測度とは、集合の「大きさ」を非負実数または無限大で表す関数である。長さ・面積・体積といった直観的な概念を抽象化し、統一的に扱うための枠組みを与える。
測度の定義
可測空間 上の測度とは、関数 で次の 2 条件を満たすものをいう：
第 2 の条件を可算加法性（σ 加法性）という。組 を測度空間と呼ぶ。
有限測度と σ 有限測度
測度 が を満たすとき、 を有限測度という。特に のとき確率測度と呼ぶ。
を可算個の可測集合 の和集合として
と表せるとき、 を σ 有限測度という。 上のルベーグ測度は有限測度ではないが、 と書けるので σ 有限である。σ 有限性は、フビニの定理やラドン・ニコディムの定理などの成立条件として頻繁に現れる。
測度の単調性
測度は集合の包含関係を保存する。 ならば が成り立つ。
証明は簡単である。 と互いに素な和に分解すると、可算加法性から
が得られる。
劣加法性
測度は可算劣加法性を満たす。任意の可測集合列 に対し、
が成り立つ。集合が互いに素でなくても、和集合の測度は各測度の総和で上から抑えられる。
測度の連続性
測度は集合列の極限に対して連続性を持つ。
下からの連続性： のとき、
上からの連続性： かつ のとき、
上からの連続性では の仮定が本質的である。たとえば 上のルベーグ測度で とすると、 だが であり、 となって連続性は成り立たない。
測度の例
計数測度：任意の集合 上で （ が有限集合のとき）または （ が無限集合のとき）と定めたもの。
ディラック測度：点 を固定し、（ のとき）、（ のとき）と定めたもの。確率論における点質量に対応する。
ルベーグ測度： 上で通常の長さ・面積・体積を一般化した測度。構成には外測度とカラテオドリの方法を用いる。
