ルベーグの収束定理（優収束定理）

ルベーグの収束定理（優収束定理）は、可測関数列の積分と極限の交換を保証する最も実用的な定理である。可積分な優関数の存在を仮定することで、単調性を課さずに収束定理を得る。

定理の主張

$(X,\mathcal{F},\mu )$ を測度空間とし、$\{f_n\}$ を可測関数の列とする。次の 2 条件を仮定する：

• $f_n(x)\to f(x)$ a.e.（各点収束、または測度収束）
• 可積分関数 $g\ge 0$ が存在して $|f_n(x)|\le g(x)$ a.e.（優関数条件）

このとき $f$ と各 $f_n$ は可積分であり、

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu$$

が成り立つ。さらに ${\int }_X|f_n-f|d\mu \to 0$ も成り立つ（$L^1$ 収束）。

証明の概略

$|f_n|\le g$ より $|f|\le g$ a.e. なので、$f$ は可積分である。

$g+f_n\ge 0$ と $g-f_n\ge 0$ にファトゥの補題を適用する。

$${\int }_X(g+f)d\mu \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X(g+f_n)d\mu$$

$\int g<\infty$ を用いて整理すると、

$${\int }_{X}fd\mu \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X{f}_{n}d\mu$$

同様に $g-f_n$ に適用して、

$${\int }_X(-f)d\mu \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}{\int }_X(-f_n)d\mu$$

すなわち

$${\int }_{X}fd\mu \ge \underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{\int }_X{f}_{n}d\mu$$

2 つの不等式から $\lim \int f_n=\int f$ が従う。

$L^1$ 収束は $|f_n-f|\le 2g$ に優収束定理自身を適用して得られる。

優関数条件の必要性

優関数条件は省略できない。ファトゥの補題の反例で見たように、$f_n=n{\chi }_{(0,1/n)}$ は $f_n\to 0$ a.e. だが $\int f_n=1\nrightarrow 0$ である。この列を支配する可積分関数は存在しない。

有界収束定理

優収束定理の特別な場合として、有界収束定理がある。

$\mu (X)<\infty$（有限測度空間）とし、$|f_n|\le M$ が一様に成り立つとする。定数関数 $g=M$ は $\int g=M\cdot \mu (X)<\infty$ で可積分なので、優収束定理が適用できる。

$$f_n\to f\text{ a.e.},|f_n|\le M\Rightarrow {\int }_X{f}_{n}d\mu \to {\int }_{X}fd\mu$$

パラメータ付き積分への応用

優収束定理は、パラメータに関する積分の連続性や微分可能性を示すのに有用である。

$F(t)={\int }_{X}f(x,t)d\mu (x)$ とする。$f(x,t)$ が $t$ について連続で、$|f(x,t)|\le g(x)$（$g$ は可積分）ならば、$F(t)$ は連続である。

また、$\partial f/\partial t$ が存在し $|\partial f/\partial t|\le h(x)$（$h$ は可積分）ならば、

$$\frac{d}{dt}F(t)={\int }_X\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)d\mu (x)$$

が成り立つ。積分記号下での微分が正当化される。

測度収束の場合

各点収束を測度収束に弱めても定理は成り立つ。$f_n\to f$ in measure かつ $|f_n|\le g$ a.e.（$g$ 可積分）ならば、$\int f_n\to \int f$ である。

これは、測度収束する列から a.e. 収束する部分列が取れることを用いて証明される。