フビニ・トネリの定理

フビニ・トネリの定理は、積空間上の積分を反復積分として計算することを正当化する。多変数の積分を 1 変数ずつの積分に分解する際の基本定理である。

トネリの定理（非負関数の場合）

$(X, F, μ)$ , $(Y, G, ν)$ を σ 有限測度空間とし、 $f : X \times Y \to [0, \infty]$ を $F \otimes G$ -可測な非負関数とする。このとき

$\int_{X \times Y} f d (μ \times ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) d μ (x) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x)) d ν (y)$

が成り立つ。

特に、内側の積分 $\int_{Y} f (x, y) d ν (y)$ は $x$ の可測関数であり、 $\int_{X} f (x, y) d μ (x)$ は $y$ の可測関数である。

フビニの定理（可積分関数の場合）

$f : X \times Y \to R$ が $μ \times ν$ -可積分、すなわち

$\int_{X \times Y} ∣ f ∣ d (μ \times ν) < \infty$

を満たすとする。このとき

$\int_{X \times Y} f d (μ \times ν) = \int_{X} (\int_{Y} f (x, y) d ν (y)) d μ (x) = \int_{Y} (\int_{X} f (x, y) d μ (x)) d ν (y)$

が成り立つ。さらに、 $μ$ -a.e. の $x$ について $f_{x} (\cdot) = f (x, \cdot)$ は $ν$ -可積分であり、 $ν$ -a.e. の $y$ について $f^{y} (\cdot) = f (\cdot, y)$ は $μ$ -可積分である。

証明の方針

トネリの定理は、まず可測矩形の特性関数で成立を確認し、単関数の線形結合、非負可測関数の単調近似へと拡張する。各段階で単調収束定理を用いる。

フビニの定理は、 $f = f^{+} - f^{-}$ と分解し、トネリの定理を各項に適用する。 $\int ∣ f ∣ < \infty$ の仮定により、 $\int f^{+}$ と $\int f^{-}$ がともに有限となり、差が well-defined になる。

積分順序交換の正当化

フビニ・トネリの定理は、積分の順序交換を正当化する。

$\int_{X} \int_{Y} f (x, y) d ν d μ = \int_{Y} \int_{X} f (x, y) d μ d ν$

非負関数については常に順序交換が可能である（トネリ）。符号が変わる関数については、絶対可積分性を確認してから順序交換すべきである（フビニ）。

可積分性の判定

$f$ の可積分性は、トネリの定理を $∣ f ∣$ に適用して反復積分で判定できる。

$\int_{X} (\int_{Y} ∣ f (x, y) ∣ d ν (y)) d μ (x) < \infty$

が成り立てば $f$ は $μ \times ν$ -可積分であり、フビニの定理が適用できる。

応用例：畳み込み

$R$ 上の関数 $f, g \in L^{1} (R)$ の畳み込み

$(f * g) (x) = \int_{R} f (x - y) g (y) d y$

がほとんどすべての $x$ で定義され、 $f * g \in L^{1} (R)$ となることは、フビニの定理から従う。

$\int_{R} \int_{R} ∣ f (x - y) ∣∣ g (y) ∣ d y d x = \int_{R} ∣ g (y) ∣ (\int_{R} ∣ f (x - y) ∣ d x) d y = ∥ f ∥_{1} ∥ g ∥_{1} < \infty$

により絶対可積分性が示され、積分順序の交換が正当化される。

σ 有限性の仮定

σ 有限性の仮定は本質的である。 $(X, μ) = (Y, ν) = (R, 計数測度)$ のような非 σ 有限な場合、フビニの定理は一般に成り立たない。対角集合 ${(x, x) : x \in R}$ の測度を反復積分で計算しようとすると、順序により 0 と $\infty$ の異なる値が得られる例が構成できる。