可測関数は測度論的積分の対象となる関数である。位相空間における連続関数の類似物であり、可測集合の逆像が可測であるという条件で定義される。
可測関数の定義
測度空間 上の関数 が可測関数（または -可測）であるとは、任意の に対して
が成り立つことをいう。
この条件は , , , のいずれを用いても同値である。また、任意のボレル集合 に対して が成り立つことと同値でもある。
拡張実数値関数 に対しても同様に可測性を定義する。このとき や も可測集合であることが要求される。
可測関数の演算
可測関数は代数演算で閉じている。 が可測で のとき、次の関数はすべて可測である：
- ,
- （ の点で定義）
の可測性は、 と有理数を介して可算和に分解できることから従う。
極限操作と可測性
可測関数の重要な性質は、極限操作で閉じていることである。可測関数列 に対し、
はすべて可測である。 が各点収束するとき、極限関数
も可測である。
これは連続関数と対照的である。連続関数の各点極限は一般に連続とは限らない。可測関数の方が極限操作に対して閉じており、解析学的に扱いやすい。
ボレル可測関数とルベーグ可測関数
上の関数については、どの σ 加法族に関して可測かを区別する必要がある。
- ボレル可測関数：ボレル集合族 に関して可測
- ルベーグ可測関数：ルベーグ可測集合族 に関して可測
連続関数はボレル可測であり、したがってルベーグ可測でもある。ボレル可測ならばルベーグ可測だが、逆は成り立たない。
単関数
単関数とは、有限個の値のみをとる可測関数である。 が単関数であるとは、相異なる値 と可測集合 が存在して
と表せることをいう。ここで は集合 の特性関数（指示関数）である。
単関数全体は可測関数の中で加法・乗法・スカラー倍について閉じている。
単関数による近似
非負可測関数は単関数の単調増加列の極限として表せる。これは積分の定義において基本的な役割を果たす。
が可測ならば、単関数列 で
を満たすものが存在する。さらに が有界ならば収束は一様である。
具体的な構成として、
とすればよい。 は を 等分の精度で下から近似し、 で に収束する。
