指数 p が変わると何が入るのか？Lp 空間とそのノルム

測度空間 $(X,\mathcal{A},\mu )$ と $1\le p<\infty$ に対し、可測関数 $f$ の $L^p$ ノルムを次で定めます^[1]。

$$\Vert f{\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}$$

これが有限になる可測関数を集めたものが $L^p(X,\mu )$ です。$p=1$ なら可積分関数の全体、$p=2$ なら二乗可積分関数の全体。

指数 $p$ を動かすと、集まりの中身がごっそり入れ替わります。どんな関数が入るのかは、$|f|$ が大きいところと裾のふるまいで決まる。

a.e. で等しいものを同一視する

このままだとノルムの条件をひとつ満たしません。$f$ が測度 $0$ の集合の上でだけ $0$ でないとき、$\Vert f{\Vert }_p=0$ なのに $f$ は零関数でない^[1]。

そこで a.e. で等しい関数を同じものと見なします^[2]。同値類の全体を考えると、$\Vert f{\Vert }_p=0$ が $f=0$ と同値になる。

$$L^p(X,\mu )=\{f:\Vert f{\Vert }_p<\infty \}/\{f:f=0\text{a.e.}\}$$

$L^p$ の元は関数そのものではなく、関数の同値類です。ふだんは関数のように書くものの、1 点での値を問うことに意味はない。

$p=\infty$ は本質的上限

$p=\infty$ のときは積分ではなく上限を使います。ただし測度 $0$ の集合を無視した上限、本質的上限をとる^[1]。

$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{\mu (N)=0}{\inf }\underset{x\in X\setminus N}{\sup }|f(x)|$$

素朴な上限では困ります。$[0,1]$ の上で $f(0)=100$、それ以外は $0$ という関数は、$\sup |f|=100$ ですが本質的上限は $0$。

a.e. で同一視した以上、ノルムのほうも測度 $0$ を見ないものにそろえる必要がある。

$p<1$ ではノルムにならない

$0<p<1$ でも同じ式を書けますが、三角不等式が成り立ちません^[1]。

$[0,1]$ で $f={\chi }_{[0,1/2]}$、$g={\chi }_{(1/2,1]}$ をとります。$p=1/2$ で計算すると、和のノルムが各項のノルムの和を超える。

$$\Vert f+g{\Vert }_{1/2}=1,\Vert f{\Vert }_{1/2}+\Vert g{\Vert }_{1/2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$$

劣加法性が崩れているので、これはノルムではなく擬ノルムと呼ばれます。$p\ge 1$ という条件は飾りではない。

単位球の形を見ると事情が分かります。$p\ge 1$ では凸ですが、$p<1$ では星形にへこむ。凸でない図形の上では三角不等式が立ちません。

測度が有限なら大きい $p$ ほど小さい空間

$\mu (X)<\infty$ のとき、指数の大きい空間が小さい空間に含まれます^[1]。

$$\mu (X)<\infty ,1\le p\le q\le \infty ⟹L^q(X)\subseteq L^p(X)$$

理由は $|f|$ が大きいところと小さいところの寄与を分ければ見えます。$|f|\le 1$ の部分では $|f{|}^p\le 1$ で、全体の測度が有限なので寄与も有限。

$|f|>1$ の部分では $|f{|}^p\le |f{|}^q$ なので、$q$ 乗の積分が有限なら $p$ 乗も有限です。

測度が無限だと崩れる。$\mathbb{R}$ の上で $f(x)=1$ は $L^{\infty }$ に属しますが、$L^1$ には属しません。

数列空間ではもっと事情が変わって、包含が逆向きになります^[1]。${\ell }^p\subseteq {\ell }^q$ が $p\le q$ で成り立つ。裾が細くなる条件のほうが強いからです。

例：$x^{-\alpha }$ はどこに入るか

$(0,1]$ の上で $f(x)=x^{-\alpha }$（$\alpha >0$）を考えます。$p$ 乗して積分すると条件がはっきりする。

$${\int }_0^1{x}^{-\alpha p}dx<\infty ⟺\alpha p<1⟺p<\frac{1}{\alpha }$$

$\alpha =1/2$ なら $p<2$ の範囲で $L^p$ に属します。$p=2$ ではぎりぎり外れる。

$\alpha$ を大きくすると入れる $p$ の範囲が狭まり、$\alpha \ge 1$ では $L^1$ にすら入りません。原点での立ち上がりが急なほど、大きい $p$ に耐えられない。

裾のほうでも同じことが起きます。$[1,\infty )$ で $x^{-\alpha }$ を見ると、条件が $\alpha p>1$ に変わって $p>1/\alpha$。

原点の立ち上がりと無限遠の裾で、条件の向きが逆になります。$\mathbb{R}$ 全体では両方を満たす必要があり、$L^p$ が狭くなる。

何が稠密に入っているか

$L^p$ の中で扱いやすい関数がどれだけ多いか、という問いも大事です^[1]。

$1\le p<\infty$ なら、単関数の全体が $L^p$ で稠密になります。可測関数を単関数で近似する定理に、優収束定理を重ねれば出る。

${\mathbb{R}}^n$ 上のルベーグ測度なら、コンパクトな台を持つ連続関数の全体も稠密です^[3]。滑らかな関数で近似できるので、微分の議論につなげられる。

$p=\infty$ では成り立ちません。連続関数の一様極限は連続なので、不連続な有界関数に近づけないからです。

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よくある誤り

参考文献