積分の順序を変えてよいのはいつか〜トネリで確かめてフビニで動かす

2 つの σ 有限な測度空間 $(X,\mathcal{A},\mu )$ と $(Y,\mathcal{B},\nu )$ をとります。トネリの定理は、非負可測な $f$ について 3 つの積分が一致すると述べます^[1]。

$${\int }_{X\times Y}fd(\mu \times \nu )={\int }_X\left({\int }_{Y}f(x,y)d\nu (y)\right)d\mu (x)={\int }_Y\left({\int }_{X}f(x,y)d\mu (x)\right)d\nu (y)$$

非負でありさえすればよく、可積分性は要りません。3 つとも $\infty$ になる場合も含めて等号が立ちます^[3]。

フビニの定理は符号のある関数を扱います。$f$ が積測度について可積分なら、同じ 3 つの等式が成り立つ^[1]。

条件の違いが、そのまま使い方の違いになる。トネリは非負、フビニは可積分。

使うときの定石

実際の場面では 2 つを組にして使います^[1]。

まず $|f|$ にトネリを当てます。$|f|$ は非負なので無条件で順序を変えてよく、累次積分のどちらかを計算すれば $\int |f|$ の値が分かる。

それが有限なら $f$ は可積分なので、こんどはフビニが使えます。有限でなければ、順序交換は保証されません。

実際の手つきは、計算しやすいほうの順序で $\int |f|$ を評価すること。片方が計算しにくくても、もう片方で足ります。

切り口の関数が可測になる

累次積分を書くには、内側の積分が意味を持つ必要があります。$x$ を固定した切り口 $f(x,\cdot )$ が可測でなければ、${\int }_{Y}f(x,y)d\nu (y)$ が定義できない。

積 σ 加法族の元は切り口が可測でした^[2]。同じ議論が関数にも移ります。$f$ が積 σ 加法族について可測なら、各 $x$ について $f(x,\cdot )$ は $\mathcal{B}$ 可測になる^[4]。

さらに、内側の積分を $x$ の関数と見たものも可測です。これで外側の積分が書けるようになる。

反例：符号があると順序で答えが変わる

可積分性を外すと、累次積分の値が食い違います^[1]。いちばん短い例は行列で作れます。

自然数の組 $(m,n)$ に対し、$m=n$ のとき $1$、$m=n+1$ のとき $-1$、それ以外は $0$ と定めます。

行ごとに足すと、$m=1$ の行だけ $1$ で、残りは $1$ と $-1$ が打ち消して $0$。全部足して $1$。

列ごとに足すと、どの列も $1$ と $-1$ の組があって $0$。全部足して $0$ です。

$$\sum _m\sum _n{a}_{m,n}=1,\sum _n\sum _m{a}_{m,n}=0$$

絶対値をとると和は発散する。可積分でないので、フビニの仮定を満たしていません。

連続の場合にも同じ型の例があります^[1]。

$${\int }_0^1\left({\int }_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dy\right)dx=\frac{\pi }{4},{\int }_0^1\left({\int }_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2{)}^2}dx\right)dy=-\frac{\pi }{4}$$

符号が反転しているのは、被積分関数が $x$ と $y$ の入れ替えで符号を変えるから。原点の近くで正と負が激しく打ち消し合い、絶対値の積分が発散します。

反例：σ 有限でないと崩れる

もうひとつの落とし穴が σ 有限性です^[3]。$X=Y=[0,1]$ で、$\mu$ をルベーグ測度、$\nu$ を数え上げ測度にとります。

対角線の指示関数 $f={\chi }_D$ を考えます。非負なのでトネリの形をしていますが、結論が成り立たない。

$x$ を固定すると $f(x,\cdot )$ は 1 点だけで $1$ なので、数え上げ測度での積分は $1$。それを $x$ について積分すると $1$ になります。

$y$ を固定すると $f(\cdot ,y)$ は 1 点だけで $1$ なので、ルベーグ測度での積分は $0$。それを $y$ について足しても $0$ のままです。

非負なのに順序で答えが変わりました。トネリの定理が σ 有限性を要求している理由が、この例に出ています。

完備な測度では a.e. の但し書きが付く

ルベーグ測度のように完備化した空間で使うときは、言い方が少し変わります^[4]。

$f$ が ${\mathbb{R}}^{m+n}$ でルベーグ可測なとき、切り口 $f(x,\cdot )$ はすべての $x$ ではなく、ほとんどすべての $x$ について可測になります。

例外の $x$ では内側の積分が定義できませんが、その集まりは測度 $0$ なので外側の積分に影響しません。結論の等式はそのまま成り立つ^[4]。

応用：層ケーキの公式を導く

トネリの使い道のひとつは、積分を水位ごとの測度に書き直すこと。非負可測な $f$ について、次の集合を考えます。

$$E=\{(x,t)\in X\times (0,\infty ):t<f(x)\}$$

${\chi }_E$ にトネリを当てます。$x$ を固定して $t$ で積分すると $f(x)$、$t$ を固定して $x$ で積分すると $\mu (\{f>t\})$。

$${\int }_{X}fd\mu ={\int }_0^{\infty }\mu (\{x:f(x)>t\})dt$$

順序を変えただけで公式が出ました。非負なので、可積分性の確認も要らない。

応用：たたみこみの評価

$f,g\in L^1(\mathbb{R})$ のたたみこみについて、次の評価が出ます。

$${\int }_{\mathbb{R}}|(f\ast g)(x)|dx\le \left({\int }_{\mathbb{R}}|f|dx\right)\left({\int }_{\mathbb{R}}|g|dx\right)$$

$|f(x-y)||g(y)|$ にトネリを当て、$y$ を固定して $x$ で積分すると平行移動不変性から $\Vert f{\Vert }_1|g(y)|$。それを $y$ で積分すれば右辺です。

有限だと分かったので、$f\ast g$ が a.e. で定義されて可積分になる。ここまで来てはじめてフビニが使えます。

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よくある誤り

参考文献