可測関数はほとんど連続〜単関数の階段で刻んで確かめる

可測空間 $(X,\mathcal{F})$ の上の関数 $f:X\to \mathbb{R}$ が可測であるとは、すべての $a$ について次が成り立つことをいいます^[1]。

$$\{x\in X:f(x)<a\}\in \mathcal{F}$$

不等号の向きは問いません。$\le$、$>$、$\ge$ のどれで書いても同じ条件になります。半直線がボレル集合族を生成するから^[7]。

値に無限大を許す

解析では $f:X\to \overline{\mathbb{R}}=[-\infty ,\infty ]$ という拡大実数値の関数を使います。理由は上限や下限をとる操作を閉じさせるため。

実数値に限ると、${\sup }_n{f}_n$ が有限に収まる保証がありません。値域を広げておけば、上限も下限も常に存在して可測になる^[7]。

$$\{\underset{n}{\sup }{f}_n\le a\}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\{f_n\le a\},\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{f}_n=\underset{n}{\inf }\underset{k\ge n}{\sup }{f}_k$$

拡大実数の上では $\infty -\infty$ が定義できません。和をとるときは、$f$ と $g$ が同時に $\infty$ と $-\infty$ にならないという但し書きが要ります^[7]。

単関数という部品

可測集合の指示関数を有限個ならべたものを単関数といいます^[7]。

$$\phi (x)=\sum _{n=1}^N{c}_n{\chi }_{E_n}(x),c_n\in \mathbb{R},E_n\in \mathcal{F}$$

表し方は一意ではありません。$c_n$ が互いに違って $E_n$ が互いに交わらないとき、標準形と呼びます。

単関数とは、有限個の値しかとらない可測関数のこと。逆に、有限個の値しかとらない可測関数は必ず単関数の形に書ける。

非負可測関数は単関数で下から近づけられる

ここが可測関数の扱いを決める定理です。$f:X\to [0,\infty ]$ が可測なら、単関数の増加列で各点収束させられます^[7]。

作り方は値域を刻むこと。$n$ 段目では $[0,2^n]$ を幅 $2^{-n}$ に等分し、$f$ の値がどの段に落ちるかで $x$ を振り分けます。

$${\phi }_n=\sum _{k=0}^{2^{2n}-1}\frac{k}{2^n}{\chi }_{E_{k,n}}+2^n{\chi }_{F_n},E_{k,n}=f^{-1}\left(\left(\frac{k}{2^n},\frac{k+1}{2^n}\right]\right)$$

$E_{k,n}$ も $F_n=f^{-1}((2^n,\infty ])$ も、$f$ の可測性から可測集合です。だから各 ${\phi }_n$ は単関数。

刻みを半分にすると段が細かくなるので、${\phi }_1\le {\phi }_2\le \cdots$ と単調に増えます。$f$ が有界なら収束は一様になる^[7]。

一般の可測関数は正部分と負部分に分けます。$f^{+}=\max (f,0)$、$f^{-}=\max (-f,0)$ と置くと、どちらも非負可測。

$$f=f^{+}-f^{-},|f|=f^{+}+f^{-}$$

非負の場合に定理を当てて、あとで引き算する。可測関数の議論はたいていこの形で進みます。

ほとんどいたるところ

測度 $0$ の集合を除いて成り立つ性質を、ほとんどいたるところ成り立つといいます^[7]。記号は a.e.。

$f=g$ が a.e. で成り立つとき、積分に関わる量はすべて一致します。可測関数を扱うときの基本は、測度 $0$ の差を無視する姿勢。

ただし可測性そのものは話が別。$f$ が可測で $g=f$ が a.e. でも、$g$ が可測とは限りません。

食い違う場所は測度 $0$ の集合の部分集合ですが、それが可測集合であるとは限らないからです。測度空間が完備なら、この心配は消えます^[7]。

可測関数はほとんど連続

ルジンの定理が、可測関数と連続関数の距離を測ります^[3]。

$f:[a,b]\to \mathbb{C}$ が可測なら、任意の $\epsilon >0$ に対してコンパクト集合 $E\subseteq [a,b]$ がとれて、$f$ の $E$ への制限が連続、しかも $\mu (E)>b-a-\epsilon$ になる。

逆向きの言い方もできます。任意の $\epsilon >0$ について、連続関数 $\phi$ で $\mu (\{x:f(x)\ne \phi (x)\})<\epsilon$ となるものがとれるなら、$f$ は可測^[3]。

ディリクレ関数 ${\chi }_{\mathbb{Q}}$ で確かめます。有理数を $\epsilon /2^n$ の区間で覆った開集合を除けば、残りは無理数だけからなる集合で、そこでは ${\chi }_{\mathbb{Q}}$ は定数 $0$。

どこでも不連続な関数が、測度 $\epsilon$ を捨てるだけで連続関数になる。「ほとんど連続」という言い方が誇張でないことが分かります。

各点収束はほとんど一様収束

エゴロフの定理は収束のほうを扱います^[4]。

$\mu (A)<\infty$ とし、可測関数列 $f_n$ が $A$ の上で a.e. に $f$ へ収束するとします。このとき任意の $\epsilon >0$ に対し、可測集合 $B\subseteq A$ がとれて $\mu (B)<\epsilon$、そして $A\setminus B$ の上で $f_n\to f$ は一様収束する^[5]。

証明は「収束が遅い点」を集めることで進みます。許容誤差 $1/k$ に対し、番号 $n$ 以降でまだ誤差を超える点の集合を作る。$n$ を増やすとこの集合は縮み、測度は $0$ に近づきます。

$k$ ごとに測度 $\epsilon /2^k$ 以下になるところまで $n$ を選び、全部合わせても測度は $\epsilon$ 以下。残りの上では一様収束します。

$f_n(x)=x^n$ を $[0,1]$ で見ると、各点極限は $x=1$ でだけ $1$ になる不連続な関数です。$[0,1]$ 全体では一様収束しません。

ところが右端の幅 $\epsilon$ を捨てると、残りでの最大値は $(1-\epsilon {)}^n$ で、$n$ とともに $0$ へ落ちる。捨てる幅をいくら小さくしても同じことが起きます。

測度が無限だとエゴロフは崩れる

$\mu (A)<\infty$ という仮定は外せません^[4]。$\mathbb{R}$ の上で次の列を考えます。

$$f_n={\chi }_{(n,n+1)}$$

どの $x$ でも、$n$ が十分大きくなれば $f_n(x)=0$。各点収束の極限は $0$ です。

ところが有限測度の集合 $B$ をどう選んでも、$\mathbb{R}\setminus B$ の上で一様収束しません。山が右へ走り続け、$B$ が有限測度である限り必ず山と重ならない位置が残るからです^[4]。

有限測度という仮定は、山の逃げ場をなくすために効いています。逃げ場があると、いくら捨てても追いつかない。

リトルウッドの 3 原則

ここまでの定理は、リトルウッドが 1944 年に書いた 3 つの言い方でまとめられます^[6]。

3 つとも「ほとんど」という語がかなめです。測度 $\epsilon$ を捨てる自由を認めると、扱いにくい対象が素直な対象に化ける。

演算と極限で閉じる

最後に閉じ方を並べておきます。可測関数どうしの和、定数倍、積、商（分母が $0$ でない場合）はすべて可測^[2]。

絶対値と $\max$、$\min$ も可測です。$\{\max (f,g)<a\}=\{f<a\}\cap \{g<a\}$ で片づきます。

上限、下限、上極限、下極限、そして各点極限も可測。連続関数の族が各点極限で壊れるのに対し、可測関数の族はここで壊れません^[7]。

この閉じ方があるので、収束定理を可測関数の枠の中で書けます。極限をとるたびに枠の外へ出ていたら、積分と極限の交換など論じられません。

よくある誤り

参考文献