可測関数の定義と性質

可測関数は測度論的積分の対象となる関数である。位相空間における連続関数の類似物であり、可測集合の逆像が可測であるという条件で定義される。

可測関数の定義

測度空間 $(X, F, μ)$ 上の関数 $f : X \to R$ が可測関数（または $F$ -可測）であるとは、任意の $a \in R$ に対して

${x \in X : f (x) < a} \in F$

が成り立つことをいう。

この条件は ${f < a}$ , ${f \leq a}$ , ${f > a}$ , ${f \geq a}$ のいずれを用いても同値である。また、任意のボレル集合 $B \in B (R)$ に対して $f^{- 1} (B) \in F$ が成り立つことと同値でもある。

拡張実数値関数 $f : X \to [- \infty, \infty]$ に対しても同様に可測性を定義する。このとき ${f = \infty}$ や ${f = - \infty}$ も可測集合であることが要求される。

可測関数は代数演算で閉じている。 $f, g : X \to R$ が可測で $c \in R$ のとき、次の関数はすべて可測である：

$f + g$ の可測性は、 ${f + g < a} = ⋃_{r \in Q} ({f < r} \cap {g < a - r})$ と有理数を介して可算和に分解できることから従う。

可測関数の重要な性質は、極限操作で閉じていることである。可測関数列 ${f_{n}}$ に対し、

$n sup f_{n}, n in f f_{n}, n \to \infty lim sup f_{n}, n \to \infty lim inf f_{n}$

はすべて可測である。 ${f_{n}}$ が各点収束するとき、極限関数

$f (x) = n \to \infty lim f_{n} (x)$

も可測である。

これは連続関数と対照的である。連続関数の各点極限は一般に連続とは限らない。可測関数の方が極限操作に対して閉じており、解析学的に扱いやすい。

$R$ 上の関数については、どの σ 加法族に関して可測かを区別する必要がある。

連続関数はボレル可測であり、したがってルベーグ可測でもある。ボレル可測ならばルベーグ可測だが、逆は成り立たない。

単関数とは、有限個の値のみをとる可測関数である。 $φ : X \to R$ が単関数であるとは、相異なる値 $a_{1}, \dots, a_{n}$ と可測集合 $A_{1}, \dots, A_{n}$ が存在して

$φ = i = 1 \sum n a_{i} χ_{A_{i}}$

と表せることをいう。ここで $χ_{A}$ は集合 $A$ の特性関数（指示関数）である。

単関数全体は可測関数の中で加法・乗法・スカラー倍について閉じている。

非負可測関数は単関数の単調増加列の極限として表せる。これは積分の定義において基本的な役割を果たす。

$f : X \to [0, \infty]$ が可測ならば、単関数列 ${φ_{n}}$ で

$0 \leq φ_{1} \leq φ_{2} \leq \dots \leq f, n \to \infty lim φ_{n} (x) = f (x) (\forall x)$

を満たすものが存在する。さらに $f$ が有界ならば収束は一様である。

具体的な構成として、

$φ_{n} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{k}{2 ^{n}} n if \frac{k}{2 ^{n}} \leq f (x) < \frac{k + 1}{2 ^{n}}, k = 0, 1, \dots, n \cdot 2^{n} - 1 if f (x) \geq n$

とすればよい。 $φ_{n}$ は $f$ を $2^{n}$ 等分の精度で下から近似し、 $n \to \infty$ で $f$ に収束する。