ヒルベルト空間は内積が定義されたバナッハ空間であり、量子力学や偏微分方程式の理論で中心的な役割を果たします。
内積の定義
複素ベクトル空間 上の写像 が次の条件を満たすとき、内積 といいます。
線形性（第1成分）
共役対称性
正値性
かつ
実ベクトル空間の場合は、共役対称性が単に となります。
内積から定まるノルム
内積から でノルムが定義できます。これがノルムの公理を満たすことは、次のコーシー・シュワルツの不等式から従います。
等号成立は と が線形従属のときに限ります。
ヒルベルト空間の定義
内積空間が、その内積から定まるノルムに関して完備であるとき、ヒルベルト空間 といいます。
| , | 標準内積 |
| 内積 | |
| 内積 |
平行四辺形の法則
内積から定まるノルムは、次の 平行四辺形の法則 を満たします。
逆に、この法則を満たすノルムは内積から定まることが知られています（ヨルダン・フォン=ノイマンの定理）。
（）や （sup ノルム）はこの法則を満たさないため、ヒルベルト空間ではありません。
内積の復元
ノルムが平行四辺形の法則を満たすとき、内積は 偏極恒等式 で復元できます。
実空間では虚数単位の項が消えます。
