平行移動しても長さが変わらないことがルベーグ測度を決めている

集合を丸ごと横へずらしても、ルベーグ測度は変わりません^[1]。$A\subseteq {\mathbb{R}}^n$ と $h\in {\mathbb{R}}^n$ に対し、平行移動を $A+h=\{x+h:x\in A\}$ と書きます。

$${\lambda }^{\ast }(A+h)={\lambda }^{\ast }(A)$$

しかも $A$ が可測であることと $A+h$ が可測であることは同値^[5]。測度も可測性も、位置には依存しません。

外測度が動かない理由

証明は定義まで戻れば数行で終わる。外測度は、区間（高次元なら直方体）の可算被覆の総体積の下限でした。

$${\lambda }^{\ast }(A)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\mathrm{vol}(R_i):A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }{R}_i\right\}$$

ここで $\{R_i\}$ が $A$ の被覆であることと、$\{R_i+h\}$ が $A+h$ の被覆であることは同値です。しかも直方体の体積は平行移動で変わらない。

つまり下限をとる相手の集合が、$h$ だけずれて全く同じ形で並び替わるだけ。下限も当然一致します^[5]。

可測性のほうも同じ調子で移ります。カラテオドリ条件に出てくる交わりが、平行移動と交換するから^[5]。

$$(E+h)\cap (A+h)=(E\cap A)+h$$

テスト集合を $E$ から $E-h$ にとり替えれば、$A$ の条件が $A+h$ の条件にそのまま書き換わります。

回転と鏡映でも変わらない

平行移動は定義から素直に出ますが、回転は自明ではありません。外測度を作るときに使った道具が、座標軸に平行な直方体だからです^[5]。

軸を傾けた直方体の体積が、ルベーグ測度と一致することを別に示す必要があります。それが済むと、直交変換で測度が変わらないことが従う。

結果として、ルベーグ測度は等長変換すべてで不変になります^[2]。定義に入り込んだ座標軸の任意性が、答えには残らない。

線形写像では行列式の絶対値だけ倍になる

もっと一般の線形写像 $T$ については、倍率がはっきり書けます^[1]。

$$\lambda (T(A))=|\det T|\cdot \lambda (A)$$

直交変換は $|\det T|=1$ なので、さきほどの結果はこの特別な場合。$c$ 倍の拡大は $\det =c^n$ なので、$\lambda (cA)=|c{|}^n\lambda (A)$ になります。

行列式が $0$ のとき、像は低い次元の部分空間に落ちます。${\mathbb{R}}^n$ の中で次元が $n$ より小さい部分空間は、測度 $0$^[5]。式の両辺が $0$ で釣り合っています。

平行移動不変性がルベーグ測度を決めてしまう

不変性は、ルベーグ測度の性質のひとつというより、正体そのものです。

${\mathbb{R}}^n$ 上のボレル測度で、平行移動不変かつコンパクト集合で有限、単位立方体の測度が $1$ になるものは、ルベーグ測度ただひとつ^[3]。

これは局所コンパクト群のハール測度の一意性の特別な場合にあたります^[4]。${\mathbb{R}}^n$ は加法についての局所コンパクト群で、そこに載る平行移動不変な測度は定数倍を除いて一意。

3 つ決めるだけで測度が 1 つに定まる。「長さ」「面積」「体積」という言葉に期待するものを書き下すと、答えの自由度が消えてしまいます。

不変性の代償

ところが、この気持ちのよい性質には代償がついてきます。平行移動不変性と可算加法性を、すべての部分集合の上で両立させることはできません^[5]。

$x-y\in \mathbb{Q}$ で同値関係を入れ、各類から $[0,1]$ の代表をひとつずつ選んだ集合 $E$ を考えます。選択公理が要るところ。

$[-1,1]$ の有理数を $q_1,q_2,\dots$ と並べ、$E_i=E+q_i$ とおくと、これらは互いに交わらず、次で挟まれます。

$$[0,1]\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }{E}_i\subseteq [-1,2]$$

もし $E$ が可測なら、平行移動不変性から $\lambda (E_i)$ はすべて等しい。可算加法性で足すと、和は $0$ か $\infty$ のどちらかにしかなりません。

ところが挟み込みから、和は $1$ 以上 $3$ 以下でなければならない。矛盾します^[5]。

結論は、$E$ が可測でないということ。ルベーグ測度がべき集合全体に載らないのは、平行移動不変性を手放さなかった帰結です。

有限加法性まで下げると事情が変わる

可算加法性を有限加法性に弱めると、$\mathbb{R}$ と ${\mathbb{R}}^2$ では話が通ります。すべての部分集合に定義された、平行移動不変で有限加法的な測度が存在する^[6]。

3 次元以上では作れません。バナッハ・タルスキーの分割が、その不可能性をそのまま示しています^[6]。

分かれ目は等長変換群の性質にあります。低い次元では群が可解で従順、3 次元以上では自由群を含んでしまう。フォン・ノイマンが、逆説的分解を持たない群がちょうど従順群だと示しました^[6]。

例：不変でない測度もいくらでもある

平行移動不変性は測度一般の性質ではありません。むしろ持っているほうが特別な部類。

ディラック測度 ${\delta }_0$ は原点を含む集合に $1$、含まない集合に $0$ を与えます。$\{0\}$ の測度は $1$ ですが、$\{1\}$ の測度は $0$。ずらしただけで値が変わる。

標準正規分布も同じです。区間 $[-1,1]$ の確率と $[9,11]$ の確率は違う。確率測度で平行移動不変なものは、全体の測度が $1$ という条件と衝突するので $\mathbb{R}$ 上には存在しません。

平行移動不変で全体が有限、というのは $\mathbb{R}$ の上では両立しません。長さ $1$ の区間で $\mathbb{R}$ を可算個に埋め尽くせるので、和が $0$ か $\infty$ になるためです。

よくある誤り

参考文献