可積分な蓋がひとつあればいい、ルベーグの優収束定理

可測関数列 $f_{n}$ が a.e. で $f$ に各点収束し、すべての $n$ について $∣ f_{n} ∣ \leq g$ を満たす可積分な $g$ があるとします^[1]。このとき $f$ も可積分で、極限と積分が入れ替わります。

$n \to \infty lim \int_{X} f_{n} d μ = \int_{X} f d μ$

単調性も一様収束も要りません。上から可積分な蓋をひとつかぶせる、それだけ^[2]。

蓋の役目は、質量の逃げ場をふさぐこと。逃げ道は「背が伸びる」「横に広がる」「横へ走る」の 3 通りで、 $g$ が可積分ならどれも封じられます。

証明はファトゥを 2 回

$∣ f ∣ \leq g$ が極限でも成り立つので、 $f$ は可積分です。ここから上下に押さえます^[4]。

$g + f_{n} \geq 0$ にファトゥの補題を当てると、下側の不等号が出ます。

$\int_{X} g d μ + \int_{X} f d μ \leq \int_{X} g d μ + n \to \infty lim inf \int_{X} f_{n} d μ$

$\int g$ が有限なので両辺から引けて、 $\int f \leq lim inf \int f_{n}$ 。

つぎに $g - f_{n} \geq 0$ に当てます。 $lim inf (g - f_{n}) = g - lim sup f_{n}$ なので、同じ手順で上側が出る。

$n \to \infty lim sup \int_{X} f_{n} d μ \leq \int_{X} f d μ$

2 つを並べると $lim sup \leq \int f \leq lim inf$ となり、 $lim inf$ と $lim sup$ が一致します。極限が存在して $\int f$ に等しい。

$\int g$ が有限であることを 2 度使いました。無限大だと引き算ができず、議論が止まる。

証明で効いているのは、蓋が可積分であることのほうです。

$∣ f_{n} ∣ \leq g$ という形だけでは足りない。 $\int g < \infty$ でないと両辺から引けない。

流れをまとめると 3 手です。

g + f_n にファトゥを当てて下から押さえる

g - f_n にファトゥを当てて上から押さえる

liminf と limsup が挟まれて一致する

結論はもっと強い

実は $L^{1}$ の意味でも収束します^[2]。 $∣ f_{n} - f ∣ \leq 2 g$ に逆向きファトゥを当てると出る。

$n \to \infty lim \int_{X} ∣ f_{n} - f ∣ d μ = 0$

積分の値が一致するだけでなく、差の積分そのものが $0$ に落ちます。 $L^{1}$ ノルムでの収束、という言い方をする^[1]。

こちらのほうが強い主張。積分の値の一致は、絶対値を外して三角不等式を使えばすぐ従います。

蓋がないと崩れる

背の高いスパイクが代表例です^[1]。 $f_{n} = n χ_{(0, 1/ n]}$ とすると、各点で $0$ に収束するのに積分はずっと $1$ 。

この列を上から押さえる可積分関数を探すと、行き止まりになります。 $sup_{n} f_{n}$ は $x \in (1/ (k + 1), 1/ k]$ で $k$ 程度の値をとり、おおよそ $1/ x$ 。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d λ = \infty$

いちばん小さい蓋がすでに可積分でないので、どんな $g$ を持ってきても間に合いません。

有界収束定理

測度が有限なら、蓋を探す手間が消えます^[1]。 $μ (X) < \infty$ で $∣ f_{n} ∣ \leq M$ が一様に成り立てば、定数関数 $M$ が可積分な蓋になる。

$μ (X) < \infty, ∣ f_{n} ∣ \leq M ⟹ n \to \infty lim \int_{X} f_{n} d μ = \int_{X} f d μ$

有限区間の上で一様有界な列を扱うときは、これで足りる。 $μ (X) = \infty$ だと定数関数が可積分にならないので、この近道は使えません。

優収束定理

蓋 $g$ を自分で見つける。測度が無限でも使える。いちばん適用範囲が広い

有界収束定理

測度が有限で一様有界。蓋は定数でよいので探す手間がない。そのぶん条件がきつい

積分記号の下で微分する

応用でいちばん出番が多いのはこの形。 $F (t) = \int_{X} f (t, x) d μ (x)$ を $t$ で微分したい場面。

$\partial f / \partial t$ が存在し、 $t$ によらない可積分な $g$ で $∣ \partial f / \partial t ∣ \leq g$ と押さえられるとします。すると微分と積分を入れ替えられます。

$\frac{d}{d t} \int_{X} f (t, x) d μ (x) = \int_{X} \frac{\partial f}{\partial t} (t, x) d μ (x)$

証明は差分商に優収束定理を当てるだけ。平均値の定理から差分商が $g$ で押さえられ、 $t$ を動かす列に沿って極限をとります。

連続性も同じ形で出ます。 $f (t, x)$ が $t$ について連続で、可積分な $g$ で押さえられていれば、 $F$ は連続になる。

例：パラメータ微分を実際にやる

$F (t) = \int_{0}^{1} e^{- t x^{2}} d x$ を $t > 0$ で微分します。被積分関数の $t$ 微分は $- x^{2} e^{- t x^{2}}$ 。

$0 \leq x \leq 1$ と $t > 0$ の範囲で $∣ - x^{2} e^{- t x^{2}} ∣ \leq 1$ なので、定数関数 $1$ が蓋になります。区間が有限なので可積分。

$F^{'} (t) = - \int_{0}^{1} x^{2} e^{- t x^{2}} d x$

蓋がひとつ見つかっただけで、微分の順序交換が正当化される。 $t$ の範囲を $t > 0$ に制限したのは、蓋を $t$ によらずとるためです。

例：級数の項別積分

$\sum_{n} \int ∣ u_{n} ∣ d μ < \infty$ なら、和と積分を入れ替えてよい。部分和を $f_{n}$ とし、 $g = \sum_{n} ∣ u_{n} ∣$ を蓋にとる。

$g$ の可積分性は、非負級数の項別積分から出ます。 $\int g d μ = \sum_{n} \int ∣ u_{n} ∣ d μ < \infty$ 。

$\int_{X} n = 1 \sum \infty u_{n} d μ = n = 1 \sum \infty \int_{X} u_{n} d μ$

符号が混ざる級数では、この絶対収束の条件が要ります。非負なら条件なしで交換できたのとは対照的。

もっと弱い条件でも成り立つ

蓋の存在は十分条件であって、必要ではありません。必要十分の形はヴィタリの収束定理が与えます^[3]。

測度が有限のとき、 $f_{n} \to f$ が $L^{1}$ で成り立つことと、 $f_{n}$ が測度収束かつ一様可積分であることが同値になる。

一様可積分とは、大きい値の部分の寄与を一斉に小さくできること^[3]。

$M \to \infty lim n sup \int_{{∣ f_{n} ∣ > M}} ∣ f_{n} ∣ d μ = 0$

可積分な蓋があれば一様可積分になりますが、逆は成り立ちません。蓋のない列でも $L^{1}$ 収束することがあります。

定理	要る仮定
単調収束定理	非負で増加
ファトゥの補題	非負のみ
優収束定理	可積分な蓋
ヴィタリの収束定理	測度収束と一様可積分

仮定は a.e. でよい

収束も優関数による評価も、測度 $0$ の集合を除いて成り立てば足ります^[2]。

各点収束を測度収束に替えても結論は変わりません^[1]。部分列をとる議論で同じところに着く。

極限 $f$ の可測性は、完備な測度空間なら自動的です。完備でないときは、 $f$ が可測であることを仮定に加えます^[2]。

$f_{n} = n χ_{(0, 1/ n]}$ に優収束定理を使えないのはなぜですか。

各点収束しないから
すべての $f_{n}$ を上から押さえる可積分関数がないから
$f_{n}$ が可測でないから

__RESULT__

この列は各点で $0$ に収束し、各項は可測です。ところが上限をとると $1/ x$ 程度の関数になり、 $(0, 1]$ 上で積分が発散する。蓋の候補がすでに可積分でないので、定理の仮定を満たしません。

よくある誤り

蓋が

n

に依存してよいと思う。

g

は

n

によらずひとつでなければなりません。

一様有界なら常に使えると思う。測度が無限だと定数関数が可積分になりません。

結論が積分の値の一致だけだと思う。

L^{1}

収束というもっと強い形が出ます。

蓋がなければ交換できないと思い込む。ヴィタリの定理のほうが条件は弱く、成り立つ場合があります。

符号が混ざる級数を条件なしで項別積分する。絶対収束の確認が要ります。

パラメータ微分で蓋が

t

に依存してよいと考える。

t

の範囲全体で共通の

g

が要ります。

\int g

が無限でもよいと思う。証明で両辺から引く操作ができなくなります。

参考文献

Dominated convergence theorem. Wikipedia（英語）.

Satz von der majorisierten Konvergenz. Wikipedia（ドイツ語）.

Vitali convergence theorem. Wikipedia（英語）.

J. K. Hunter. *Measure Theory*. University of California at Davis, 2011.

各点収束していて、$n$ によらない可積分な $g$ で $|f_n| \le g$ と押さえられる。それだけで極限と積分が入れ替わります。ファトゥの補題を上下 2 回当てる証明を追い、結論が $L^1$ 収束というもっと強い形で出ることを見る。蓋が見つからない $n\chi_{(0,\,1/n]}$ の例、測度が有限なら定数で済む有界収束定理、積分記号の下での微分、そして必要十分に踏み込むヴィタリの収束定理まで。