単調収束定理

単調収束定理は、ルベーグ積分における最も基本的な収束定理である。非負可測関数の単調増加列に対して、積分と極限の交換を保証する。

定理の主張

$(X,\mathcal{F},\mu )$ を測度空間とする。$\{f_n\}$ を非負可測関数の列で、各点で単調増加するとする：

$$0\le f_1(x)\le f_2(x)\le \cdots ,f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)$$

このとき $f$ は可測であり、

$${\int }_{X}fd\mu =\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu$$

が成り立つ。

右辺の極限は単調増加列の極限なので、$[0,\infty ]$ 内に必ず存在する。定理は、この極限が $f$ の積分に一致することを主張している。

証明の概略

まず、$f_n\le f$ から $\int f_n\le \int f$ である。したがって

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu \le {\int }_{X}fd\mu$$

は明らかである。

逆向きの不等式を示す。任意の単関数 $\phi$ で $0\le \phi \le f$ を満たすものをとる。$0<c<1$ に対し、

$$A_n=\{x:f_n(x)\ge c\phi (x)\}$$

とおく。$\{A_n\}$ は増大列で ${\bigcup }_n{A}_n=X$ である（$f_n\nearrow f\ge \phi$ より）。

${\int }_{A_n}{f}_n\ge c{\int }_{A_n}\phi$ であり、測度の連続性から

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu \ge \underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{A_n}{f}_{n}d\mu \ge c\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{A_n}\phi d\mu =c{\int }_X\phi d\mu$$

$c\to 1$ とし、$\phi$ について上限をとれば逆向きの不等式が得られる。

級数への応用

単調収束定理から、非負可測関数の級数について

$${\int }_X\sum _{n=1}^{\infty }{f}_{n}d\mu =\sum _{n=1}^{\infty }{\int }_X{f}_{n}d\mu$$

が成り立つ。部分和 $S_N={\sum }_{n=1}^N{f}_n$ は単調増加列をなすので、単調収束定理を直接適用できる。

この等式は積分と無限和の交換を正当化するものであり、解析学で頻繁に用いられる。

単調減少列への拡張

単調減少列に対しても類似の結果が成り立つが、可積分性の仮定が必要である。

$f_1\ge f_2\ge \cdots \ge 0$ かつ ${\int }_X{f}_{1}d\mu <\infty$ のとき、

$${\int }_X\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_{n}d\mu =\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_X{f}_{n}d\mu$$

これは $g_n=f_1-f_n$ に単調収束定理を適用することで証明できる。

$\int f_1<\infty$ の仮定は本質的である。たとえば $f_n={\chi }_{[n,\infty )}$ は各点で 0 に減少するが、$\int f_n=\infty$ である。

リーマン積分との関係

単調収束定理は、リーマン積分では一般に成り立たない。たとえば $[0,1]$ 上で有理点の特性関数を $f_n(x)={\chi }_{\{q_1,\dots ,q_n\}}(x)$（$q_i$ は有理数の列挙）とすると、$f_n\nearrow {\chi }_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}$ だが、極限関数はリーマン積分可能でない。

ルベーグ積分では $\int f_n=0$（有限集合の測度は 0）であり、極限関数の積分も $\int {\chi }_{\mathbb{Q}}=0$（可算集合の測度は 0）となって、定理は正しく成り立つ。