「辺は区間でなくてよい」から始める積 σ 加法族と積測度

2 つの可測空間 $(X,\mathcal{A})$ と $(Y,\mathcal{B})$ から、直積の上の可測空間を作ります^[1]。

出発点は可測長方形です。$A\in \mathcal{A}$ と $B\in \mathcal{B}$ をとって $A\times B$ の形に書ける集合のこと。

$$\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}=\sigma (\{A\times B:A\in \mathcal{A},B\in \mathcal{B}\})$$

これを積 σ 加法族といいます。名前に長方形とありますが、辺は区間である必要がありません^[4]。

$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ でボレル集合族をとると、$\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$ も可測長方形です。辺がどんな可測集合でもかまわない。

長方形の族は σ 加法族ではない

可測長方形を集めただけでは σ 加法族になりません。2 つの長方形の合併が長方形にならないから。

そこで生成をとります。可算合併と補集合を許すと、階段状の領域も、曲線で囲まれた領域も入ってくる。

切り口はいつも可測になる

$E\subseteq X\times Y$ を積 σ 加法族の元とします。$x$ を固定して縦に切った切り口を $E_x$、$y$ を固定して横に切った切り口を $E^y$ と書きます^[3]。

$$E_x=\{y\in Y:(x,y)\in E\},E^y=\{x\in X:(x,y)\in E\}$$

$E$ が積 σ 加法族に属していれば、$E_x$ は $\mathcal{B}$ に、$E^y$ は $\mathcal{A}$ に属します^[4]。

証明は生成の議論です。切り口をとる操作が補集合とも可算合併とも交換するので、切り口が可測になる集合の族はそれ自体 σ 加法族になる。可測長方形を含むので、生成した族まで丸ごと含みます。

積測度をどう載せるか

長方形の測度は掛け算で決めます。$\mu \times \nu$ が満たすべき等式はこれ^[3]。

$$(\mu \times \nu )(A\times B)=\mu (A)\nu (B)$$

片方が $0$ でもう片方が $\infty$ のときは、$0\cdot \infty =0$ と約束します。

問題は、この式だけでは長方形の上でしか値が決まらないこと。積 σ 加法族の全体へ広げる手続きが要ります。

手順は測度を作るときの定石どおりです。長方形の有限合併がなす有限加法族の上に前測度を定め、そこから外測度を作り、カラテオドリの条件で可測集合を切り出す^[4]。

σ 有限なら一意に決まる

$\mu$ と $\nu$ がともに σ 有限なら、上の等式を満たす測度は積 σ 加法族の上でただひとつです^[1]。

このとき積測度は切り口の測度の積分としても書けます^[3]。

$$(\mu \times \nu )(E)={\int }_X\nu (E_x)d\mu (x)={\int }_Y\mu (E^y)d\nu (y)$$

右の 2 つが等しいこと自体が定理の内容で、これがフビニ・トネリの土台になります。

σ 有限でないと一意でなくなる

条件を外すと壊れます^[1]。$X=Y=[0,1]$ とし、$\mu$ をルベーグ測度、$\nu$ を数え上げ測度にとる。

$\nu$ は $[0,1]$ の上で σ 有限ではありません。$[0,1]$ を可算個の有限測度の集合で覆えないから。

対角線 $D=\{(x,x):x\in [0,1]\}$ を見ます。長方形の掛け算の規則を満たす測度が複数あって、$D$ に与える値が食い違う^[1]。

いちばん小さい積測度をとると $D$ の測度は $0$、いちばん大きい積測度をとると $\infty$ になります^[1]。σ 有限性は、こういう食い違いを封じるための条件です。

ボレル集合族では積がそのまま合う

${\mathbb{R}}^m$ と ${\mathbb{R}}^n$ にボレル集合族を入れると、積 σ 加法族が高次元のボレル集合族と一致します^[4]。

$$\mathcal{B}({\mathbb{R}}^{m+n})=\mathcal{B}({\mathbb{R}}^m)\otimes \mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)$$

証明は両向きの包含です。高次元の直方体が低次元の直方体の積で書けることから片方が出て、$A\times {\mathbb{R}}^n$ が可測になる $A$ の族を作ると、それが σ 加法族になることからもう片方が出ます。

第二可算公理を満たす空間なら一般に成り立ちます^[2]。可算な基底があるおかげで、生成元を可算個にそろえられるから。

ここから ${\mathbb{R}}^n$ 上のルベーグ測度を、1 次元のルベーグ測度の積として作り直せます。直方体から直接作る道と、積をとる道が同じ場所に着く。

ルベーグ σ 加法族では完備性が落ちる

ボレルではうまくいったのに、ルベーグ σ 加法族では包含が真になります^[3]。

$$\mathcal{L}(\mathbb{R})\otimes \mathcal{L}(\mathbb{R})⊊\mathcal{L}({\mathbb{R}}^2)$$

理由は完備性です。${\mathbb{R}}^2$ の中で $\{0\}\times \mathbb{R}$ は 2 次元測度が $0$ なので、その部分集合はすべて $\mathcal{L}({\mathbb{R}}^2)$ に属します。

ところが $\{0\}\times V$ を $V$ が非可測集合になるようにとると、切り口が可測でない。積 σ 加法族の元なら切り口は必ず可測だったので、この集合は左辺に属しません^[1]。

完備な測度どうしの積が完備とは限らない。それがこの現象の正体です。$\mathcal{L}({\mathbb{R}}^2)$ は積 σ 加法族の完備化として得られます^[3]。

単調族定理という道具

積測度の議論では、可測長方形で成り立つ性質を積 σ 加法族の全体へ広げる場面がくり返し出ます。

そこで使う道具が単調族定理。有限加法族を含む最小の単調族が、その有限加法族が生成する σ 加法族に一致する^[4]。

長方形の有限合併がなす有限加法族の上で性質を確かめ、単調な極限で閉じていることを示す。すると性質が積 σ 加法族の全体で成り立ちます。

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よくある誤り

参考文献