リーマン積分とルベーグ積分の関係

リーマン積分とルベーグ積分は、ともに関数の「面積」を定義するが、その方法と適用範囲は異なる。リーマン積分可能な関数はルベーグ積分可能であり、両者の値は一致する。しかしルベーグ積分はより広いクラスの関数に対して定義され、極限操作との相性も良い。

リーマン積分の復習

有界閉区間 $[a,b]$ 上の有界関数 $f$ に対し、リーマン積分は区間の分割と上和・下和を用いて定義される。

分割 $P:a=x_0<x_1<\cdots <x_n=b$ に対し、

$$U(f,P)=\sum _{i=1}^n\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\sup }f(x)\cdot (x_i-x_{i-1})$$

$$L(f,P)=\sum _{i=1}^n\underset{x\in [x_{i-1},x_i]}{\inf }f(x)\cdot (x_i-x_{i-1})$$

上積分と下積分が一致するとき、$f$ はリーマン積分可能といい、その共通値をリーマン積分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ とする。

リーマン可積分性の特徴づけ

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ が有界のとき、$f$ がリーマン積分可能であることと、$f$ の不連続点全体が測度 0 であることは同値である（ルベーグの判定条件）。

この定理により、連続関数、区分的連続関数、単調関数などがリーマン積分可能であることが直ちに従う。

両積分の一致

$f:[a,b]\to \mathbb{R}$ がリーマン積分可能ならば、$f$ はルベーグ積分可能であり、

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{[a,b]}fd\lambda$$

が成り立つ。ここで左辺はリーマン積分、右辺はルベーグ測度に関するルベーグ積分である。

証明は、リーマン和がルベーグ積分における単関数の積分の近似になっていることを用いる。

ルベーグ積分可能だがリーマン積分不可能な例

$f={\chi }_{\mathbb{Q}\cap [0,1]}$（有理点で 1、無理点で 0）を考える。

$f$ の不連続点は $[0,1]$ 全体である。任意の点で、近傍に有理点と無理点の両方が存在するため、$f$ はどの点でも連続でない。したがってリーマン積分可能でない。

一方、$\mathbb{Q}\cap [0,1]$ は可算集合なのでルベーグ測度 0 である。したがって

$${\int }_{[0,1]}{\chi }_{\mathbb{Q}}d\lambda =0$$

である。$f$ はルベーグ積分可能で、積分値は 0 である。

広義リーマン積分との関係

$[0,\infty )$ 上の非負関数 $f$ に対する広義リーマン積分

$${\int }_0^{\infty }f(x)dx=\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_0^{R}f(x)dx$$

も、$f$ がルベーグ積分可能ならばルベーグ積分と一致する。

ただし、広義リーマン積分は条件収束を許すが、ルベーグ積分は絶対収束を要求する点が異なる。たとえば

$${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$$

は広義リーマン積分として存在する（条件収束）が、$|\sin x/x|$ はルベーグ積分可能でないので、ルベーグ積分の意味では積分が定義されない。

極限操作における優位性

ルベーグ積分の真価は極限操作との相性にある。

関数列 $f_n\to f$ の積分について、リーマン積分では一様収束を仮定しないと $\int f_n\to \int f$ は保証されない。ルベーグ積分では、単調収束定理や優収束定理により、より弱い仮定で積分と極限の交換が可能になる。

この性質は、フーリエ解析、確率論、偏微分方程式論など、現代解析学の多くの分野で本質的に用いられる。