非可測集合の存在（ヴィタリ集合）

選択公理を認めると、ルベーグ非可測集合の存在が証明できる。最も有名な構成がヴィタリによるもので、$\mathbb{R}$ の任意の部分集合が「長さ」を持つわけではないことを示す。

ヴィタリ集合の構成

$[0,1]$ 上で同値関係 $\sim$ を

$$x\sim y⟺x-y\in \mathbb{Q}$$

と定める。この関係は $\mathbb{R}$ を有理数ずつずれた「層」に分割する。各同値類は $x+\mathbb{Q}$ の形をしており、稠密かつ可算である。

同値類全体の集合を $[0,1]/\sim$ とする。選択公理により、各同値類から代表元を 1 つずつ選んで集めた集合 $V\subset [0,1]$ が存在する。この $V$ をヴィタリ集合という。

ヴィタリ集合の非可測性

$V$ がルベーグ可測と仮定して矛盾を導く。

$\mathbb{Q}\cap [-1,1]$ の元を $q_1,q_2,\dots$ と列挙し、$V_n=V+q_n$ とおく。$V_n$ たちは互いに素である。なぜなら、$x\in V_m\cap V_n$ とすると $x=v+q_m=w+q_n$（$v,w\in V$）となり、$v-w=q_n-q_m\in \mathbb{Q}$ なので $v\sim w$ である。$V$ は各同値類から 1 点のみを含むので $v=w$ となり、$q_m=q_n$ すなわち $m=n$ が従う。

次に、$[0,1]\subset {\bigcup }_{n=1}^{\infty }{V}_n\subset [-1,2]$ が成り立つ。左の包含は、任意の $x\in [0,1]$ に対し、$x$ と同値な代表元 $v\in V$ をとれば $x-v\in \mathbb{Q}\cap [-1,1]$ なので $x\in V+(x-v)$ となることから従う。右の包含は $V\subset [0,1]$ と $q_n\in [-1,1]$ から明らかである。

ルベーグ測度の性質を適用する。$V$ が可測なら $V_n$ も可測で、平行移動不変性から $\lambda (V_n)=\lambda (V)$ である。可算加法性により

$$\sum _{n=1}^{\infty }\lambda (V)=\lambda \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{V}_n\right)$$

が成り立つ。包含関係から

$$1=\lambda ([0,1])\le \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (V)\le \lambda ([-1,2])=3$$

となるべきである。しかし $\lambda (V)=0$ なら左辺は 0、$\lambda (V)>0$ なら左辺は $\infty$ となり、どちらも矛盾する。したがって $V$ はルベーグ可測ではない。

選択公理の役割

ヴィタリ集合の構成は選択公理に本質的に依存している。選択公理なしでは、各同値類から代表元を選ぶ操作を正当化できない。

実際、ソロヴェイのモデルでは選択公理を否定すると（より正確には、従属選択公理のみを認めると）$\mathbb{R}$ のすべての部分集合がルベーグ可測になりうる。非可測集合の存在は選択公理と不可分に結びついている。

他の非可測集合

ヴィタリ集合以外にも非可測集合は多く存在する。

ベルンシュタイン集合：$\mathbb{R}$ の部分集合 $B$ で、任意の非可算閉集合 $F$ に対して $B\cap F\ne \varnothing$ かつ $B^c\cap F\ne \varnothing$ を満たすもの。このような集合はルベーグ非可測である。

ハメルの基底を用いた構成：$\mathbb{R}$ を $\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間と見たときの基底（ハメル基底）を用いても非可測集合が構成できる。

非可測集合の普遍性

非可測集合は病的な例外ではなく、むしろ「ほとんどの」部分集合は非可測である。$\mathcal{P}(\mathbb{R})$ の濃度は $2^{\mathfrak{c}}$ だが、ルベーグ可測集合の全体 $\mathcal{L}$ の濃度も $2^{\mathfrak{c}}$ である。しかし、$\mathcal{L}$ は $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ の「小さな」部分に過ぎない（測度論的・圏論的な意味で）。

非可測集合の存在は、$\mathbb{R}$ のすべての部分集合に一貫した「大きさ」を割り当てることの不可能性を示しており、測度論の本質的な限界を明らかにしている。