指数 p が変わると何が入るのか？Lp 空間とそのノルム

測度空間 $(X, A, μ)$ と $1 \leq p < \infty$ に対し、可測関数 $f$ の $L^{p}$ ノルムを次で定めます^[1]。

$∥ f ∥_{p} = (\int_{X} ∣ f ∣^{p} d μ)^{1/ p}$

これが有限になる可測関数を集めたものが $L^{p} (X, μ)$ です。 $p = 1$ なら可積分関数の全体、 $p = 2$ なら二乗可積分関数の全体。

指数 $p$ を動かすと、集まりの中身がごっそり入れ替わります。どんな関数が入るのかは、 $∣ f ∣$ が大きいところと裾のふるまいで決まる。

a.e. で等しいものを同一視する

このままだとノルムの条件をひとつ満たしません。 $f$ が測度 $0$ の集合の上でだけ $0$ でないとき、 $∥ f ∥_{p} = 0$ なのに $f$ は零関数でない^[1]。

そこで a.e. で等しい関数を同じものと見なします^[2]。同値類の全体を考えると、 $∥ f ∥_{p} = 0$ が $f = 0$ と同値になる。

$L^{p} (X, μ) = {f : ∥ f ∥_{p} < \infty} / {f : f = 0 a.e.}$

$L^{p}$ の元は関数そのものではなく、関数の同値類です。ふだんは関数のように書くものの、1 点での値を問うことに意味はない。

$L^{p}$ の元に「 $x = 0$ での値」を尋ねても答えは決まりません。同値類として扱っているからです。

1 点は測度 $0$ なので、その上で値を書き換えても同じ元のまま。

$p = \infty$ は本質的上限

$p = \infty$ のときは積分ではなく上限を使います。ただし測度 $0$ の集合を無視した上限、本質的上限をとる^[1]。

$∥ f ∥_{\infty} = μ (N) = 0 in f x \in X ∖ N sup ∣ f (x) ∣$

素朴な上限では困ります。 $[0, 1]$ の上で $f (0) = 100$ 、それ以外は $0$ という関数は、 $sup ∣ f ∣ = 100$ ですが本質的上限は $0$ 。

a.e. で同一視した以上、ノルムのほうも測度 $0$ を見ないものにそろえる必要がある。

$p < 1$ ではノルムにならない

$0 < p < 1$ でも同じ式を書けますが、三角不等式が成り立ちません^[1]。

$[0, 1]$ で $f = χ_{[0, 1/2]}$ 、 $g = χ_{(1/2, 1]}$ をとります。 $p = 1/2$ で計算すると、和のノルムが各項のノルムの和を超える。

$∥ f + g ∥_{1/2} = 1, ∥ f ∥_{1/2} + ∥ g ∥_{1/2} = (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}$

劣加法性が崩れているので、これはノルムではなく擬ノルムと呼ばれます。 $p \geq 1$ という条件は飾りではない。

単位球の形を見ると事情が分かります。 $p \geq 1$ では凸ですが、 $p < 1$ では星形にへこむ。凸でない図形の上では三角不等式が立ちません。

測度が有限なら大きい $p$ ほど小さい空間

$μ (X) < \infty$ のとき、指数の大きい空間が小さい空間に含まれます^[1]。

$μ (X) < \infty, 1 \leq p \leq q \leq \infty ⟹ L^{q} (X) \subseteq L^{p} (X)$

理由は $∣ f ∣$ が大きいところと小さいところの寄与を分ければ見えます。 $∣ f ∣ \leq 1$ の部分では $∣ f ∣^{p} \leq 1$ で、全体の測度が有限なので寄与も有限。

$∣ f ∣ > 1$ の部分では $∣ f ∣^{p} \leq ∣ f ∣^{q}$ なので、 $q$ 乗の積分が有限なら $p$ 乗も有限です。

測度が無限だと崩れる。 $R$ の上で $f (x) = 1$ は $L^{\infty}$ に属しますが、 $L^{1}$ には属しません。

数列空間ではもっと事情が変わって、包含が逆向きになります^[1]。 $ℓ^{p} \subseteq ℓ^{q}$ が $p \leq q$ で成り立つ。裾が細くなる条件のほうが強いからです。

例： $x^{- α}$ はどこに入るか

$(0, 1]$ の上で $f (x) = x^{- α}$ （ $α > 0$ ）を考えます。 $p$ 乗して積分すると条件がはっきりする。

$\int_{0}^{1} x^{- α p} d x < \infty ⟺ α p < 1 ⟺ p < \frac{1}{α}$

$α = 1/2$ なら $p < 2$ の範囲で $L^{p}$ に属します。 $p = 2$ ではぎりぎり外れる。

$α$ を大きくすると入れる $p$ の範囲が狭まり、 $α \geq 1$ では $L^{1}$ にすら入りません。原点での立ち上がりが急なほど、大きい $p$ に耐えられない。

裾のほうでも同じことが起きます。 $[1, \infty)$ で $x^{- α}$ を見ると、条件が $α p > 1$ に変わって $p > 1/ α$ 。

原点の立ち上がりと無限遠の裾で、条件の向きが逆になります。 $R$ 全体では両方を満たす必要があり、 $L^{p}$ が狭くなる。

$x^{- 1/2}$ を $(0, 1]$ で	$p < 2$ のとき $L^{p}$ に属する
$x^{- 1/2}$ を $[1, \infty)$ で	$p > 2$ のとき $L^{p}$ に属する
$x^{- 1/2}$ を $(0, \infty)$ で	どの $p$ でも属さない

何が稠密に入っているか

$L^{p}$ の中で扱いやすい関数がどれだけ多いか、という問いも大事です^[1]。

$1 \leq p < \infty$ なら、単関数の全体が $L^{p}$ で稠密になります。可測関数を単関数で近似する定理に、優収束定理を重ねれば出る。

$R^{n}$ 上のルベーグ測度なら、コンパクトな台を持つ連続関数の全体も稠密です^[3]。滑らかな関数で近似できるので、微分の議論につなげられる。

$p = \infty$ では成り立ちません。連続関数の一様極限は連続なので、不連続な有界関数に近づけないからです。

1 \leq p < \infty

単関数も、台がコンパクトな連続関数も稠密。近似して議論を進められる

p = \infty

一様収束の世界なので連続関数は稠密でない。可分でもない

quiz で確かめる

$μ (X) < \infty$ のとき、 $L^{1} (X)$ と $L^{2} (X)$ の関係はどれですか。

$L^{1} \subseteq L^{2}$
$L^{2} \subseteq L^{1}$
どちらの包含も成り立たない

__RESULT__

$∣ f ∣ \leq 1$ の部分では測度が有限なことから寄与が押さえられ、 $∣ f ∣ > 1$ の部分では $∣ f ∣ \leq ∣ f ∣^{2}$ が効きます。指数の大きい空間が小さいほうに含まれる、という向きです。

よくある誤り

L^{p}

の元を関数そのものだと思う。a.e. で等しいものを同一視した同値類です。

p = \infty

で素朴な上限を使う。測度

0

を無視する本質的上限をとります。

0 < p < 1

でもノルムだと思う。三角不等式が崩れて擬ノルムにしかなりません。

測度が無限でも包含関係があると思う。

R

上では成り立ちません。

数列空間で包含の向きをとり違える。

ℓ^{p} \subseteq ℓ^{q}

は

p \leq q

の向きです。

L^{\infty}

で連続関数が稠密だと思う。一様収束の極限が連続になるので近づけません。

∥ f ∥_{p} = 0

から

f

が恒等的に

0

だと結論する。言えるのは a.e. で

0

ということだけです。

参考文献

Lp space. Wikipedia（英語）.

Lp-Raum. Wikipedia（ドイツ語）.

J. K. Hunter. *Measure Theory*. University of California at Davis, 2011.

$|f|^p$ の積分の $p$ 乗根が $L^p$ ノルム。これが有限になる可測関数を集め、a.e. で等しいものを同一視した同値類の空間です。$p = \infty$ で本質的上限に切り替わる理由、$p < 1$ では単位球がへこんで三角不等式が崩れること、測度が有限なら $L^q \subseteq L^p$ なのに数列空間では向きが逆になることを見ます。$x^{-\alpha}$ がどの $p$ で入るか、単関数と連続関数がどこまで稠密かまで。