ルベーグ可測集合はどこまで開集合に近いか｜測度論

$A\subseteq \mathbb{R}$ がルベーグ可測であるとは、どんな $E\subseteq \mathbb{R}$ に対しても外測度が $A$ で 2 つにきれいに割れることをいいます^[1]。

$${\lambda }^{\ast }(E)={\lambda }^{\ast }(E\cap A)+{\lambda }^{\ast }(E\setminus A)$$

外測度は劣加法的なので $\le$ は無条件で成り立ちます。要求しているのは $\ge$ のほう。$A$ が「刃物として使える」かどうかを問う条件です。

テスト集合をすべて調べる理由

条件に $E$ が入っている点が目につきます。$E=\mathbb{R}$ だけでは足りないのか、という疑問が出るところ。

足りません。外測度は加法的でないので、ある 1 つの $E$ で等号が立っても、別の $E$ では崩れることがある。全部の $E$ で崩れないことを要求して、はじめて σ 加法族が組み上がります^[7]。

条件の形が対称なので、$A$ が可測なら補集合も可測です。ここから族の性質が芋づる式に出てきます。

族としての姿

ルベーグ可測集合の全体 $\mathcal{L}$ は σ 加法族になり、その上で外測度は可算加法的な測度 $\lambda$ になります^[2]。

ボレル集合はすべて $\mathcal{L}$ に属します。しかも $\mathcal{L}$ は完備で、測度 $0$ の集合の部分集合をすべて含む。

$$\mathcal{B}(\mathbb{R})⊊\mathcal{L}⊊\mathcal{P}(\mathbb{R})$$

包含はどちらも真です。左が真であることは濃度で出ます。カントール集合は測度 $0$ で濃度が連続体なので、その部分集合は $2^{\mathfrak{c}}$ 個あって全部が可測^[2]。ボレル集合は $\mathfrak{c}$ 個しかありません。

開集合で外から挟めるかどうか

カラテオドリ条件は確かめにくい。もっと手を動かしやすい同値条件があります^[7]。

どれをとっても定義として通用します。カラテオドリ条件より、こちらを可測性の定義に採る教科書もある^[7]。

言い換えると、可測集合は開集合といくらでも近い。リトルウッドが第一原理として「可測集合はほとんど開集合の有限和である」と書いた事情がこれ。

例：稠密なのに測度がいくらでも小さい開集合

有理数を数え上げて $q_1,q_2,\dots$ とし、各点を長さ $\epsilon /2^n$ の区間で覆う。

$$G=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left(q_n-\frac{\epsilon }{2^{n+1}},q_n+\frac{\epsilon }{2^{n+1}}\right),\lambda (G)\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\epsilon }{2^n}=\epsilon$$

$G$ は有理数を全部含むので $\mathbb{R}$ で稠密です。それでも測度は $\epsilon$ 以下。

補集合 $\mathbb{R}\setminus G$ は閉集合で、内点をひとつも持ちません。それでも測度は無限大。稠密さと測度の大小は、まったく独立に動きます。

例：疎なのに正の測度を持つ集合

逆向きの極端も作れます。カントール集合と同じように真ん中をくり抜くのですが、抜く幅を早く小さくする^[4]。

$n$ 段目では、残っている $2^n$ 本の区間それぞれから、幅 $4^{-(n+1)}$ の真ん中を抜きます。抜いた総量は次のとおり。

$$\sum _{n=0}^{\infty }{2}^n\cdot \frac{1}{4^{n+1}}=\frac{1}{4}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{2^n}=\frac{1}{2}$$

残った集合はスミス・ヴォルテラ・カントール集合と呼ばれ、測度は $1/2$ です^[4]。閉集合で、区間をひとつも含まない。

抜く幅を $3^{-n}$ にした通常のカントール集合は測度 $0$ になります。同じ手順でも、抜き方の速さだけで測度が変わる。

零集合の見分け方

測度 $0$ の集合はいくらでも小さい開集合で覆えます。可算集合はこの型の代表例。

$${\lambda }^{\ast }(A)\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\epsilon }{2^n}=\epsilon$$

逆は成り立ちません。カントール集合は非可算なのに測度 $0$ です^[1]。

零集合の可算合併も零集合になります。$\epsilon /2^n$ ずつ配れば、合計がまた $\epsilon$ で押さえられるから。

正の測度を持つと、差集合が区間を含む

測度が正であることは、思ったより強い条件です。シュタインハウスの定理が分かりやすい形でそれを示します^[5]。

$A$ がルベーグ可測で $\lambda (A)>0$ なら、差集合 $A-A=\{a-b:a,b\in A\}$ は原点のまわりの開区間を含みます。

証明は指示関数のたたみこみを使います。$h={\chi }_A\ast {\chi }_{-A}$ は連続で $h(0)=\lambda (A)>0$ なので、$0$ の近くで $h>0$。$h(x)>0$ は $x\in A-A$ と同値です。

系として、$\mathbb{R}$ の真部分群でルベーグ可測なものは測度 $0$ に限られる^[5]。もし正の測度なら差集合が区間を含み、群なので全体に広がってしまいます。

ほとんどの点で密度が 1 になる

もうひとつ、正の測度が持つ強さを見ます。点 $x$ における $A$ の密度を次で定めます^[6]。

$$d_A(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\lambda (A\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon ))}{2\epsilon }$$

ルベーグの密度定理は、$A$ の点のほとんどすべてで $d_A(x)=1$、補集合の点のほとんどすべてで $d_A(x)=0$ になると述べます^[6]。

密度が $0$ でも $1$ でもない点は、集めても測度 $0$ にしかならない。可測集合は、測度 $0$ の例外を除けば「詰まっている場所」と「空いている場所」にきれいに分かれます。

$\lambda$ が正の集合には密度 $1$ の点があるので、そのまわりを拡大すればほとんど区間に見える。シュタインハウスの定理を密度の側から言い直したものが、この主張です。

平行移動と拡大で測度がどう動くか

ルベーグ測度は平行移動で変わりません^[3]。回転や鏡映でも変わらないので、等長変換すべてで不変。

$$\lambda (A+a)=\lambda (A),\lambda (cA)=|c|\lambda (A)$$

線形写像 $T$ については、行列式の絶対値だけ倍になります^[1]。

$$\lambda (T(A))=|\det T|\cdot \lambda (A)$$

平行移動不変な ${\mathbb{R}}^n$ 上のボレル測度で、単位立方体に $1$ を与えるものはルベーグ測度に限られる^[3]。「体積」という言葉に期待するものを全部書き下すと、答えが 1 つに決まってしまう。

よくある誤り

参考文献