ファトゥの補題はなぜ不等号どまりなのか - 質量が逃げる例で見る

非負可測関数の列に対して、下極限と積分のあいだにはいつでも次の不等号が立ちます^[1]。

$${\int }_X\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_{n}d\mu \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{f}_{n}d\mu$$

収束も単調性も仮定しません。非負であることだけ。そのぶん結論は等号ではなく、片側の不等号にとどまります^[3]。

向きを覚えるこつは、積分のほうが大きいと考えることです。極限をとると質量が逃げるので、先に極限をとった左辺のほうが小さくなる。

下極限がしていること

$\mathrm{liminf}$ は各点で「最終的に下回らない値」を拾います。番号 $n$ から先の下限をとり、$n$ を大きくしていったときの上限。

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_n=\underset{n\ge 1}{\sup }\underset{k\ge n}{\inf }{f}_k$$

内側の ${\inf }_{k\ge n}{f}_k$ は $n$ について増加します。証明の骨格は、この増加列に単調収束定理を当てるところ^[2]。

証明

$g_n={\inf }_{k\ge n}{f}_k$ と置きます。非負可測で、$n$ について増加し、各点で $\mathrm{liminf}{f}_n$ に収束する^[1]。

単調収束定理から左辺が書き換わります。

$${\int }_X\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_{n}d\mu =\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{g}_{n}d\mu$$

いっぽう $g_n\le f_k$ が $k\ge n$ のすべてで成り立つので、積分の単調性から次が出ます。

$${\int }_X{g}_{n}d\mu \le \underset{k\ge n}{\inf }{\int }_X{f}_{k}d\mu$$

右辺は $n$ について増加するので、極限をとると ${\mathrm{liminf}}_n\int f_n$ そのもの。2 つを並べると結論が出ます^[4]。

証明で使ったのは単調収束定理と単調性だけです。逆に、ファトゥの補題から単調収束定理を導き直すこともできます。

等号にならない例

不等号が厳密になる例はいくらでも作れます^[3]。よく使われるのは、区間を行き来する列。

$[0,2]$ の上で、偶数番目は ${\chi }_{[0,1]}$、奇数番目は ${\chi }_{[1,2]}$ とします。どの点でも $\mathrm{liminf}$ は $0$ です。

$${\int }_0^2\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_{n}d\lambda =0,\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_0^2{f}_{n}d\lambda =1$$

質量 $1$ が左右に行き来し続けるので、各点で見ると必ず $0$ に落ちる瞬間がある。それでも積分は $1$ を保ちます。

背の高いスパイク $n{\chi }_{(0,1/n)}$ や、平べったい山 $(1/n){\chi }_{[0,n]}$ でも同じことが起きます^[1]。どれも積分が $1$ のまま、各点極限が $0$。

例：級数に当てる

$\mathbb{N}$ に数え上げ測度を入れると、積分が級数になります。ファトゥの補題はそのまま級数の主張に読み替えられる。

$$\sum _{k=1}^{\infty }\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{a}_{n,k}\le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\sum _{k=1}^{\infty }{a}_{n,k},a_{n,k}\ge 0$$

行ごとに $1$ が右へずれていく配列で、厳密な不等号が出ます。$a_{n,k}$ を $k=n$ のときだけ $1$、それ以外は $0$ とする。

各列 $k$ を固定すると、$n$ を大きくすれば $0$ が続くので下極限は $0$。左辺は $0$ です。ところが各行の和はいつも $1$ なので、右辺は $1$ になります。

非負性を外すと補題そのものが崩れる

不等号すら成り立たなくなる例があります^[3]。$f_n=-\frac{1}{n}{\chi }_{[n,2n]}$ とします。

この列は $0$ に一様収束するので $\mathrm{liminf}{f}_n=0$、左辺は $0$。ところが各 $f_n$ の積分は $-1$ で、右辺も $-1$ です。

$$0={\int }_X\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{f}_{n}d\mu \nleqq -1=\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{f}_{n}d\mu$$

不等号の向きが逆になっています。負の側へ質量が逃げる道をふさぐ役を、非負性が担っている。

下から押さえれば非負でなくてよい

非負性は、可積分関数で下から押さえる条件に置き換えられます^[1]。

可積分な $g$ があって $f_n\ge -g$ がすべての $n$ で成り立てば、もとの不等号が復活します。$f_n+g\ge 0$ にファトゥを当てて、両辺から $\int g$ を引くだけ。

先の反例では $-\frac{1}{n}{\chi }_{[n,2n]}$ を下から押さえる可積分関数がありません。だから救えない。

逆向きのファトゥ

上から押さえると、不等号の向きが逆のものが出ます^[1]。

可積分な $g$ があって $f_n\le g$ がすべての $n$ で成り立つとき、次が成り立ちます。

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\int }_X{f}_{n}d\mu \le {\int }_X\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{f}_{n}d\mu$$

$g-f_n\ge 0$ にもとのファトゥを当て、$\mathrm{liminf}(g-f_n)=g-\mathrm{limsup}{f}_n$ を使って移項したもの。

上下から同時に押さえると、$\mathrm{liminf}$ と $\mathrm{limsup}$ が挟み撃ちになります。$f_n$ が各点収束していれば両者が一致し、積分の極限が確定する。これが優収束定理の中身です。

測度収束でも成り立つ

各点収束を測度収束に替えても、不等号は生き残ります^[1]。

証明は部分列をとることで進みます。$\mathrm{liminf}\int f_n$ を実現する部分列を選び、そこからさらに各点収束する部分列を抜き出して、もとのファトゥを当てる。

可積分性の判定に使う

ファトゥの補題は、極限関数の可積分性を言うのによく使われます。

$f_n\to f$ が a.e. で成り立ち、$\int |f_n|d\mu \le M$ がすべての $n$ で成り立つとします。$|f_n|\ge 0$ にファトゥを当てると次が出る。

$${\int }_X|f|d\mu \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X|f_n|d\mu \le M$$

$f$ が可積分だと分かります。値そのものが $M$ に届くかどうかは別として、有限であることは言えました。

確率での言い方

非負確率変数 $X_n$ と部分 σ 加法族 $\mathcal{G}$ について、条件付き期待値でも同じ形が成り立ちます^[1]。

$$E\left[\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{X}_n\right|\mathcal{G}]\le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}E[X_n\mid \mathcal{G}]\text{a.s.}$$

不等号が「ほとんど確実に」成り立つ、という形になるところが違いです。積分の側の主張がそのまま移っています。

よくある誤り

参考文献