ルベーグ積分の定義

ルベーグ積分は、関数の値域を分割して積分を定義するという発想に基づく。リーマン積分が定義域の分割に依存するのに対し、ルベーグ積分は値域の分割と測度を用いることで、より広いクラスの関数に対して積分を定義できる。

非負単関数の積分

まず非負単関数の積分を定義する。$\phi ={\sum }_{i=1}^n{a}_i{\chi }_{A_i}$（$a_i\ge 0$, $A_i$ は互いに素な可測集合）に対し、

$${\int }_X\phi d\mu =\sum _{i=1}^n{a}_i\mu (A_i)$$

と定める。$a_i=0$ で $\mu (A_i)=\infty$ の場合は $0\cdot \infty =0$ と約束する。

この定義は $\phi$ の表示の仕方によらない。また、非負単関数 $\phi ,\psi$ と $c\ge 0$ に対し、

$${\int }_X(c\phi )d\mu =c{\int }_X\phi d\mu$$

$${\int }_X(\phi +\psi )d\mu ={\int }_X\phi d\mu +{\int }_X\psi d\mu$$

$$\phi \le \psi \Rightarrow {\int }_X\phi d\mu \le {\int }_X\psi d\mu$$

が成り立つ。

非負可測関数の積分

非負可測関数 $f:X\to [0,\infty ]$ の積分を、単関数による近似を用いて

$${\int }_{X}fd\mu =\sup \left\{{\int }_X\phi d\mu :0\le \phi \le f,\phi \text{ は単関数}\right\}$$

と定義する。この値は $[0,\infty ]$ に属する。

単関数の単調近似列 ${\phi }_n\nearrow f$ を用いれば、

$${\int }_{X}fd\mu =\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{\phi }_{n}d\mu$$

と表せる。この極限は近似列の取り方によらない。

一般の可測関数の積分

一般の可測関数 $f:X\to [-\infty ,\infty ]$ に対しては、正部分と負部分に分解する。

$$f^{+}=\max (f,0),f^{-}=\max (-f,0)$$

とおくと、$f=f^{+}-f^{-}$ かつ $|f|=f^{+}+f^{-}$ である。$f^{+}$ と $f^{-}$ はともに非負可測関数である。

${\int }_X{f}^{+}d\mu <\infty$ または ${\int }_X{f}^{-}d\mu <\infty$ のとき、

$${\int }_{X}fd\mu ={\int }_X{f}^{+}d\mu -{\int }_X{f}^{-}d\mu$$

と定義する。両方とも $\infty$ の場合は積分を定義しない。

可積分関数

${\int }_X|f|d\mu <\infty$ を満たす可測関数 $f$ を可積分（または $\mu$-可積分、$L^1$ に属する）という。このとき ${\int }_X{f}^{+}d\mu$ と ${\int }_X{f}^{-}d\mu$ はともに有限であり、積分 ${\int }_{X}fd\mu$ は有限な実数値をとる。

可積分関数全体の空間を $L^1(X,\mu )$ または単に $L^1(\mu )$ と書く。

積分の基本性質

可積分関数 $f,g$ と定数 $c$ に対し、

$${\int }_X(f+g)d\mu ={\int }_{X}fd\mu +{\int }_{X}gd\mu$$

$${\int }_{X}cfd\mu =c{\int }_{X}fd\mu$$

$$f\le g\text{ a.e.}\Rightarrow {\int }_{X}fd\mu \le {\int }_{X}gd\mu$$

$$\left|{\int }_{X}fd\mu \right|\le {\int }_X|f|d\mu$$

ここで「a.e.」（almost everywhere）は「測度 0 の集合を除いて」の意味である。

集合上の積分

可測集合 $A\in \mathcal{F}$ 上の積分は

$${\int }_{A}fd\mu ={\int }_{X}f{\chi }_{A}d\mu$$

と定義する。$\{A_n\}$ が互いに素な可測集合の列ならば、

$${\int }_{{\bigcup }_n{A}_n}fd\mu =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{A_n}fd\mu$$

が成り立つ（可算加法性）。