余因子展開による行列式の計算

行列式を計算する方法の一つに余因子展開がある。これは行列式を、ある行または列に沿って小さな行列式の和に分解する手法である。

小行列式と余因子

$n$ 次正方行列 $A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を取り除いてできる $(n - 1)$ 次正方行列の行列式を $M_{ij}$ と書き、 $(i, j)$ 小行列式と呼ぶ。

余因子 $C_{ij}$ は小行列式に符号をつけたものである。

$C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$

符号 $(- 1)^{i + j}$ は $i + j$ が偶数なら正、奇数なら負となる。これを行列の形で並べると、チェッカーボードのようなパターンになる。

$+ - + - + - + - +$

行列式は任意の行または列に沿って展開できる。第 $i$ 行に沿った展開は次のようになる。

$det A = j = 1 \sum n a_{ij} C_{ij} = a_{i 1} C_{i 1} + a_{i 2} C_{i 2} + \dots + a_{in} C_{in}$

第 $j$ 列に沿った展開も同様である。

$det A = i = 1 \sum n a_{ij} C_{ij}$

どの行・列で展開しても同じ値が得られる。計算量を減らすには、0 が多い行や列を選ぶとよい。

次の行列の行列式を第1行で展開する。

$A = 201142315$

第1行の各成分に対応する余因子を計算する。

$C_{11} = (+ 1) 4215 = 20 - 2 = 18$

$C_{12} = (- 1) 0115 = - (0 - 1) = 1$

$C_{13} = (+ 1) 0142 = 0 - 4 = - 4$

よって $det A = 2 \cdot 18 + 1 \cdot 1 + 3 \cdot (- 4) = 36 + 1 - 12 = 25$ となる。

すべての余因子を並べた行列を余因子行列と呼ぶ。余因子行列の転置を $A$ と書くと、逆行列は次の公式で与えられる。

$A^{- 1} = \frac{1}{det A} A$

この公式は理論的には重要だが、数値計算では掃き出し法のほうが効率的である。