クラメルの公式

クラメルの公式は、連立一次方程式の解を行列式を用いて表す公式である。理論的には美しいが、計算量の観点からは大規模な問題には向かない。

クラメルの公式

$n$ 元連立一次方程式 $Ax=b$ において、係数行列 $A$ が正則（$\det A\ne 0$）であるとする。このとき、解 $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$ の各成分は次の公式で与えられる。

$$x_i=\frac{\det A_i}{\det A}$$

ここで $A_i$ は、$A$ の第 $i$ 列を $b$ で置き換えた行列である。

2元連立方程式での例

次の連立方程式を考える。

$$\{\begin{array}{l}2x+3y=8\\ 4x+5y=14\end{array}$$

係数行列と右辺ベクトルは次のようになる。

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 5\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}8\\ 14\end{array}\right)$$

まず $\det A=2\cdot 5-3\cdot 4=10-12=-2$ を計算する。

$x$ を求めるには、$A$ の第1列を $b$ で置き換えた行列 $A_1$ の行列式を計算する。

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 14& 5\end{array}\right),\det A_1=40-42=-2$$

同様に $A_2$ を計算する。

$$A_2=\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ 4& 14\end{array}\right),\det A_2=28-32=-4$$

よって $x=\frac{-2}{-2}=1$、$y=\frac{-4}{-2}=2$ が得られる。

公式の導出

クラメルの公式は余因子展開と逆行列の関係から導かれる。$A$ が正則なら $x=A^{-1}b$ であり、逆行列を余因子行列で表すと

$$x_i=\sum _{j=1}^n(A^{-1}{)}_{ij}{b}_j=\frac{1}{\det A}\sum _{j=1}^n{C}_{ji}{b}_j$$

となる。右辺の和は $A_i$ を第 $i$ 列で展開した行列式に等しい。

意義と限界

クラメルの公式は、解が行列式の比で表されることを示しており、理論的な考察に有用である。たとえば、係数がパラメータを含む場合に解の形を議論するときに役立つ。

一方、数値計算の観点では効率が悪い。$n$ 次の行列式を素朴に計算すると $O(n!)$ の計算量がかかるため、実用的には掃き出し法や LU 分解を用いるのが普通である。