$L^p$ 空間の定義とノルム

$L^p$ 空間は、$p$ 乗可積分な関数のなす空間である。関数解析における基本的な関数空間であり、ノルム構造やバナッハ空間としての完備性など、豊かな構造を持つ。

$L^p$ 空間の定義

$(X,\mathcal{F},\mu )$ を測度空間とし、$1\le p<\infty$ とする。可測関数 $f:X\to \mathbb{R}$（または $\mathbb{C}$）で

$${\int }_X|f{|}^{p}d\mu <\infty$$

を満たすもの全体を ${\mathcal{L}}^p(X,\mu )$ と書く。

${\mathcal{L}}^p$ 上で「ほとんど至るところ等しい」という同値関係を入れ、同値類の空間を $L^p(X,\mu )$ または単に $L^p(\mu )$ と書く。$f\sim g⟺f=g$ a.e. である。

$L^p$ ノルム

$f\in L^p$（$1\le p<\infty$）に対し、$L^p$ ノルムを

$$\Vert f{\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}$$

と定義する。これが実際にノルムの公理を満たすことは、後述のミンコフスキーの不等式から従う。

$p=\infty$ の場合は、本質的上限

$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\inf \{M\ge 0:|f(x)|\le M\text{ a.e.}\}$$

を用いる。$\Vert f{\Vert }_{\infty }<\infty$ なる可測関数の同値類全体を $L^{\infty }(\mu )$ と書く。

基本的な包含関係

$\mu (X)<\infty$（有限測度）のとき、$1\le p\le q\le \infty$ に対して

$$L^q(\mu )\subset L^p(\mu )$$

が成り立つ。ヘルダーの不等式から $\Vert f{\Vert }_p\le \mu (X{)}^{(q-p)/pq}\Vert f{\Vert }_q$ が導かれる。

$\mu$ が σ 有限だが有限でない場合（たとえばルベーグ測度）は、この包含関係は一般に成り立たない。

単関数の稠密性

$1\le p<\infty$ のとき、単関数は $L^p$ で稠密である。任意の $f\in L^p$ と $\epsilon >0$ に対し、単関数 $\phi$ で $\Vert f-\phi {\Vert }_p<\epsilon$ なるものが存在する。

さらに、${\mathbb{R}}^n$ 上のルベーグ測度の場合、連続関数やコンパクト台を持つ滑らかな関数も $L^p$ で稠密である。

$L^p$ の双対空間

$1<p<\infty$ のとき、$L^p$ の双対空間は $L^q$（$1/p+1/q=1$）と同型である。任意の有界線形汎関数 $\varphi :L^p\to \mathbb{R}$ は、ある $g\in L^q$ を用いて

$$\varphi (f)={\int }_{X}fgd\mu$$

と表される。

$p=1$ の場合、$(L^1{)}^{\ast }=L^{\infty }$ が σ 有限測度空間で成り立つ。$p=\infty$ の場合、$(L^{\infty }{)}^{\ast }$ は $L^1$ より真に大きい。