測度の定義と基本性質

測度とは、集合の「大きさ」を非負実数または無限大で表す関数である。長さ・面積・体積といった直観的な概念を抽象化し、統一的に扱うための枠組みを与える。

測度の定義

可測空間 $(X, F)$ 上の測度とは、関数 $μ : F \to [0, \infty]$ で次の 2 条件を満たすものをいう：

$μ (\emptyset) = 0$

$A_{1}, A_{2}, \dots \in F が互いに素 \Rightarrow μ (n = 1 ⋃ \infty A_{n}) = n = 1 \sum \infty μ (A_{n})$

第 2 の条件を可算加法性（σ 加法性）という。組 $(X, F, μ)$ を測度空間と呼ぶ。

有限測度と σ 有限測度

測度 $μ$ が $μ (X) < \infty$ を満たすとき、 $μ$ を有限測度という。特に $μ (X) = 1$ のとき確率測度と呼ぶ。

$X$ を可算個の可測集合 $X_{1}, X_{2}, \dots$ の和集合として

$X = n = 1 ⋃ \infty X_{n}, μ (X_{n}) < \infty (\forall n)$

と表せるとき、 $μ$ を σ 有限測度という。 $R$ 上のルベーグ測度は有限測度ではないが、 $R = ⋃_{n = 1}^{\infty} [- n, n]$ と書けるので σ 有限である。σ 有限性は、フビニの定理やラドン・ニコディムの定理などの成立条件として頻繁に現れる。

測度の単調性

測度は集合の包含関係を保存する。 $A \subset B$ ならば $μ (A) \leq μ (B)$ が成り立つ。

証明は簡単である。 $B = A \cup (B ∖ A)$ と互いに素な和に分解すると、可算加法性から

$μ (B) = μ (A) + μ (B ∖ A) \geq μ (A)$

が得られる。

劣加法性

測度は可算劣加法性を満たす。任意の可測集合列 ${A_{n}}$ に対し、

$μ (n = 1 ⋃ \infty A_{n}) \leq n = 1 \sum \infty μ (A_{n})$

が成り立つ。集合が互いに素でなくても、和集合の測度は各測度の総和で上から抑えられる。

測度の連続性

測度は集合列の極限に対して連続性を持つ。

下からの連続性： $A_{1} \subset A_{2} \subset \dots$ のとき、

$μ (n = 1 ⋃ \infty A_{n}) = n \to \infty lim μ (A_{n})$

上からの連続性： $A_{1} \supset A_{2} \supset \dots$ かつ $μ (A_{1}) < \infty$ のとき、

$μ (n = 1 ⋂ \infty A_{n}) = n \to \infty lim μ (A_{n})$

上からの連続性では $μ (A_{1}) < \infty$ の仮定が本質的である。たとえば $R$ 上のルベーグ測度で $A_{n} = [n, \infty)$ とすると、 $⋂ A_{n} = \emptyset$ だが $μ (A_{n}) = \infty$ であり、 $\infty \neq = 0$ となって連続性は成り立たない。

測度の例

計数測度：任意の集合 $X$ 上で $μ (A) = ∣ A ∣$ （ $A$ が有限集合のとき）または $μ (A) = \infty$ （ $A$ が無限集合のとき）と定めたもの。

ディラック測度：点 $x_{0} \in X$ を固定し、 $δ_{x_{0}} (A) = 1$ （ $x_{0} \in A$ のとき）、 $δ_{x_{0}} (A) = 0$ （ $x_{0} \in / A$ のとき）と定めたもの。確率論における点質量に対応する。

ルベーグ測度： $R^{n}$ 上で通常の長さ・面積・体積を一般化した測度。構成には外測度とカラテオドリの方法を用いる。