余因子展開のやり方と符号の決め方（3 次と 4 次の行列式）

4 次の行列式は、3 次の行列式 4 個の和に書き直せます。3 次なら 2 次 3 個へ。次数が 1 ずつ落ちていく手順が余因子展開です^[1]。

落とす先の個数は、選んだ行や列の成分の個数と同じ。 $0$ の多い行や列を選べば、消える項のぶんだけ計算が減ります。

小行列式

$n$ 次正方行列 $A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を消すと、 $(n - 1)$ 次の正方行列が残ります。その行列式を $M_{ij}$ と書き、 $(i, j)$ 小行列式と呼ぶ^[3]。

3 次から 1 行 1 列を消せば 2 次。行と列を 1 本ずつ抜くので、大きさはちょうど 1 だけ小さくなります。

余因子は符号つきの小行列式

小行列式に $(- 1)^{i + j}$ を掛けたものが余因子 $C_{ij}$ です^[3]。

$C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$

$i + j$ が偶数なら正、奇数なら負。左上を $+$ として、市松模様に並びます。

$+ - + - - + - + + - + - - + - +$

模様なので、途中の成分でも数え直さずに読めます。隣へ 1 つ動けば符号が変わる、それだけ。

展開の式

行列式は、どの行に沿っても、どの列に沿っても展開できます^[1]。第 $i$ 行に沿った形は次のとおり。

$det A = j = 1 \sum n a_{ij} C_{ij} = a_{i 1} C_{i 1} + a_{i 2} C_{i 2} + \dots + a_{in} C_{in}$

第 $j$ 列に沿っても同じ値が出ます。

$det A = i = 1 \sum n a_{ij} C_{ij}$

どこで展開しても値は変わらない。だから、いちばん楽な行か列を選べます^[2]。

例：3 次を第 1 行で展開する

$A = 201142315$

第 1 行の 3 つの成分について、余因子を順に出します。

$C_{11} = + 4215 = 20 - 2 = 18$

$C_{12} = - 0115 = - (0 - 1) = 1$

$C_{13} = + 0142 = 0 - 4 = - 4$

成分と掛けて足すと $2 \cdot 18 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot (- 4) = 36 + 1 - 12 = 25$ 。

例： $0$ の多い列を選ぶ

4 次では 3 次の行列式が 4 個できるので、そのまま展開すると手数がかかります。

$B = 3120004024131202$

第 2 列は $0, 0, 4, 0$ です。 $0$ の項は消えるので、残るのは $a_{32} C_{32}$ の 1 個だけ^[2]。

$M_{32} = 310243122 = 3 (8 - 6) - 2 (2 - 0) + 1 (3 - 0) = 5$

符号は $(- 1)^{3 + 2} = - 1$ なので $C_{32} = - 5$ 。よって $det B = 4 \times (- 5) = - 20$ です。

4 個の 3 次を計算する代わりに 1 個で済みました。 $0$ を数えてから展開先を決める、という順番が効きます。

符号はどこから来るのか

$(- 1)^{i + j}$ は、あとから付けた飾りではありません。行列式が持つ交代性から出てきます。

行列式は、2 つの行を入れ替えると符号が変わります。第 $i$ 行を第 1 行まで運ぶには、隣どうしの入れ替えを $i - 1$ 回。列も同じく $j - 1$ 回。

合わせて $(i - 1) + (j - 1) = i + j - 2$ 回の入れ替えなので、符号は $(- 1)^{i + j - 2} = (- 1)^{i + j}$ になります。

展開の式が正しいことは、右辺が行について多重線形で、交代性を持ち、単位行列で $1$ になると示せば足ります。

この 3 条件を満たす関数は行列式ただ 1 つなので、右辺は $det A$ に一致する。

つまり余因子展開は、行列式の定義を言い換えたもの。計算法として天下り式に覚える必要はありません。

別の行の余因子を掛けると $0$ になる

第 $i$ 行の成分に、第 $k$ 行の余因子を掛けて足すとどうなるか。 $i \neq = k$ なら、答えは $0$ です^[2]。

$j = 1 \sum n a_{ij} C_{k j} = 0 (i \neq = k)$

理由は入れ替えで見えます。第 $k$ 行を第 $i$ 行のコピーで置き換えた行列を考えると、この和はその行列式に等しい。

同じ行が 2 つある行列の行列式は $0$ なので、和も $0$ になります。

自分の行の余因子

$\sum_{j} a_{ij} C_{ij} = det A$ になる。展開の式そのもの

別の行の余因子

$\sum_{j} a_{ij} C_{k j} = 0$ になる。同じ行が 2 つ並んだ行列式にあたる

この 2 つを 1 つの式にまとめると、次の形になります。

$j = 1 \sum n a_{ij} C_{k j} = δ_{ik} det A$

余因子行列と逆行列

余因子 $C_{ij}$ を並べ、転置したものを余因子行列（随伴行列） $adj A$ と呼びます^[2]。転置するので、 $(i, j)$ 成分は $C_{j i}$ です。

上の $δ_{ik}$ の式は、行列の積として次のように書けます。

$A (adj A) = (adj A) A = (det A) I$

$det A \neq = 0$ なら両辺を割って、逆行列の公式が出ます。

$A^{- 1} = \frac{1}{det A} adj A$

例：余因子で逆行列を出す

$A = 105216340$

第 1 行で展開すると $det A = 1 (0 - 24) - 2 (0 - 20) + 3 (0 - 5) = - 24 + 40 - 15 = 1$ 。

9 個の余因子を全部出します。第 1 行ぶんが $- 24, 20, - 5$ 、第 2 行ぶんが $18, - 15, 4$ 、第 3 行ぶんが $5, - 4, 1$ 。

並べて転置すると、次の行列になります。

$adj A = - 24 20 - 5 18 - 15 4 5 - 4 1$

$det A = 1$ なので、これがそのまま $A^{- 1}$ です。

転置を忘れると、 $C_{12}$ が $(1, 2)$ 成分の位置に残ります。行と列が入れかわるだけなので、掛け算するまで気づきません。

文字が入ると展開が効く

数値だけの大きな行列なら、掃き出し法のほうが速い。展開が生きるのは、成分に文字が混ざっている場合です^[4]。

割り算をすると場合分けが増えるので、掃き出しは文字と相性がよくありません。展開なら、掛け算と足し算だけで進みます。

固有多項式がその例。 $A$ を 3 重対角の行列とし、 $t = 2 - λ$ と置きます。

$det (A - λ I) = t 10 1 t 1 01 t$

第 1 行で展開すると $t (t^{2} - 1) - 1 \cdot t + 0 = t^{3} - 2 t$ 。因数分解して $t (t^{2} - 2)$ です。

$t = 2 - λ$ を戻せば、固有値は $2$ と $2 \pm 2$ と分かります。

計算量

$n$ 次を展開すると $(n - 1)$ 次が $n$ 個。それをまた展開すると、掛け算の回数はおよそ $n!$ に届きます。

掃き出し法なら $n^{3}$ 程度で終わるので、 $n$ が大きいと差は開く一方です。 $n = 20$ で $n!$ は $1 0^{18}$ を超えます。

$0$ が多ければ余因子展開

数値だけで大きければ掃き出し法

文字が入っていれば余因子展開

実際には混ぜるのが速い。行基本変形で $0$ を作ってから展開すれば、両方の利点をとれます^[4]。

例： $0$ を作ってから展開する

$C = 1232573812$

第 2 行から第 1 行の 2 倍、第 3 行から第 1 行の 3 倍を引きます。行列式は変わりません。

$100211323$

第 1 列に $0$ が 2 つ並んだので、そこで展開して $1 \times (1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) = 1$ 。

はじめから展開すると 3 個の 2 次を計算します。変形を 2 回入れるだけで、1 個で済みました。

5 次の行列式を余因子展開するとき、第 3 行に $0$ が 3 つあります。計算する 4 次の行列式はいくつですか。

5 個
2 個
3 個

__RESULT__

第 3 行の成分は 5 つで、そのうち 3 つが $0$ です。 $0$ の項は消えるので、残る 4 次の行列式は $5 - 3 = 2$ 個になります。展開先を選ぶときは、 $0$ の個数がそのまま手数の差になります。

符号の読み方も確かめます。

$4$ 次正方行列で、 $(3, 2)$ 成分の余因子に付く符号はどちらですか。

$+$
$-$
行列の中身で変わる

__RESULT__

$(- 1)^{3 + 2} = (- 1)^{5} = - 1$ なので負です。 $i + j$ が奇数なら負、偶数なら正で、行列の成分には関係しません。左上の $+$ から市松模様に数えても同じ結果になります。

検算

展開した行と別の行で、もう一度展開します。どこで展開しても値は同じなので、違えばどちらかに計算違いがあります。

上の $B$ なら、第 2 列で $- 20$ 、第 4 行で展開しても $3 \cdot 20 + 2 \cdot (- 40) = - 20$ 。一致しました。

逆行列を出したときは、 $A \cdot adj A$ の非対角成分が $0$ になるかを見ます。第 1 行と第 2 列の組では $1 \cdot 18 + 2 \cdot (- 15) + 3 \cdot 4 = 0$ です。

対角成分が全部 $det A$ になり、それ以外が全部 $0$ になれば、余因子の符号も転置も正しく入っています。

次数を 1 つ落とす。この操作を繰り返すだけなので、大きな行列でも手順は変わりません。 $0$ をどこに作るかだけが工夫のしどころ。

参考文献

DET-0050: The Laplace Expansion Theorem. Linear Algebra, The Ohio State University.

The Laplace expansion, minors, cofactors and adjoints. StatLect.

Cofactor. Encyclopedia of Mathematics.

Dan Margalit, Joseph Rabinoff. *Cofactor Expansions*/04:_Determinants/4.02:_Cofactor_Expansions). Interactive Linear Algebra.

4 次の行列式は 3 次 4 個の和に、3 次は 2 次 3 個の和に落ちます。落とす先の個数は選んだ行や列の成分の数と同じなので、$0$ の多い列を選ぶと手数が減る。第 2 列に $0$ が 3 つ並ぶ例なら、計算するのは 3 次 1 個だけ。符号 $(-1)^{i+j}$ は、行と列を隅へ運ぶ入れ替えの回数から出ます。別の行の余因子を掛けると $0$ になり、そこから $A \operatorname{adj} A = (\det A) I$ と逆行列の公式が出る。行基本変形で $0$ を作ってから展開する手順まで。