可積分な蓋がひとつあればいい、ルベーグの優収束定理

可測関数列 $f_n$ が a.e. で $f$ に各点収束し、すべての $n$ について $|f_n|\le g$ を満たす可積分な $g$ があるとします^[1]。このとき $f$ も可積分で、極限と積分が入れ替わります。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu$$

単調性も一様収束も要りません。上から可積分な蓋をひとつかぶせる、それだけ^[2]。

蓋の役目は、質量の逃げ場をふさぐこと。逃げ道は「背が伸びる」「横に広がる」「横へ走る」の 3 通りで、$g$ が可積分ならどれも封じられます。

証明はファトゥを 2 回

$|f|\le g$ が極限でも成り立つので、$f$ は可積分です。ここから上下に押さえます^[4]。

$g+f_n\ge 0$ にファトゥの補題を当てると、下側の不等号が出ます。

$${\int }_{X}gd\mu +{\int }_{X}fd\mu \le {\int }_{X}gd\mu +\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{f}_{n}d\mu$$

$\int g$ が有限なので両辺から引けて、$\int f\le \mathrm{liminf}\int f_n$。

つぎに $g-f_n\ge 0$ に当てます。$\mathrm{liminf}(g-f_n)=g-\mathrm{limsup}{f}_n$ なので、同じ手順で上側が出る。

$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\int }_X{f}_{n}d\mu \le {\int }_{X}fd\mu$$

2 つを並べると $\mathrm{limsup}\le \int f\le \mathrm{liminf}$ となり、$\mathrm{liminf}$ と $\mathrm{limsup}$ が一致します。極限が存在して $\int f$ に等しい。

$\int g$ が有限であることを 2 度使いました。無限大だと引き算ができず、議論が止まる。

流れをまとめると 3 手です。

結論はもっと強い

実は $L^1$ の意味でも収束します^[2]。$|f_n-f|\le 2g$ に逆向きファトゥを当てると出る。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X|f_n-f|d\mu =0$$

積分の値が一致するだけでなく、差の積分そのものが $0$ に落ちます。$L^1$ ノルムでの収束、という言い方をする^[1]。

こちらのほうが強い主張。積分の値の一致は、絶対値を外して三角不等式を使えばすぐ従います。

蓋がないと崩れる

背の高いスパイクが代表例です^[1]。$f_n=n{\chi }_{(0,1/n]}$ とすると、各点で $0$ に収束するのに積分はずっと $1$。

この列を上から押さえる可積分関数を探すと、行き止まりになります。${\sup }_n{f}_n$ は $x\in (1/(k+1),1/k]$ で $k$ 程度の値をとり、おおよそ $1/x$。

$${\int }_0^1\frac{1}{x}d\lambda =\infty$$

いちばん小さい蓋がすでに可積分でないので、どんな $g$ を持ってきても間に合いません。

有界収束定理

測度が有限なら、蓋を探す手間が消えます^[1]。$\mu (X)<\infty$ で $|f_n|\le M$ が一様に成り立てば、定数関数 $M$ が可積分な蓋になる。

$$\mu (X)<\infty ,|f_n|\le M⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu$$

有限区間の上で一様有界な列を扱うときは、これで足りる。$\mu (X)=\infty$ だと定数関数が可積分にならないので、この近道は使えません。

積分記号の下で微分する

応用でいちばん出番が多いのはこの形。$F(t)={\int }_{X}f(t,x)d\mu (x)$ を $t$ で微分したい場面。

$\partial f/\partial t$ が存在し、$t$ によらない可積分な $g$ で $|\partial f/\partial t|\le g$ と押さえられるとします。すると微分と積分を入れ替えられます。

$$\frac{d}{dt}{\int }_{X}f(t,x)d\mu (x)={\int }_X\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)d\mu (x)$$

証明は差分商に優収束定理を当てるだけ。平均値の定理から差分商が $g$ で押さえられ、$t$ を動かす列に沿って極限をとります。

連続性も同じ形で出ます。$f(t,x)$ が $t$ について連続で、可積分な $g$ で押さえられていれば、$F$ は連続になる。

例：パラメータ微分を実際にやる

$F(t)={\int }_0^1{e}^{-t{x}^2}dx$ を $t>0$ で微分します。被積分関数の $t$ 微分は $-x^2{e}^{-t{x}^2}$。

$0\le x\le 1$ と $t>0$ の範囲で $|-x^2{e}^{-t{x}^2}|\le 1$ なので、定数関数 $1$ が蓋になります。区間が有限なので可積分。

$$F^{\prime }(t)=-{\int }_0^1{x}^2{e}^{-t{x}^2}dx$$

蓋がひとつ見つかっただけで、微分の順序交換が正当化される。$t$ の範囲を $t>0$ に制限したのは、蓋を $t$ によらずとるためです。

例：級数の項別積分

${\sum }_n\int |u_n|d\mu <\infty$ なら、和と積分を入れ替えてよい。部分和を $f_n$ とし、$g={\sum }_n|u_n|$ を蓋にとる。

$g$ の可積分性は、非負級数の項別積分から出ます。$\int gd\mu ={\sum }_n\int |u_n|d\mu <\infty$。

$${\int }_X\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}d\mu =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_X{u}_{n}d\mu$$

符号が混ざる級数では、この絶対収束の条件が要ります。非負なら条件なしで交換できたのとは対照的。

もっと弱い条件でも成り立つ

蓋の存在は十分条件であって、必要ではありません。必要十分の形はヴィタリの収束定理が与えます^[3]。

測度が有限のとき、$f_n\to f$ が $L^1$ で成り立つことと、$f_n$ が測度収束かつ一様可積分であることが同値になる。

一様可積分とは、大きい値の部分の寄与を一斉に小さくできること^[3]。

$$\underset{M\to \infty }{\lim }\underset{n}{\sup }{\int }_{\{|f_n|>M\}}|f_n|d\mu =0$$

可積分な蓋があれば一様可積分になりますが、逆は成り立ちません。蓋のない列でも $L^1$ 収束することがあります。

仮定は a.e. でよい

収束も優関数による評価も、測度 $0$ の集合を除いて成り立てば足ります^[2]。

各点収束を測度収束に替えても結論は変わりません^[1]。部分列をとる議論で同じところに着く。

極限 $f$ の可測性は、完備な測度空間なら自動的です。完備でないときは、$f$ が可測であることを仮定に加えます^[2]。

よくある誤り

参考文献