部分群で割ったのに、もとの群と同型になった。有限群では起こりえない現象だ。位数を比べれば矛盾するからである。

無限群では「割っても小さくならない」ことがある。$\mathbb{Z}\cong 2\mathbb{Z}$ と同じ種類の不思議さだ。

例：$(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})/⟨4⟩$

$\phi :\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$、$\bar{k}\mapsto k\mathrm{mod}4$ と定める。$12$ が $4$ の倍数なので、この対応は代表元の取り方によらない。

全射である。核は $4$ で割り切れる元、すなわち $\{\bar{0},\bar{4},\bar{8}\}=⟨4⟩$ だ。

$$(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})/⟨4⟩\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$

位数も $12/3=4$ で合っている。巡回群を部分群で割ると、ふたたび巡回群が出てくる。

例：平面を軸で割る

射影 $p:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$、$(x,y)\mapsto x$ を使う。核は $y$ 軸、像は $\mathbb{R}$ 全体である。

$${\mathbb{R}}^2/(y\text{ 軸})\cong \mathbb{R}$$

平面を縦線ごとにまとめて 1 点とみなすと、残るのは横方向の直線だけ。商とは、ある方向の情報を捨てる操作なのだと分かる。

第二同型定理

$H\le G$、$N⊴G$ とする。このとき $HN$ は $G$ の部分群であり、次が成り立つ。

$$H/(H\cap N)\cong HN/N$$

証明も第一同型定理の適用だ。$\phi :H\to HN/N$、$h\mapsto hN$ と定める。

これは全射である。$HN/N$ の元は $hnN=hN$ と書けるからだ。核は $hN=N$ となる $h$、すなわち $H\cap N$ である。

あとは第一同型定理を当てればよい。副産物として $H\cap N⊴H$ も出る。核はつねに正規だからだ。

図で見る第二同型定理

4 つの群を並べると、菱形が現れる。

<div class="cont">
<svg viewBox="0 0 360 230" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="第二同型定理のダイヤモンド図">
<rect x="0" y="0" width="360" height="230" rx="10" fill="#fafbfc"/>
<g stroke-width="1.4" fill="none">
<line x1="168" y1="46" x2="95" y2="106" stroke="#aab0b8"/>
<line x1="192" y1="46" x2="265" y2="106" stroke="#e0872f"/>
<line x1="95" y1="124" x2="168" y2="184" stroke="#e0872f"/>
<line x1="265" y1="124" x2="192" y2="184" stroke="#aab0b8"/>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" text-anchor="middle" fill="#1b1d22" stroke="#fafbfc" stroke-width="4" paint-order="stroke">
<text x="180" y="40" fill="#3468d6">HN</text>
<text x="82" y="119">H</text>
<text x="278" y="119">N</text>
<text x="180" y="192" fill="#8a8f98">H ∩ N</text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="11.5" fill="#b5651d" stroke="#fafbfc" stroke-width="3.5" paint-order="stroke">
<text x="106" y="164">H /(H ∩ N)</text>
<text x="238" y="82">HN / N</text>
</g>
<text x="180" y="118" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="13" text-anchor="middle" fill="#c93c41" stroke="#fafbfc" stroke-width="3.5" paint-order="stroke">≅</text>
</svg>
</div>

.cont { margin: 0; text-align: center; }
.cont svg { width: 100%; max-width: 360px; height: auto; }

菱形の向かい合う 2 辺が、同じ商群を与える。$H$ から下へ降りる辺と、$HN$ から $N$ へ降りる辺だ。

平行な辺どうしが対応する、と覚えると忘れない。この定理は平行四辺形定理とも呼ばれる。

例：$\mathbb{Z}$ で第二同型定理を使う

$G=\mathbb{Z}$、$H=4\mathbb{Z}$、$N=6\mathbb{Z}$ とする。可換群なので $N$ は正規だ。

$H\cap N$ は $4$ でも $6$ でも割れる整数、つまり $12\mathbb{Z}$。$HN=H+N$ は $4$ と $6$ が生成する部分群で、$\gcd (4,6)=2$ より $2\mathbb{Z}$ である。

定理は $4\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\cong 2\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ を主張する。左辺の位数は $12/4=3$、右辺は $6/2=3$。どちらも $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ である。

例：最小公倍数と最大公約数の関係

前の計算を一般化しよう。$H=m\mathbb{Z}$、$N=n\mathbb{Z}$ とすると、$H\cap N=\mathrm{lcm}(m,n)\mathbb{Z}$、$HN=\gcd (m,n)\mathbb{Z}$ である。

位数を比べる。左辺は $\mathrm{lcm}(m,n)/m$、右辺は $n/\gcd (m,n)$ になる。

第二同型定理により両者は等しい。整理すれば、次の見慣れた等式が落ちてくる。

$$\mathrm{lcm}(m,n)\cdot \gcd (m,n)=mn$$

初等整数論の公式が、群論の定理の系として出てきた。同型定理は抽象的な道具に見えて、こういう具体的な結果を生む。

例：$S_3$ で第二同型定理を使う

$H=⟨(12)⟩$（位数 2）、$N=A_3$（位数 3、正規）とする。

$H\cap N=\{e\}$ である。互換は偶置換ではないからだ。$HN$ は位数 $2\cdot 3/1=6$ となり、$S_3$ 全体になる。

定理は $H/\{e\}\cong S_3/A_3$ を与える。左辺は $H\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、右辺も $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で、たしかに合っている。

第三同型定理

$N⊴M⊴G$ で、$N$ が $G$ の正規部分群でもあるとする。このとき次が成り立つ。

$$(G/N)/(M/N)\cong G/M$$

証明はまた第一同型定理だ。$\phi :G/N\to G/M$、$gN\mapsto gM$ と定める。$N\subseteq M$ なので、この対応は代表元によらない。

全射は明らかで、核は $gM=M$ となる $gN$、すなわち $M/N$ である。

二度に分けて割っても、一度にまとめて割っても同じ。約分のような感覚で使える定理である。

例：$(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})/⟨3⟩$

$G=\mathbb{Z}$、$M=3\mathbb{Z}$、$N=12\mathbb{Z}$ とする。$N\subseteq M$ であり、可換群なのでどちらも正規だ。

$G/N=\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ であり、$M/N=3\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ は $⟨\bar{3}⟩=\{\bar{0},\bar{3},\bar{6},\bar{9}\}$ にほかならない。

第三同型定理から $(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})/⟨\bar{3}⟩\cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ を得る。

位数でも確かめられる。$12/4=3$ だ。$12$ で割ってから $3$ で割るのと、はじめから $3$ で割るのは同じことである。

対応定理

$N⊴G$、$\pi :G\to G/N$ を標準射影とする。$N$ を含む $G$ の部分群と、$G/N$ の部分群のあいだに全単射がある。

$$\{H:N\le H\le G\}⟷\{K:K\le G/N\}$$

対応は $H\mapsto H/N$ と $K\mapsto {\pi }^{-1}(K)$ で与えられる。包含関係も、指数も、正規性も保たれる。

商群の部分群を調べたければ、もとの群の中で $N$ を含む部分群を見ればよい。格子の上半分をそのまま切り出す操作だと思えばよいだろう。

例：$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の部分群を数え直す

$N=12\mathbb{Z}$ として対応定理を使う。$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の部分群は、$12\mathbb{Z}$ を含む $\mathbb{Z}$ の部分群と 1 対 1 に対応する。

$\mathbb{Z}$ の部分群は $d\mathbb{Z}$ の形に限られ、$12\mathbb{Z}\subseteq d\mathbb{Z}$ となるのは $d$ が $12$ を割るときだ。

$d\in \{1,2,3,4,6,12\}$ の 6 通り。$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ の部分群が 6 個であることが、$\mathbb{Z}$ 側の計算だけで出た。

商群の部分群を、直接数えなくてよい。これが対応定理のありがたみである。

自己同型群

$G$ から $G$ 自身への同型を自己同型といい、その全体を $\mathrm{Aut}(G)$ と書く。写像の合成を演算とすれば群になる。

巡回群の場合はきれいに決まる。$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の自己同型は $\bar{1}$ の行き先で決まり、行き先は生成元でなければならない。

$$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\cong (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$$

位数は $\phi (n)$ である。$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z})$ なら生成元は $1$ と $-1$ の 2 つだけなので、$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型になる。

例：$\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})$

$(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}{)}^{\times }=\{\bar{1},\bar{3},\bar{5},\bar{7}\}$ で、位数は $\phi (8)=4$ である。

中身を見ると面白い。${\bar{3}}^2=\bar{9}=\bar{1}$、${\bar{5}}^2=\overline{25}=\bar{1}$、${\bar{7}}^2=\overline{49}=\bar{1}$ と、単位元以外がすべて位数 2 だ。

したがって $\mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})$ はクラインの四元群であり、巡回群ではない。巡回群の自己同型群が巡回群とは限らないのだ。

内部自己同型と中心

$g\in G$ に対し、共役写像 ${\iota }_g(x)=gx{g}^{-1}$ は $G$ の自己同型である。これを内部自己同型という。

$\Phi :G\to \mathrm{Aut}(G)$、$g\mapsto {\iota }_g$ は準同型になる。像を $\mathrm{Inn}(G)$ と書く。

核は何か。${\iota }_g$ が恒等写像になるのは、すべての $x$ で $gx=xg$ が成り立つとき、つまり $g$ が中心 $Z(G)$ に属するときだ。

第一同型定理を当てれば、次を得る。

$$G/Z(G)\cong \mathrm{Inn}(G)$$

$S_3$ の中心は $\{e\}$ なので $\mathrm{Inn}(S_3)\cong S_3$。可換群なら $Z(G)=G$ で、内部自己同型は恒等写像しかない。

理解の確認

準同型は群を照らす光

群そのものを正面から調べるのは難しい。準同型を 1 本引き、核と像に分けて眺めるほうが、はるかに見通しがよい。

第一同型定理は、その分解がつねに可能だと保証する。第二・第三同型定理と対応定理は、分解を組み合わせるための計算規則にほかならない。

核を取れる部分群、すなわち正規部分群が $\{e\}$ と $G$ しかない群を単純群という。これ以上つぶせない群であり、有限単純群の分類は 20 世紀数学の巨大な達成となった。

どんな有限群も、単純群を積み上げて作られる。組成列がそれを述べ、ジョルダン・ヘルダーの定理が積み上げ方の一意性を保証する。準同型から始まった話は、群の構造そのものの記述へとつながっていく。