可測写像は逆像で決まる - 可測空間と可測関数の判定

集合 $X$ と、その上の σ 加法族 $F$ の組 $(X, F)$ を可測空間といいます^[4]。 $F$ の元が可測集合。

まだ測度は載っていません。どの部分集合を測る対象として認めるか、そこまでを決めた段階です。

2 つの可測空間 $(X, F)$ と $(Y, G)$ のあいだの写像 $f : X \to Y$ が可測であるとは、次が成り立つことをいいます^[1]。

$\forall B \in G : f^{- 1} (B) \in F$

行き先で測れると決めた集合を引き戻したとき、こちら側でも測れている。それだけの要求です。

順像ではなく逆像で定義する

なぜ $f (A)$ ではなく $f^{- 1} (B)$ なのか。理由は逆像が集合演算と完全に交換するからです^[3]。

$f^{- 1} (n ⋃ B_{n}) = n ⋃ f^{- 1} (B_{n}), f^{- 1} (Y ∖ B) = X ∖ f^{- 1} (B)$

順像はこうなりません。 $f (A \cap B) \subseteq f (A) \cap f (B)$ は言えても、等号は一般に崩れる。補集合にいたっては、 $f$ が全射でなければ形すら合いません。

σ 加法族は補集合と可算合併で組み立てられた族なので、その 2 つと交換する操作でしか引き回せない。逆像で定義するのは好みではなく、必然です。

引き戻された集合は、区間の有限合併という素直な形を保っています。この素直さが σ 加法族の 3 条件と噛み合う。

生成系だけ確かめれば足りる

定義どおりに $G$ の全部の元を調べるのは無理です。ところが調べる相手は生成系まで減らせます^[2]。

$G = σ (E)$ のとき、 $f$ が可測であることと、すべての $E \in E$ について $f^{- 1} (E) \in F$ が成り立つことは同値になる。

証明は逆像が演算と交換することから出ます。 ${B \subseteq Y : f^{- 1} (B) \in F}$ という族を作ると、これは σ 加法族です。 $E$ を含むので $σ (E)$ も含む。

生成系で足りる理由は、逆像で引き戻した族がそれ自体 σ 加法族になるところにあります。

補集合と可算合併が逆像と交換するので、3 条件がそのまま移る。

実数値関数は不等式ひとつで判定できる

$Y = R$ にボレル集合族を入れると、生成系は半直線でとれます^[5]。

$B (R) = σ ({(- \infty, b) : b \in R}) = σ ({(a, \infty) : a \in R})$

したがって次の 4 つはどれも $f$ の可測性と同値になります。ひとつ確かめれば残りは自動です。

すべての

b

について

{x : f (x) < b} \in F

となる。

すべての

b

について

{x : f (x) \leq b} \in F

となる。

すべての

a

について

{x : f (x) > a} \in F

となる。

すべての

a

について

{x : f (x) \geq a} \in F

となる。

以後は ${f < b}$ のように略記します。可測性の議論はほとんどこの形の集合を追うだけで済む。

高さ $b$ をどこに置いても、下にある $x$ の集まりが $F$ に入る。可測関数とはそれだけのものです。

例：すぐに可測と分かるもの

いくつか並べます。定数関数は逆像が $\emptyset$ か $X$ にしかならず、無条件で可測^[2]。

指示関数 $χ_{A}$ が可測であることは、 $A$ が可測集合であることと同値です。逆像が $\emptyset$ 、 $A$ 、 $X ∖ A$ 、 $X$ の 4 つしかないから。

連続関数はボレル可測になります。開集合の逆像が開集合で、開集合はボレル集合だからです^[4]。

単調関数も可測です。 ${f < b}$ が区間になり、区間はボレル集合。連続でなくても、跳びがいくつあっても構造は変わりません。

可測だが連続でない例

$χ_{Q}$ は有理数の上で $1$ 、無理数の上で $0$ 。どこでも不連続だが、逆像は 4 つしかないのでボレル可測。

可測でない例

非可測集合 $V$ の指示関数 $χ_{V}$ 。 ${1}$ の逆像が $V$ そのものになり、可測集合の族から外れる。作るには選択公理が要る。

可測関数の族は、連続関数の族よりずっと広い。開集合の逆像に課す条件が、「開集合であること」ではなく「ボレル集合であること」だけだからです^[5]。

合成は可測性を保つ

$f : X \to Y$ と $g : Y \to Z$ がともに可測なら、 $g \circ f$ も可測になります^[4]。

証明は 1 行です。 $C \in H$ に対し逆像を 2 段に分けます。

$(g \circ f)^{- 1} (C) = f^{- 1} (g^{- 1} (C))$

内側は $g$ の可測性から $G$ に入り、外側は $f$ の可測性から $F$ に入る。

Z 側の可測集合をとる

g で引き戻して Y 側の可測集合になる

f で引き戻して X 側の可測集合になる

ルベーグ可測どうしの合成は崩れる

ところが定義域側に完備化した σ 加法族を使うと、話が変わります^[2]。

$f : R \to R$ がルベーグ可測、 $g : R^{n} \to R$ がルベーグ可測でも、 $f \circ g$ はルベーグ可測とは限りません。

理由は逆像の行き先にあります。 $f$ がルベーグ可測というのは、ボレル集合 $B$ の逆像が「ルベーグ可測」だと言っているだけで、ボレル集合だとは言っていない。外側の $g$ で引き戻す相手がボレル集合でないと、次の段が保証されません^[5]。

$f$ のほうがボレル可測なら合成は通ります。値域側の σ 加法族と、次に引き戻す側の σ 加法族が揃っているかどうか。そこだけの話です。

ボレル可測を内側に置く

$g$ がルベーグ可測、 $f$ がボレル可測なら $f \circ g$ はルベーグ可測。逆像がボレル集合に落ちるので次へつながる

ルベーグ可測どうし

$f$ の逆像がルベーグ可測なだけで、ボレル集合とは限らない。 $g$ で引き戻した先が可測になる保証がない

演算で閉じる

実数値の可測関数どうしは、四則演算で閉じています^[5]。 $k$ を定数として $k f$ 、 $f + g$ 、 $f g$ 、 $g \neq = 0$ のときの $f / g$ がすべて可測。

和の証明が代表的です。工夫は有理数を挟むところ。

${f + g < b} = q + r < b, q, r \in Q ⋃ ({f < q} \cap {g < r})$

右辺は可測集合の可算合併です。有理数が可算個しかないおかげで、σ 加法族の中に収まる。

積は $f g = \frac{1}{2} ((f + g)^{2} - f^{2} - g^{2})$ と書き直し、 $f^{2}$ の可測性に帰着させます。 ${f^{2} < b}$ が ${- b < f < b}$ になるところがかなめ。

絶対値、 $max (f, g)$ 、 $min (f, g)$ も可測です。最大は ${max (f, g) < b} = {f < b} \cap {g < b}$ 、最小は交わりを合併に替えるだけ。

極限で閉じる

ここが可測関数のいちばん強いところです。可測関数列 ${f_{n}}$ に対し、上限も下限も上極限も下極限も可測になります^[5]。

${n sup f_{n} \leq b} = n = 1 ⋂ \infty {f_{n} \leq b}, {n in f f_{n} < b} = n = 1 ⋃ \infty {f_{n} < b}$

上極限と下極限は $lim sup f_{n} = in f_{n} sup_{k \geq n} f_{k}$ と書けるので、上の 2 つの組み合わせで出ます。

各点収束する列の極限も可測です。 $f = lim sup f_{n}$ と一致するから。連続関数の族はこの操作で壊れるのに、可測関数の族は壊れません^[3]。

$f_{n} (x) = x^{n}$ の各点極限は $x = 1$ でだけ $1$ をとる関数で、連続ではありません。それでも ${f < b}$ は区間か区間から 1 点を除いた集合なので、可測性は保たれる。

解析で可測関数の族を使うのは、この閉じ方のためです。極限をとっても外へ出ない族でないと、収束定理が書けません。

単関数とその近似

可測集合の指示関数を有限個ならべた関数を単関数といいます^[5]。

$φ (x) = n = 1 \sum N c_{n} χ_{E_{n}} (x), c_{n} \in R, E_{n} \in F$

非負可測関数 $f$ は、単関数の増加列で下から近づけられます。値域 $[0, 2^{n}]$ を幅 $2^{- n}$ に刻み、 $f$ の値がどの段にあるかで $x$ を振り分ける。

$φ_{n} = k = 0 \sum 2^{2 n} - 1 k 2^{- n} χ_{E_{k, n}} + 2^{n} χ_{F_{n}}, E_{k, n} = f^{- 1} ((k 2^{- n}, (k + 1) 2^{- n}])$

$φ_{1} \leq φ_{2} \leq \dots$ で各点収束し、 $f$ が有界なら一様収束します。刻む相手が定義域ではなく値域である点が、リーマン積分との分かれ目です。

可測関数を判定するとき、確かめる集合はどれで足りますか。

値域のすべての部分集合の逆像
値域の σ 加法族を生成する集合系の逆像
定義域のすべての可測集合の像

__RESULT__

逆像は補集合と可算合併と交換するので、逆像が可測になる集合の族はそれ自体 σ 加法族です。生成系を含めば、生成された σ 加法族まで丸ごと含む。実数値なら ${f < b}$ だけで足ります。

押し出しで測度が移る

可測写像が用意できると、測度を行き先へ移せます。 $(X, F, μ)$ に測度が載っているとき、次で $Y$ 上の測度が定まる。

$(f_{*} μ) (B) = μ (f^{- 1} (B)), B \in G$

右辺が意味を持つのは、 $f$ が可測で $f^{- 1} (B)$ が $F$ に入っているからです。可算加法性も、逆像が合併と交換することからそのまま移る。

確率論ではこれを分布と呼びます。確率変数 $X$ の分布とは、標本空間の確率測度を $X$ で実数直線へ押し出したもの。可測写像の定義が逆像で書かれている理由が、ここでもう一度効いてきます。

よくある誤り

可測性を「像が可測」で定義しようとする。順像は補集合とも交叉とも交換しないので、族が保たれません。

値域のすべての可測集合を調べようとする。生成系だけで足ります。

連続でないから可測でないと考える。

χ_{Q}

はどこでも不連続なのにボレル可測です。

可測関数どうしの合成はいつも可測だと思う。ルベーグ可測どうしでは崩れます。

各点極限で可測性が失われると考える。失われるのは連続性のほうです。

{f = b}

だけを調べて可測と結論する。1 点の逆像では半直線を生成できません。

可測空間の段階で測度が決まっていると思う。測度はまだ載っていません。

参考文献

Measurable function. Wikipedia（英語）.

Messbare Funktion. Wikipedia（ドイツ語）.

Fonction mesurable. Wikipédia（フランス語）.

Measurable mapping. Encyclopedia of Mathematics.

J. K. Hunter. *Measure Theory*. University of California at Davis, 2011.

行き先で測れると決めた集合を引き戻して、こちら側でも測れている。可測写像の要求はこれだけです。順像は補集合とも交叉とも交換しないので定義に使えない、というところから入り、生成系だけ調べれば足りること、実数値なら $f < b$ の集まりひとつで判定できることを見ます。四則演算と上限・下限・各点極限では閉じるのに、ルベーグ可測どうしの合成は崩れる。単関数による近似と、測度を押し出して分布を作るところまで。