群準同型と同型定理

群準同型は群の構造を保つ写像であり、群の間の関係を記述する基本的な道具である。同型定理は準同型と商群の関係を明らかにする。

群準同型の定義

群 $G$ から群 $H$ への写像 $φ : G \to H$ が群準同型（group homomorphism）であるとは、任意の $a, b \in G$ に対して

$φ (ab) = φ (a) φ (b)$

が成り立つことをいう。

準同型 $φ : G \to H$ について次が成り立つ。

φ (e_{G}) = e_{H}

φ (a^{- 1}) = φ (a)^{- 1}

φ (a^{n}) = φ (a)^{n}

（任意の

n \in Z

）

1番目は $φ (e_{G}) = φ (e_{G} \cdot e_{G}) = φ (e_{G}) φ (e_{G})$ の両辺に $φ (e_{G})^{- 1}$ を掛けて得られる。

準同型 $φ : G \to H$ に対して、

$ker φ = {g \in G : φ (g) = e_{H}}$

を $φ$ の核（kernel）、

$Im φ = {φ (g) : g \in G}$

を $φ$ の像（image）という。

$ker φ$ は $G$ の正規部分群である。 $g \in G$ , $n \in ker φ$ に対して $φ (g n g^{- 1}) = φ (g) e_{H} φ (g)^{- 1} = e_{H}$ なので $g n g^{- 1} \in ker φ$ となる。

$Im φ$ は $H$ の部分群である。

$φ$ が単射 $\Leftrightarrow$ $ker φ = {e_{G}}$ である。

$φ$ が全射 $\Leftrightarrow$ $Im φ = H$ である。

準同型 $φ : G \to H$ が全単射のとき、 $φ$ を同型写像といい、 $G ≅ H$ （ $G$ と $H$ は同型）と書く。同型な群は群として同じ構造を持つ。

行列式 $det : G L_{n} (K) \to K^{\times}$ は準同型である。 $det (A B) = det (A) det (B)$ が成り立つからである。 $ker (det) = S L_{n} (K)$ である。

符号写像 $sgn : S_{n} \to {1, - 1}$ は準同型である。 $ker (sgn) = A_{n}$ である。

$φ : G \to H$ を準同型とする。このとき

$G / ker φ ≅ Im φ$

が成り立つ。同型は $g \cdot ker φ \mapsto φ (g)$ で与えられる。

これは最も重要な同型定理であり、準同型の構造を完全に記述する。

$H \leq G$ , $N ⊴ G$ とする。このとき $H \cap N ⊴ H$ であり、

$H / (H \cap N) ≅ H N / N$

が成り立つ。

$N ⊴ M ⊴ G$ とする（ $N ⊴ G$ も成り立つ）。このとき

$(G / N) / (M / N) ≅ G / M$

が成り立つ。商群の商群は一度に割ったものと同型である。

$N ⊴ G$ とする。 $N$ を含む $G$ の部分群と $G / N$ の部分群の間に、包含関係を保つ全単射が存在する。

${H : N \leq H \leq G} ⟷ {K : K \leq G / N}$

対応は $H \mapsto H / N$ と $K \mapsto π^{- 1} (K)$ で与えられる（ $π : G \to G / N$ は標準射影）。