リーマン積分ができる条件は不連続点の測度で決まる｜測度論

$[a,b]$ の上でリーマン積分できる関数は、必ずルベーグ積分もできて、値も一致します^[1]。

$$f\text{ がリーマン可積分}⟹f\in L^1([a,b]),(\mathrm{R}){\int }_a^{b}fdx=(\mathrm{L}){\int }_a^{b}fd\lambda$$

逆は成り立ちません。ルベーグ積分できてもリーマン積分できない関数がいくらでもある^[3]。

つまりルベーグ積分はリーマン積分の拡張。計算の結果が変わることはなく、扱える関数の範囲だけが広がる。

リーマン可積分になる条件

どこまで広がるのかは、はっきり書けます。ルベーグとヴィタリが 1907 年に独立に示した判定条件^[2]。

有界な関数 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ がリーマン可積分であることと、$f$ の不連続点全体の集合がルベーグ測度 $0$ であることは同値になります。

条件は 2 つです。有界であること、そして不連続点が測度 $0$ しかないこと。どちらが欠けてもリーマン積分できません。

上下のダルブー和で挟む手続きを思い出すと、条件の意味が見えてくる。細分を細かくしたとき、上和と下和の差が残るのは関数が振れている場所です。

振れている場所が測度 $0$ しかなければ、差の総量は $0$ に落ちる。振れが正の測度にわたって残ると、差は消えません。

例：ディリクレ関数

${\chi }_{\mathbb{Q}}$ を $[0,1]$ で考えます。どの区間にも有理数と無理数が両方いるので、上和はいつも $1$、下和はいつも $0$^[3]。

細分をどれだけ細かくしても差が $1$ のまま残り、リーマン積分できません。不連続点の集合は $[0,1]$ 全体で、測度は $1$。判定条件を満たしていない。

ルベーグ積分なら $\lambda (\mathbb{Q}\cap [0,1])=0$ から値は $0$ です。可算個の点の寄与が測度で消える。

ここで言葉に気をつけたいところがあります。${\chi }_{\mathbb{Q}}$ は「ほとんどいたるところ連続」ではありません^[1]。連続な関数と a.e. で等しいだけ。

「ほとんどいたるところ連続」は不連続点が測度 $0$ という意味で、「連続関数と a.e. で等しい」とは別の条件です。リーマン可積分の判定に効くのは前者のほう。

例：トマエ関数とカントール集合

不連続点が無限個あってもリーマン可積分になる例を並べます。

トマエ関数は、既約分数 $p/q$ で $1/q$、無理数で $0$ をとります。不連続点は有理数全体で可算個、測度は $0$。有界でもあるので、リーマン可積分です。

積分の値は $0$。連続点の集合が無理数全体で、そこでは値が $0$ だからです。

もっと極端な例もあります。測度 $0$ のカントール集合 $C$ の指示関数 ${\chi }_C$ は、$C$ の各点で不連続^[1]。$C$ は非可算なので、不連続点は非可算個。

それでも $\lambda (C)=0$ なので判定条件を満たし、リーマン可積分になります。不連続点の個数ではなく測度が問題だ、という点がはっきり出る例。

逆に、抜く幅を縮めて作った測度 $1/2$ の太ったカントール集合を使うと、$\chi$ の不連続点の測度が $1/2$ になってリーマン積分できません。同じ手順で作った集合なのに、測度の違いだけで結果が分かれます。

広義積分では逆転が起きる

ここまでは有界閉区間の話でした。広義リーマン積分まで広げると、包含関係が崩れます^[4]。

$${\int }_0^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}$$

この積分は広義リーマン積分として収束します。ところが絶対値をとると発散する^[4]。

$${\int }_0^{\infty }\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx=\infty$$

ルベーグ積分の可積分性は $\int |f|<\infty$ で定義されていました。だから $\sin x/x$ は $(0,\infty )$ でルベーグ可積分にならない。

正の部分と負の部分が打ち消し合って収束する、という条件収束の型です。ルベーグ積分は打ち消し合いに頼らない定義なので、この型を拾えません。

条件収束する広義積分をルベーグの枠で扱いたいときは、区間を切って極限をとる形に書き直します。${\lim }_{T\to \infty }{\int }_0^T$ と書けば、各段はルベーグ積分として意味を持つ。

極限をとると差がはっきりする

2 つの積分の差がいちばん出るのは、関数列の極限を扱うところです^[3]。

$[0,1]$ の有理数を $q_1,q_2,\dots$ と並べ、$f_n$ を最初の $n$ 個の点でだけ $1$ をとる関数とします。各 $f_n$ はリーマン可積分で積分は $0$、しかも増加列で有界。

ところが極限はディリクレ関数で、リーマン積分できません。増加する有界なリーマン可積分列の極限が、枠の外へ出てしまう。

ルベーグ積分ならこの心配がありません。可測関数の族が各点極限で閉じているので、極限も枠の中に残る。単調収束定理も優収束定理も、この閉じ方の上に立っている。

どちらが広いか

有界閉区間に限れば、ルベーグ積分のほうが真に広い。広義積分まで含めると、どちらにも相手が扱えない関数があります。

${\chi }_{\mathbb{Q}}$ はルベーグだけが扱えます。$\sin x/x$ を $(0,\infty )$ で見ると、広義リーマンだけが扱える。

両方を含む枠組みも作られていて、ヘンストック・クルツヴァイル積分がそのひとつ^[4]。ただし収束定理の扱いやすさでは、ルベーグ積分に分があります。

quiz で確かめる

よくある誤り

参考文献