ルベーグ可測集合の性質

ルベーグ可測集合は、外測度によるカラテオドリ条件を満たす集合として定義される。ボレル集合をすべて含み、測度 0 の集合の部分集合も含むという完備性を持つ。この節ではルベーグ可測集合の様々な特徴づけと性質を述べる。

定義の復習

$\mathbb{R}$ の部分集合 $A$ がルベーグ可測であるとは、任意の $E\subset \mathbb{R}$ に対して

$${\lambda }^{\ast }(E)={\lambda }^{\ast }(E\cap A)+{\lambda }^{\ast }(E\cap A^c)$$

が成り立つことである。ここで ${\lambda }^{\ast }$ はルベーグ外測度である。

開集合・閉集合による近似

ルベーグ可測集合は、開集合や閉集合で任意の精度で近似できる。

$A$ がルベーグ可測であることと、以下の各条件は同値である：

• 任意の $\epsilon >0$ に対し、開集合 $G\supset A$ で ${\lambda }^{\ast }(G\setminus A)<\epsilon$ なるものが存在する
• 任意の $\epsilon >0$ に対し、閉集合 $F\subset A$ で ${\lambda }^{\ast }(A\setminus F)<\epsilon$ なるものが存在する
• $G_{\delta }$ 集合 $G\supset A$ で ${\lambda }^{\ast }(G\setminus A)=0$ なるものが存在する
• $F_{\sigma }$ 集合 $F\subset A$ で ${\lambda }^{\ast }(A\setminus F)=0$ なるものが存在する

ここで $G_{\delta }$ は可算個の開集合の共通部分、$F_{\sigma }$ は可算個の閉集合の和を表す。

これらの特徴づけから、任意のルベーグ可測集合 $A$ は

$$A=B\cup N$$

の形に書ける。ここで $B$ はボレル集合、$N$ は零集合の部分集合である。

ルベーグ可測集合族の構造

ルベーグ可測集合全体 $\mathcal{L}$ は σ 加法族であり、ボレル集合族 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ を真に含む：

$$\mathcal{B}(\mathbb{R})⊊\mathcal{L}$$

$\mathcal{L}$ の濃度は $2^{\mathfrak{c}}$ である（$\mathfrak{c}$ は連続体濃度）。これはカントール集合の濃度が $\mathfrak{c}$ であり、その任意の部分集合がルベーグ可測（測度 0）であることから従う。一方、$\mathcal{B}(\mathbb{R})$ の濃度は $\mathfrak{c}$ である。

代数的構造との関係

ルベーグ可測集合は平行移動と拡大縮小で閉じている。

$A$ がルベーグ可測で $a\in \mathbb{R}$, $c\ne 0$ のとき：

$$\lambda (A+a)=\lambda (A)$$

$$\lambda (cA)=|c|\lambda (A)$$

ここで $A+a=\{x+a:x\in A\}$, $cA=\{cx:x\in A\}$ である。

平行移動不変性は、ルベーグ測度が「長さ」の自然な一般化であることの証左である。実際、$\mathbb{R}$ 上のボレル測度で、平行移動不変かつ単位区間に有限の測度を与えるものは、ルベーグ測度の定数倍に限られる。

可算集合と零集合

可算集合はルベーグ測度 0 である。$A=\{a_1,a_2,\dots \}$ のとき、各点を長さ $\epsilon /2^n$ の区間で覆えば

$${\lambda }^{\ast }(A)\le \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\epsilon }{2^n}=\epsilon$$

が任意の $\epsilon >0$ で成り立つので $\lambda (A)=0$ である。

逆は成り立たない。カントール集合は非可算だが測度 0 である。

稠密性と測度

稠密性と測度の大小は独立した概念である。$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密だが $\lambda (\mathbb{Q})=0$ である。一方、「太いカントール集合」は疎（内点を持たない）だが正の測度を持つものを構成できる。

たとえば、$[0,1]$ からカントール集合の構成と同様に中央の区間を除去するが、$n$ 段目で除去する長さを $1/3^n$ より小さくすることで、残りの集合に正の測度を持たせられる。