縦ではなく横に切る……ルベーグ積分の定義と可積分の条件

積分は 3 段階で組み立てます。単関数、非負可測関数、そして一般の可測関数の順^[2]。

出発点は単関数です。互いに交わらない可測集合 $E_1,\dots ,E_N$ と非負の定数で書かれた関数に対し、高さと測度を掛けて足す。

$$\phi =\sum _{n=1}^N{c}_n{\chi }_{E_n},{\int }_X\phi d\mu =\sum _{n=1}^N{c}_n\mu (E_n)$$

$c_n=0$ かつ $\mu (E_n)=\infty$ のときは $0\cdot \infty =0$ と約束します。この約束がないと、零関数の積分が定まりません。

台が区間である必要はありません。可測集合でありさえすれば測度が定まるので、有理数全体のような集合でも高さを掛けられる。ここがリーマン積分との最初の分かれ目です。

同じ単関数を違う形で書いても、積分の値は変わりません^[3]。定数倍、和、単調性の 3 つも、定義からすぐ出ます^[4]。

非負可測関数は下から近づける

つぎの段階です。$f:X\to [0,\infty ]$ が可測なとき、下にある単関数の積分の上限として定めます^[1]。

$${\int }_{X}fd\mu =\sup \left\{{\int }_X\phi d\mu :0\le \phi \le f,\phi \text{ は単関数}\right\}$$

値は $[0,\infty ]$ に入る。有限とは限らない点が、リーマン積分と違うところ。

注目したいのは、下からしか近づけていないことです^[4]。リーマン積分では上と下から挟んで一致を要求しましたが、ここではその手続きが要りません。

可測性を先に仮定しているので、挟み込みの代わりが済んでいる。上と下がずれる心配は、可測でない関数のところで起きるからです。

縦に切るか横に切るか

リーマン積分は定義域を縦に割り、各区間での高さを見ます。ルベーグ積分は値域を横に割り、同じ高さになる $x$ を集める^[1]。

集めた $x$ の集まりは区間になるとは限りません。ばらばらに散らばっていても、可測でありさえすれば測度が測れる。

横に切る利点は、関数が激しく上下しても層の形が壊れないことです。縦に切ると、区間の中での振れ幅が大きいままで細分が効きません。

増加列の極限としても書ける

上限で定義しましたが、単関数の増加列の極限としても同じ値になります^[2]。

$${\phi }_1\le {\phi }_2\le \cdots \nearrow f⟹{\int }_{X}fd\mu =\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{\phi }_{n}d\mu$$

近づけ方によらず同じ値になる点が効いています。値域を $2^{-n}$ に刻む標準的な列を使ってもよいし、別の列でもよい。

この事実は単調収束定理から出る。定義から直接ではありません。

線形性は自明ではない

定数倍と単調性は定義からすぐ出ます。ところが和については、そう簡単にいきません^[4]。

$\int (f+g)=\int f+\int g$ を示すには、$f$ と $g$ を近づける単関数列を用意して足し、極限をとる必要があります。その極限の交換を支える道具が単調収束定理^[4]。

順序が効いています。単調収束定理を先に証明し、それから線形性を導く。定義だけを見て線形性を当然と思うと、証明の骨格を見落とします。

符号のある関数へ広げる

一般の可測関数は正部分と負部分に分けます^[3]。

$$f^{+}=\max (f,0),f^{-}=\max (-f,0),f=f^{+}-f^{-}$$

どちらも非負可測なので、すでに積分が定まっています。差をとって $f$ の積分とする。

$${\int }_{X}fd\mu ={\int }_X{f}^{+}d\mu -{\int }_X{f}^{-}d\mu$$

両方が $\infty$ のときは定義しません。$\infty -\infty$ が意味を持たないから。片方が有限なら、値は $\pm \infty$ を含めて定まります。

可積分の条件

${\int }_X|f|d\mu <\infty$ を満たす可測関数を可積分といいます^[2]。$|f|=f^{+}+f^{-}$ なので、これは両方の積分が有限であることと同値。

可積分関数の全体を $L^1(X,\mu )$ と書きます。この空間の上では積分が有限な実数値になり、線形性も三角不等式も素直に使える^[3]。

a.e. で等しい関数は、積分の値も等しくなります^[3]。積分から見ると、測度 $0$ の差は存在しないのと同じ。

集合の上での積分

可測集合 $A$ の上での積分は、指示関数を掛けるだけで定まります^[4]。

$${\int }_{A}fd\mu ={\int }_{X}f{\chi }_{A}d\mu$$

リーマン積分では、長方形でない領域の上での積分を定めるだけで一仕事でした。ルベーグ積分ではその手間がありません。$A$ が可測でさえあれば、形は問わない。

互いに交わらない可測集合の列 $\{A_n\}$ については、積分も可算加法的になります。

$${\int }_{{\bigcup }_n{A}_n}fd\mu =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{A_n}fd\mu$$

層ケーキの公式

積分を、水位ごとの測度の積み重ねとして書き直せます^[1]。非負可測な $f$ に対して次が成り立つ。

$${\int }_{X}fd\mu ={\int }_0^{\infty }\mu (\{x:f(x)>t\})dt$$

右辺は $t$ についての広義リーマン積分。単調減少な関数なので、リーマン積分の意味でちゃんと定まります。

横に切るという発想を、そのまま式にしたもの。高さ $t$ の層の「幅」が $\mu (\{f>t\})$ で、それを $t$ について積み上げています。

例：ディリクレ関数

${\chi }_{\mathbb{Q}}$ を $[0,1]$ で積分します。これは単関数そのもので、台は $\mathbb{Q}\cap [0,1]$。

$${\int }_0^1{\chi }_{\mathbb{Q}}d\lambda =1\cdot \lambda (\mathbb{Q}\cap [0,1])=0$$

有理数全体の測度が $0$ なので、答えは $0$ です。リーマン積分だと上積分が $1$、下積分が $0$ で一致せず、積分可能になりません。

可算個の点で値を変えても積分が動かない、という性質がそのまま出た形。

例：端で発散する関数

$f(x)=1/\sqrt{x}$ を $(0,1]$ で考えます。$x\to 0$ で値は $\infty$ に発散しますが、可積分。

$${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}d\lambda ={\left[2\sqrt{x}\right]}_0^1=2$$

一方 $g(x)=1/x$ を $[1,\infty )$ で見ると、値は $0$ に近づくのに積分が発散します。

$${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}d\lambda =\infty$$

可積分かどうかは、値が有界かどうかとも、定義域が有界かどうかとも別の話。$\int |f|d\mu$ が有限かどうかだけが問われます。

例：数え上げ測度なら級数になる

$X=\mathbb{N}$ に数え上げ測度を入れます。各 1 点集合の測度が $1$ なので、積分は級数と一致する。

$${\int }_{\mathbb{N}}fd\mu =\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$$

可積分の条件 $\int |f|d\mu <\infty$ は、絶対収束にあたります。級数の絶対収束と積分の可積分性が、同じ枠に収まっている。

級数の項の順序を変えても和が変わらないのは、この見方では測度が順序を持たないからです。

よくある誤り

参考文献