増える一方なら積分もついてくる（単調収束定理とベッポ・レヴィ）

非負可測関数の列が下から増えていくとき、積分と極限は交換できます^[1]。

$$0\le f_1\le f_2\le \cdots ,f=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu ={\int }_{X}fd\mu$$

一様収束も、測度が有限であることも要りません。増加していることと非負であること、その 2 つだけ^[3]。

極限 $f$ の可測性は自動的に付いてきます。増加列の各点極限は上限に等しく、可算個の上限は可測性を保つから。

証明

片方の不等号は簡単。$f_n\le f$ から $\int f_n\le \int f$ が出て、左辺は増加列なので極限が存在します。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu \le {\int }_{X}fd\mu$$

逆向きが本体です。$0\le \phi \le f$ を満たす単関数 $\phi$ を任意にとり、$0<t<1$ を固定します^[4]。

$$A_n=\{x\in X:f_n(x)\ge t\phi (x)\}$$

$f_n$ が増加するので $A_n$ も増加し、その合併は $X$ 全体になります。$t<1$ としたことがここで効いていて、$\phi (x)>0$ の点でも $f_n(x)$ がいつか $t\phi (x)$ を越える。

$${\int }_X{f}_{n}d\mu \ge {\int }_{A_n}{f}_{n}d\mu \ge t{\int }_{A_n}\phi d\mu$$

$\phi =\sum c_i{\chi }_{E_i}$ と書くと、右端は $t\sum c_i\mu (E_i\cap A_n)$ です。測度の下からの連続性から、$n\to \infty$ で $t{\int }_X\phi d\mu$ に収束する。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu \ge t{\int }_X\phi d\mu$$

$t$ は $1$ にいくらでも近づけられるので $t$ を外せます。さらに $\phi$ は $f$ 以下の単関数として任意だったので、上限をとれば ${\int }_{X}fd\mu$ が右辺に立つ。

これで両向きの不等号がそろいました。$t<1$ を挟むひと工夫が、証明のかなめ。

増加でないと何が起きるか

条件を落とすと、あっさり壊れます。壊れ方には型があり、どれも「質量が逃げる」という一言でまとめられます^[4]。

増加列ではこの逃げ方が封じられます。いったん高くなった値は下がれないので、質量がどこかへ抜けることがない。

減少列では別の条件が要る

減っていく列については、そのままでは成り立ちません。$f_n={\chi }_{[n,\infty )}$ は各点で $0$ に落ちるのに、積分はどれも $\infty$^[2]。

救うには最初の関数が可積分であればよい。$\int f_{1}d\mu <\infty$ を足すと、減少列でも交換できます^[2]。

上の反例では $\int f_1=\infty$ なので、条件が満たされていません。有限の量から減らしていくぶんには、逃げ場がなくなります。

非負性も外せない

非負という条件も落とせません。$f_n=-{\chi }_{[n,\infty )}$ は増加列で、各点で $0$ に収束します^[3]。

ところが積分はすべて $-\infty$ で、極限の積分 $0$ とは合いません。負の側へ質量が逃げているから。

非負性は、値が下へ抜けていく道をふさぐ役をしています。

a.e. まで緩められる

仮定は測度 $0$ の集合を除いて成り立てば足ります^[2]。単調性も収束も a.e. でよい。

積分は測度 $0$ の差を見ないので、例外集合の上で何が起きていても結論が変わらないからです。

厳密な単調性も要りません。$f_n\to f$ が a.e. で成り立ち、$f_n\le f$ が各 $n$ で a.e. に成り立てば、同じ結論が出ます^[1]。

級数の項別積分

非負関数の級数に当てると、和と積分を入れ替えられます^[3]。部分和が増加列になるから。

$${\int }_X\sum _{n=1}^{\infty }{u}_{n}d\mu =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_X{u}_{n}d\mu ,u_n\ge 0$$

この形をベッポ・レヴィの定理と呼びます^[2]。非負でありさえすれば、収束を確かめずに交換してよい。

両辺が同時に $\infty$ になることも許されます。片方が有限なら他方も有限、という判定に使える。

例：積分の可算加法性

互いに交わらない可測集合 $A_1,A_2,\dots$ について、積分が可算加法的になることが従います。

$${\int }_{{\bigcup }_n{A}_n}fd\mu ={\int }_{X}f\sum _{n=1}^{\infty }{\chi }_{A_n}d\mu =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_{A_n}fd\mu$$

指示関数の和が合併の指示関数になることと、級数版の定理を並べただけ。測度の可算加法性が積分に持ち上がった形です。

例：リーマン積分では成り立たない

$[0,1]$ の有理数を $q_1,q_2,\dots$ と並べ、$f_n$ を最初の $n$ 個の点でだけ $1$ をとる関数とします^[3]。

各 $f_n$ は有限個の点を除いて $0$ なので、リーマン積分できて値は $0$。しかも増加列で、有界です。

ところが極限はディリクレ関数 ${\chi }_{\mathbb{Q}}$ で、リーマン積分できません。増加する有界なリーマン可積分列の極限が、リーマン可積分でなくなる^[4]。

ルベーグ積分なら極限も可測で、積分は $0$。定理の結論もそのまま成り立ちます。極限に対して閉じているかどうかが、2 つの積分を分けている。

例：非負の二重級数は足す順序を変えてよい

$a_{ij}\ge 0$ の二重級数について、和の順序を入れ替えられます。$\mathbb{N}$ に数え上げ測度を入れて級数版を当てるだけ。

$$\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{ij}=\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{i=1}^{\infty }{a}_{ij}$$

$u_i(j)=a_{ij}$ とおくと左辺は ${\sum }_i\int u_{i}d\mu$、右辺は $\int {\sum }_i{u}_{i}d\mu$ にあたります。非負なので交換が通る。

符号が混ざると話が変わります。条件収束する級数は並べ替えで和が動くので、非負という条件は飾りではありません。

例：$x^{-\alpha }$ の可積分性

$f(x)=x^{-\alpha }$ を $(0,1]$ で考えます。$f_n=\min (f,n)$ と切り落とすと、非負の増加列で $f$ に収束する。

$${\int }_0^1{f}_{n}d\lambda \nearrow {\int }_0^1{x}^{-\alpha }d\lambda$$

各 $f_n$ は有界なので計算できて、極限は $\alpha <1$ のとき $1/(1-\alpha )$、$\alpha \ge 1$ のとき $\infty$ になります。

無限大に発散する関数の積分を、有界な関数の積分の極限として押さえる。単調収束定理のいちばん素朴な使い道です。

よくある誤り

参考文献