行列式を計算する方法の一つに余因子展開がある。これは行列式を、ある行または列に沿って小さな行列式の和に分解する手法である。
小行列式と余因子
次正方行列 から第 行と第 列を取り除いてできる 次正方行列の行列式を と書き、 小行列式と呼ぶ。
余因子 は小行列式に符号をつけたものである。
符号 は が偶数なら正、奇数なら負となる。これを行列の形で並べると、チェッカーボードのようなパターンになる。
余因子展開の公式
行列式は任意の行または列に沿って展開できる。第 行に沿った展開は次のようになる。
第 列に沿った展開も同様である。
どの行・列で展開しても同じ値が得られる。計算量を減らすには、0 が多い行や列を選ぶとよい。
3次行列での例
次の行列の行列式を第1行で展開する。
第1行の各成分に対応する余因子を計算する。
よって となる。
余因子行列と逆行列
すべての余因子を並べた行列を余因子行列と呼ぶ。余因子行列の転置を と書くと、逆行列は次の公式で与えられる。
この公式は理論的には重要だが、数値計算では掃き出し法のほうが効率的である。
