ヒルベルト空間の定義と内積｜偏極恒等式から射影定理・最小二乗法までざっくりわかりやすく解説

$\sin x$ と $\cos x$ を $[0,2\pi ]$ で掛けて積分すると、値は $0$ になります。この事実を「2 つの関数は直交する」と読みます。

関数どうしが直角に交わる、というのです。矢印でも点でもないものに角度を入れる。その仕掛けが内積にほかなりません。

ヒルベルト空間は内積が定義されたバナッハ空間であり、量子力学や偏微分方程式の理論で中心的な役割を果たします。

内積の定義

複素ベクトル空間 $H$ 上の写像 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:H\times H\to \mathbb{C}$ が次の条件を満たすとき、内積 といいます。

実ベクトル空間の場合は、共役対称性が単に $⟨x,y⟩=⟨y,x⟩$ となります。

正値性の $⟨x,x⟩\ge 0$ には、暗黙の主張が隠れています。共役対称性から $⟨x,x⟩=\overline{⟨x,x⟩}$ なので、この値は自動的に実数になるのです。

複素数には大小がありません。$\ge 0$ と書けること自体が、共役対称性の贈り物です。

第 2 成分は共役線形になる

第 1 成分の線形性と共役対称性を組み合わせると、第 2 成分の振る舞いが決まります。スカラーを外に出してみます。

$$⟨x,\alpha y⟩=\overline{⟨\alpha y,x⟩}=\overline{\alpha ⟨y,x⟩}=\bar{\alpha }\overline{⟨y,x⟩}=\bar{\alpha }⟨x,y⟩$$

第 2 成分から出るときは、共役がついてしまいました。この非対称性は複素内積の宿命です。

実の場合は共役が何もしないので、両成分とも線形になります。複素数を使うから話がねじれるのです。

数学の規約と物理の規約

どちらが正しい、という話ではありません。文献を開いたら、どちらの規約かをまず確かめる必要がある、というだけです。

以下では数学の規約で通します。第 1 成分が線形、と覚えてください。

例：${\mathbb{C}}^2$ で内積を計算する

${\mathbb{C}}^n$ の標準内積は $⟨x,y⟩={\sum }_i{x}_i\overline{y_i}$ です。$x=(1,i)$、$y=(2,1-i)$ で計算します。

$$⟨x,y⟩=1\cdot \overline{2}+i\cdot \overline{(1-i)}=2+i(1+i)=1+i$$

順序を入れ替えると何が起きるか、確かめます。

$$⟨y,x⟩=2\cdot \overline{1}+(1-i)\cdot \overline{i}=2-i(1-i)=1-i$$

たしかに $⟨y,x⟩=\overline{⟨x,y⟩}$ です。順序を変えると、値が共役に化けました。

例：内積からノルムを作る

同じベクトルどうしの内積を取ると、必ず実数の非負値が出ます。$x=(1,i)$ で確かめます。

$$⟨x,x⟩=1\cdot \overline{1}+i\cdot \overline{i}=1+i(-i)=2$$

よって $\Vert x\Vert =\sqrt{2}$ になります。虚数の成分があっても、長さはきちんと実数です。

各成分の絶対値の 2 乗を足しているだけ、と読めば当たり前でしょう。共役を掛ける仕組みが、そのために効いています。

内積から定まるノルム

内積から $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ でノルムが定義できます。これがノルムの公理を満たすことは、次のコーシー・シュワルツの不等式から従います。

$$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$$

等号成立は $x$ と $y$ が線形従属のときに限ります。

コーシー・シュワルツの証明

$y\ne 0$ とし、任意のスカラー $t$ に対して $\Vert x-ty{\Vert }^2\ge 0$ が成り立つことを使います。左辺を展開します。

$$\Vert x{\Vert }^2-2\mathrm{Re}\left(\bar{t}⟨x,y⟩\right)+|t{|}^2\Vert y{\Vert }^2\ge 0$$

ここで $t=⟨x,y⟩/\Vert y{\Vert }^2$ と選びます。第 2 項と第 3 項が整理され、次の形が残ります。

$$\Vert x{\Vert }^2-\frac{|⟨x,y⟩{|}^2}{\Vert y{\Vert }^2}\ge 0$$

両辺に $\Vert y{\Vert }^2$ を掛けて平方根を取れば、コーシー・シュワルツの不等式です。

この $t$ の選び方は、$x$ から $y$ 方向の成分をちょうど引き去るものです。証明はすでに射影の計算になっています。

例：数値で確かめる

${\mathbb{R}}^3$ で $x=(1,2,3)$、$y=(4,5,6)$ とします。内積は $4+10+18=32$ です。

ノルムは $\Vert x\Vert =\sqrt{14}\approx 3.742$、$\Vert y\Vert =\sqrt{77}\approx 8.775$ で、積はおよそ $32.83$ になります。

$32\le 32.83$ で、不等式はぎりぎり成立しました。2 つのベクトルの向きがよく揃っているので、等号に近いのです。

例：積分版のコーシー・シュワルツ

$L^2[0,1]$ で $f(x)=x$、$g(x)=1$ とします。内積は積の積分です。

$$⟨f,g⟩={\int }_0^{1}x\cdot 1dx=\frac{1}{2}$$

ノルムは $\Vert f\Vert =1/\sqrt{3}\approx 0.577$、$\Vert g\Vert =1$ です。積も $0.577$ になります。

$0.5\le 0.577$ で成立します。関数の空間でも、同じ不等式がそのまま通用するのです。

三角不等式が出てくる

コーシー・シュワルツから、ノルムの三角不等式が導けます。$\Vert x+y{\Vert }^2$ を展開してみます。

$$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+2\mathrm{Re}⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2$$

$\mathrm{Re}⟨x,y⟩\le |⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \Vert y\Vert$ を使うと、右辺は $(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2$ 以下になります。

平方根を取れば $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ です。内積さえあれば、ノルムの公理はただで手に入ります。

ノルム空間と内積空間の違い

内積はノルムを生みますが、逆は一般に成り立ちません。長さの情報だけからは、角度を復元できないからです。

ただし例外があります。平行四辺形の法則を満たすノルムに限れば、内積が復元できます。この記事の後半の主題です。

ヒルベルト空間の定義

内積空間が、その内積から定まるノルムに関して完備であるとき、ヒルベルト空間 といいます。

完備とは、コーシー列が必ずその空間の中で収束することです。近づいているのに行き先がない、という穴がありません。

穴があると、極限を取る議論がすべて崩れます。無限次元の解析で完備性を要求するのは、そのためです。

構造の階段

上から下へ、構造は一方通行で落ちていきます。内積があればノルムがあり、ノルムがあれば距離があります。

逆向きに登るには条件が要ります。距離からノルムへは平行移動不変性と斉次性、ノルムから内積へは平行四辺形の法則です。

例：${\ell }^2$ は完備である

2 乗和が収束する数列の全体が ${\ell }^2$ です。コーシー列 $x^{(k)}$ を取ります。

各成分について $|x_i^{(k)}-x_i^{(l)}|\le \Vert x^{(k)}-x^{(l)}\Vert$ が成り立つので、成分ごとにコーシー列になり、極限 $x_i$ が定まります。

並べた $x$ が ${\ell }^2$ に入ることと、$\Vert x^{(k)}-x\Vert \to 0$ を確かめれば完備性が出ます。

${\ell }^2$ は無限次元ヒルベルト空間の原型です。可分なヒルベルト空間は、どれも ${\ell }^2$ と同型になります。

例：内積空間だがヒルベルト空間でない

$C[0,1]$ に $L^2$ 内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f\bar{g}dx$ を入れます。内積の公理はすべて満たします。

ところが完備ではありません。$[0,1/2]$ で $0$、$[1/2+1/n,1]$ で $1$、その間を直線でつないだ連続関数 $g_n$ を考えます。

$\Vert g_n-g_m\Vert$ は幅 $1/n$ 程度の区間だけの積分なので、$0$ に向かいます。$g_n$ はコーシー列です。

しかし行き先は $x=1/2$ で飛ぶ階段関数で、連続関数ではありません。内積があっても完備とは限らないのです。

例：有限次元なら自動的に完備

有限次元の内積空間は、必ずヒルベルト空間になります。${\mathbb{C}}^n$ と同型で、収束が成分ごとの収束に帰着するからです。

有限次元ではすべてのノルムが同値なので、完備性はノルムの選び方によりません。${\mathbb{R}}^n$ の完備性から、すべてが従います。

完備性を気にするのは、無限次元に出たときだけです。困難はいつも無限から来ます。

平行四辺形の法則

内積から定まるノルムは、次の 平行四辺形の法則 を満たします。

$$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2)$$

証明は展開するだけです。$\Vert x+y{\Vert }^2$ と $\Vert x-y{\Vert }^2$ を書き下すと、交差項 $2\mathrm{Re}⟨x,y⟩$ が符号違いで現れ、足すと消えます。

逆に、この法則を満たすノルムは内積から定まることが知られています（ヨルダン・フォン=ノイマンの定理）。

${\ell }^p$（$p\ne 2$）や $C[0,1]$（sup ノルム）はこの法則を満たさないため、ヒルベルト空間ではありません。

図で見る平行四辺形

2 辺を $x$ と $y$ とする平行四辺形を描き、2 本の対角線を引きます。

<div class="cont">
<svg viewBox="0 0 420 232" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="平行四辺形と 2 本の対角線">
<rect x="0" y="0" width="420" height="232" rx="10" fill="#fafbfc"/>
<polygon points="90,190 230,190 300,80 160,80" fill="#5b8def" fill-opacity="0.07" stroke="#c8ccd2" stroke-width="1.2"/>
<line x1="90" y1="190" x2="300" y2="80" stroke="#e0872f" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5 3"/>
<line x1="160" y1="80" x2="230" y2="190" stroke="#e5484d" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5 3"/>
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<line x1="90" y1="190" x2="160" y2="80" stroke="#3468d6" stroke-width="2"/>
<polygon points="230,190 221,186 221,194" fill="#3468d6"/>
<polygon points="160,80 158.6,89.7 151.8,85.5" fill="#3468d6"/>
<circle cx="90" cy="190" r="3" fill="#1b1d22"/>
<g font-family="Georgia, serif" font-style="italic" font-size="14" paint-order="stroke" stroke="#ffffff" stroke-width="3.5" stroke-linejoin="round">
<text x="158" y="209" fill="#3468d6">x</text>
<text x="104" y="128" fill="#3468d6">y</text>
<text x="246" y="104" fill="#c4772a">x + y</text>
<text x="220" y="164" fill="#c93c41">x − y</text>
</g>
<text x="82" y="205" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="11" text-anchor="end" fill="#9aa0a6">0</text>
<text x="210" y="222" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#1b1d22">対角線の 2 乗和は、4 辺の 2 乗和に等しい</text>
</svg>
</div>

.cont { margin: 0; text-align: center; }
.cont svg { width: 100%; max-width: 420px; height: auto; }

2 本の対角線が $x+y$ と $x-y$ です。法則は「対角線の 2 乗和は 4 辺の 2 乗和に等しい」と読み替えられます。

中線定理と呼ばれる初等幾何の事実そのものです。この等式の成立が内積の存在と同値になる、というのがヨルダン・フォン=ノイマンの定理の驚きです。

例：${\ell }^1$ は法則を破る

$x=(1,0)$、$y=(0,1)$ を ${\ell }^1$ ノルムで測ります。$x+y=(1,1)$、$x-y=(1,-1)$ です。

$\Vert x+y{\Vert }_1=2$、$\Vert x-y{\Vert }_1=2$ なので、左辺は $4+4=8$ になります。右辺は $2(1+1)=4$ です。

$8\ne 4$ で、法則は破れました。${\ell }^1$ ノルムを与える内積は存在しません。

同じ計算で ${\ell }^{\infty }$ も脱落します。左辺が $1+1=2$、右辺が $4$ です。

例：sup ノルムの $C[0,1]$ も破る

$f(x)=1$ と $g(x)=x$ を取ります。和は $1+x$、差は $1-x$ です。

区間 $[0,1]$ での最大値を見ます。$\Vert f+g{\Vert }_{\infty }=2$、$\Vert f-g{\Vert }_{\infty }=1$、$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\Vert g{\Vert }_{\infty }=1$ です。

左辺は $4+1=5$、右辺は $2(1+1)=4$。$5\ne 4$ なので、法則は成り立ちません。

$C[0,1]$ は sup ノルムで完備なバナッハ空間ですが、ヒルベルト空間ではないのです。この空間に角度を測る手段はありません。

内積の復元

ノルムが平行四辺形の法則を満たすとき、内積は 偏極恒等式 で復元できます。

$$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2+i\Vert x+iy{\Vert }^2-i\Vert x-iy{\Vert }^2\right)$$

実空間では虚数単位の項が消えます。

$$⟨x,y⟩=\frac{\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2}{4}$$

長さを何回か測るだけで、角度が分かってしまう。これが偏極恒等式の主張です。

例：実 2 次元で内積を復元する

$x=(1,2)$、$y=(3,4)$ とします。和は $(4,6)$、差は $(-2,-2)$ です。

$$\Vert x+y{\Vert }^2=16+36=52,\Vert x-y{\Vert }^2=4+4=8$$

偏極恒等式に入れると $(52-8)/4=11$ を得ます。

直接計算した内積は $1\cdot 3+2\cdot 4=11$。ぴたりと一致しました。長さだけから内積が出ています。

例：複素数で復元する

$H=\mathbb{C}$、$⟨x,y⟩=x\bar{y}$ とします。$x=1$、$y=i$ で試します。

まず実部にあたる 2 項です。$\Vert x+y{\Vert }^2=|1+i{|}^2=2$、$\Vert x-y{\Vert }^2=|1-i{|}^2=2$ で、差し引き $0$ になります。

残りの 2 項が効いてきます。$\Vert x+iy{\Vert }^2=|1+i\cdot i{|}^2=0$、$\Vert x-iy{\Vert }^2=|1-i\cdot i{|}^2=4$ です。

偏極恒等式は $(1/4)(2-2+i\cdot 0-i\cdot 4)=-i$ を与えます。直接計算の $1\cdot \bar{i}=-i$ と一致しました。

虚部の項がなければ、この $-i$ は出てきません。複素の場合に 4 つの項が要るのは、そのためです。

直交とピタゴラス

$⟨x,y⟩=0$ のとき、$x$ と $y$ は直交するといい、$x\perp y$ と書きます。

直交すれば $\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2$ が成り立ちます。展開で現れる交差項 $2\mathrm{Re}⟨x,y⟩$ が消えるからです。

ピタゴラスの定理が、無限次元でもそのまま生きています。三角関数の空間でも、量子状態の空間でも同じです。

例：$\sin$ と $\cos$ は直交する

$L^2[0,2\pi ]$ で計算します。積を積分するだけです。

$${\int }_0^{2\pi }\sin x\cos xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\sin 2xdx=0$$

積分が $0$ なので、2 つの関数は直交します。$\sin 2x$ が 2 周期ぶん振動し、正と負がきれいに打ち消し合うのです。

図で見る打ち消し

積 $\sin x\cos x$ のグラフと、その符号つき面積を描きます。

<div class="cont">
<svg viewBox="0 0 420 232" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="sin x と cos x の積の面積">
<rect x="0" y="0" width="420" height="232" rx="10" fill="#fafbfc"/>
<polygon points="60,120 80,98.8 100,90 120,98.8 140,120" fill="#3468d6" fill-opacity="0.18"/>
<polygon points="140,120 160,141.2 180,150 200,141.2 220,120" fill="#e5484d" fill-opacity="0.18"/>
<polygon points="220,120 240,98.8 260,90 280,98.8 300,120" fill="#3468d6" fill-opacity="0.18"/>
<polygon points="300,120 320,141.2 340,150 360,141.2 380,120" fill="#e5484d" fill-opacity="0.18"/>
<line x1="52" y1="120" x2="392" y2="120" stroke="#c8ccd2" stroke-width="1"/>
<line x1="60" y1="120" x2="60" y2="192" stroke="#d7dbe0" stroke-width="1" stroke-dasharray="3 3"/>
<line x1="220" y1="120" x2="220" y2="192" stroke="#d7dbe0" stroke-width="1" stroke-dasharray="3 3"/>
<line x1="380" y1="120" x2="380" y2="192" stroke="#d7dbe0" stroke-width="1" stroke-dasharray="3 3"/>
<polyline points="60,120 80,97 100,77.6 120,64.6 140,60 160,64.6 180,77.6 200,97 220,120 240,143 260,162.4 280,175.4 300,180 320,175.4 340,162.4 360,143 380,120" fill="none" stroke="#8aa0d8" stroke-width="1.6"/>
<polyline points="60,60 80,64.6 100,77.6 120,97 140,120 160,143 180,162.4 200,175.4 220,180 240,175.4 260,162.4 280,143 300,120 320,97 340,77.6 360,64.6 380,60" fill="none" stroke="#e0b07a" stroke-width="1.6"/>
<polyline points="60,120 80,98.8 100,90 120,98.8 140,120 160,141.2 180,150 200,141.2 220,120 240,98.8 260,90 280,98.8 300,120 320,141.2 340,150 360,141.2 380,120" fill="none" stroke="#1b1d22" stroke-width="2"/>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="11.5" paint-order="stroke" stroke="#ffffff" stroke-width="3" stroke-linejoin="round">
<text x="146" y="52" fill="#6a80b8">sin x</text>
<text x="386" y="52" text-anchor="end" fill="#b8894a">cos x</text>
<text x="72" y="113" fill="#1b1d22">sin x cos x</text>
</g>
<g font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="11" fill="#9aa0a6" text-anchor="middle">
<text x="60" y="205">0</text>
<text x="220" y="205">π</text>
<text x="380" y="205">2π</text>
</g>
<text x="210" y="224" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#1b1d22">青い面積と赤い面積が等しく、積分は 0 になる</text>
</svg>
</div>

.cont { margin: 0; text-align: center; }
.cont svg { width: 100%; max-width: 420px; height: auto; }

薄い 2 本が $\sin x$ と $\cos x$、濃い 1 本が積です。積の山と谷は、まったく同じ面積で正と負に分かれています。

塗った面積が過不足なく打ち消し合うこと。それが「直交する」という言葉の中身です。

例：三角関数系の直交性

もっと一般に、$m\ne n$ なら $\sin mx$ と $\sin nx$ は直交します。

$${\int }_0^{2\pi }\sin mx\sin nxdx=0(m\ne n)$$

$m=n$ のときは値が $\pi$ になります。長さを $1$ にそろえたければ、$\sqrt{\pi }$ で割ればよいわけです。

$1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots$ は、互いに直交する関数の無限列を作ります。フーリエ級数とは、この直交系による展開にほかなりません。

正規直交系

$⟨e_i,e_j⟩$ が $i=j$ のとき $1$、$i\ne j$ のとき $0$ になる列 $\{e_n\}$ を、正規直交系といいます。

正規直交系があれば、展開の係数はただの内積で求まります。$x={\sum }_n{c}_n{e}_n$ と書けるなら、$c_n=⟨x,e_n⟩$ です。

連立方程式を解く必要はありません。射影を 1 つずつ取るだけで係数が出る。これが直交性のご利益です。

例：${\ell }^2$ の標準基底

$e_n$ を、第 $n$ 成分だけが $1$ で残りが $0$ の数列とします。$⟨e_m,e_n⟩$ は $m=n$ のときだけ $1$ です。

任意の $x\in {\ell }^2$ は $x={\sum }_n{x}_n{e}_n$ と書け、係数は $x_n=⟨x,e_n⟩$ で取り出せます。

基底は無限個ありますが、和は ${\ell }^2$ ノルムの意味で収束します。無限次元でも「座標」が使えるのです。

例：グラム・シュミットで直交化する

一次独立なベクトルから正規直交系を作る手続きが、グラム・シュミットの直交化です。${\mathbb{R}}^3$ で回してみます。

$v_1=(1,1,1)$、$v_2=(1,1,0)$、$v_3=(1,0,0)$ から始めます。まず $u_1=v_1/\sqrt{3}$ とします。

$v_2$ から $v_1$ 方向の成分を引きます。$⟨v_2,v_1⟩=2$、$\Vert v_1{\Vert }^2=3$ なので、次のようになります。

$$w_2=v_2-\frac{2}{3}{v}_1=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)$$

$\Vert w_2\Vert =\sqrt{6}/3$ なので $u_2=(1,1,-2)/\sqrt{6}$ です。$⟨u_1,u_2⟩=(1+1-2)/\sqrt{18}=0$ で、たしかに直交しています。

例：3 本目を直交化する

$v_3=(1,0,0)$ からは、$v_1$ 方向と $w_2$ 方向の成分を両方引きます。

係数は $⟨v_3,v_1⟩/\Vert v_1{\Vert }^2=1/3$ と、$⟨v_3,(1,1,-2)⟩/6=1/6$ です。

$$w_3=(1,0,0)-\frac{1}{3}(1,1,1)-\frac{1}{6}(1,1,-2)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$$

正規化して $u_3=(1,-1,0)/\sqrt{2}$ を得ます。3 本のベクトルが、互いに直交する 3 本に化けました。

引き算のたびに直交成分だけが残る。この単純な操作が、あらゆる直交基底の作り方です。

例：ルジャンドル多項式を作る

同じ手続きを関数空間で回すと、有名な多項式列が出てきます。$L^2[-1,1]$ で $1,x,x^2$ を直交化します。

$p_0=1$ です。次に $x$ から $p_0$ 方向の成分を引きますが、${\int }_{-1}^{1}xdx=0$ なので、引くものがありません。$p_1=x$ のままです。

$x^2$ からは 2 つ引きます。${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=2/3$、${\int }_{-1}^{1}1dx=2$、${\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=0$ を使います。

$$p_2=x^2-\frac{2/3}{2}\cdot 1-0\cdot x=x^2-\frac{1}{3}$$

これがルジャンドル多項式です。定数倍を調整すると、教科書に載る標準形 $P_2(x)=(3x^2-1)/2$ になります。

直交多項式は、グラム・シュミットの副産物にすぎません。ルジャンドルもチェビシェフもエルミートも、重みを変えて同じ手続きを回しただけです。

ベッセルの不等式

正規直交系 $\{e_n\}$ に対して、係数の 2 乗和はノルムを超えません。

$$\sum _n|⟨x,e_n⟩{|}^2\le \Vert x{\Vert }^2$$

射影で取り出した成分の合計が、もとのベクトルより大きくなることはない。当たり前のことを言っています。

等号が成り立つのは、$\{e_n\}$ が取りこぼしなく空間を張るときです。そのとき正規直交基底と呼びます。

パーセバルの等式

$\{e_n\}$ が正規直交基底なら、ベッセルの不等式は等式になります。

$$\Vert x{\Vert }^2=\sum _n|⟨x,e_n⟩{|}^2$$

ピタゴラスの定理の無限版です。長さの 2 乗は、各方向の成分の 2 乗和に等しい。

内積そのものも $⟨x,y⟩={\sum }_n⟨x,e_n⟩\overline{⟨y,e_n⟩}$ と書けます。空間はまるごと ${\ell }^2$ に写ります。

例：パーセバルからバーゼル問題を解く

$f(x)=x$ を $[-\pi ,\pi ]$ でフーリエ展開します。奇関数なので $\sin$ の項だけが残り、係数は $b_n=2(-1{)}^{n+1}/n$ です。

パーセバルの等式は、この設定で次の形になります。

$${\int }_{-\pi }^{\pi }{x}^{2}dx=\pi \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n^2$$

左辺は $2{\pi }^3/3$、右辺は $\pi \sum 4/n^2$ です。両辺を並べて整理します。

$$\frac{2{\pi }^3}{3}=4\pi \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}⟹\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

バーゼル問題の答えが落ちてきました。同じ関数の長さを 2 通りに測っただけで、${\pi }^2/6$ が転がり出てくるのです。

射影定理

ヒルベルト空間の主役が、次の定理です。

完備性がなければ、最短点の存在は保証されません。距離が下限に近づくのに、その点が空間にない、という事態が起こるからです。

有限次元の直感がそのまま無限次元で通用するのは、この定理のおかげです。

図で見る直交射影

閉部分空間 $M$ を直線とみなし、$x$ から垂線を下ろします。

<div class="cont">
<svg viewBox="0 0 420 215" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" role="img" aria-label="部分空間への直交射影">
<rect x="0" y="0" width="420" height="215" rx="10" fill="#fafbfc"/>
<line x1="70" y1="170" x2="350" y2="100" stroke="#6b7280" stroke-width="1.6"/>
<line x1="197" y1="56" x2="216" y2="134" stroke="#e5484d" stroke-width="1.8" stroke-dasharray="5 3"/>
<line x1="99" y1="163" x2="197" y2="56" stroke="#3468d6" stroke-width="2"/>
<line x1="99" y1="163" x2="216" y2="134" stroke="#2e9e6b" stroke-width="2"/>
<polyline points="206.3,136.4 203.9,126.7 213.6,124.3" fill="none" stroke="#e5484d" stroke-width="1.2"/>
<circle cx="99" cy="163" r="3" fill="#1b1d22"/>
<circle cx="197" cy="56" r="3.5" fill="#3468d6"/>
<circle cx="216" cy="134" r="3.5" fill="#2e9e6b"/>
<g font-family="Georgia, serif" font-style="italic" font-size="14" paint-order="stroke" stroke="#ffffff" stroke-width="3.5" stroke-linejoin="round">
<text x="203" y="50" fill="#3468d6">x</text>
<text x="224" y="150" fill="#2e9e6b">Px</text>
<text x="228" y="92" fill="#c93c41">x − Px</text>
<text x="356" y="98" fill="#6b7280">M</text>
</g>
<text x="91" y="176" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="11" text-anchor="end" fill="#9aa0a6">0</text>
<text x="210" y="204" font-family="ui-sans-serif, system-ui, sans-serif" font-size="12" text-anchor="middle" fill="#1b1d22">残差は M と直交し、Px は x に最も近い M の点になる</text>
</svg>
</div>

.cont { margin: 0; text-align: center; }
.cont svg { width: 100%; max-width: 420px; height: auto; }

垂線の足が $Px$ で、残差 $x-Px$ は $M$ と直角に交わります。最短距離を与える点が垂線の足になる、という初等幾何の事実です。

無限次元でも、絵はこのままです。$M$ が閉じていること、空間が完備であること。その 2 つが、この絵を支えています。

例：直線への射影を計算する

${\mathbb{R}}^3$ で $u=(1,1,1)$ が張る直線に、$x=(1,2,3)$ を射影します。

$$Px=\frac{⟨x,u⟩}{\Vert u{\Vert }^2}u$$

$⟨x,u⟩=6$、$\Vert u{\Vert }^2=3$ なので、$Px=2u=(2,2,2)$ です。

残差は $x-Px=(-1,0,1)$ になります。$⟨(-1,0,1),u⟩=-1+0+1=0$ で、たしかに直交しています。

$x$ が「$u$ 方向の成分」と「それに垂直な成分」に分かれました。直交分解が数値で見えています。

例：最小二乗法は射影である

3 点 $(1,1)$、$(2,2)$、$(3,2)$ に直線 $y=a+bx$ を当てはめます。方程式は 3 本、未知数は 2 つで、ぴったり通る直線はありません。

正規方程式を解くと $b=1/2$、$a=2/3$ が出ます。当てはめた直線は $y=2/3+x/2$ です。

$x=1,2,3$ での予測値は $7/6$、$5/3$、$13/6$ になります。残差ベクトルは $(-1/6,1/3,-1/6)$ です。

例：残差が直交していることを確かめる

最小二乗が射影なら、残差は当てはめに使った方向すべてと直交するはずです。2 本の列ベクトルで検算します。

定数項の列は $(1,1,1)$ です。内積は $-1/6+1/3-1/6=0$ で直交しています。

$x$ の列は $(1,2,3)$ です。内積は $-1/6+2/3-1/2=0$ で、こちらも直交します。

観測値を列空間へ落とした影が最小二乗解でした。統計の道具に見えて、正体はヒルベルト空間の射影定理です。

リースの表現定理

ヒルベルト空間 $H$ 上の連続線形汎関数 $f$ は、ある $y\in H$ を使って $f(x)=⟨x,y⟩$ と必ず書けます。

しかも $y$ は一意で、$\Vert f\Vert =\Vert y\Vert$ が成り立ちます。汎関数と点が 1 対 1 に対応するのです。

$H$ の双対空間は $H$ 自身と同一視できます。この自己双対性が、ヒルベルト空間を飛び抜けて扱いやすくしています。

例：${\mathbb{C}}^2$ でのリース表現

$f(x)=2x_1+3i{x}_2$ という汎関数を考えます。これを $⟨x,y⟩=x_1\overline{y_1}+x_2\overline{y_2}$ の形にしたい。

$\overline{y_1}=2$、$\overline{y_2}=3i$ とすればよいので、$y=(2,-3i)$ です。

係数の共役を取るだけで、対応する点が見つかりました。有限次元では、リースの定理はただの計算になります。

例：積分汎関数の表現

$L^2[0,1]$ の上で $f(g)={\int }_0^{1}g(x)dx$ とします。これは連続線形汎関数です。

定数関数 $1$ を使えば $f(g)=⟨g,1⟩$ と書けます。$f$ を表現するベクトルは $y=1$ です。

ノルムは $\Vert f\Vert =\Vert 1\Vert =1$ になります。「平均を取る」という操作が、1 本のベクトルとして空間の中に住んでいるのです。

量子力学との対応

ヒルベルト空間が物理の言語になったのは、フォン・ノイマンによる定式化からです。

確率が内積の 2 乗で出てくる。この一点に、量子力学がヒルベルト空間を使う理由が凝縮されています。

観測量が実数値であるという物理の要請が、作用素の性質として翻訳されているのです。

例：スピンの測定確率

2 準位系は ${\mathbb{C}}^2$ で表せます。上向きと下向きを $e_1=(1,0)$、$e_2=(0,1)$ としましょう。

状態 $\psi =(e_1+e_2)/\sqrt{2}$ を考えます。ノルムは $\sqrt{1/2+1/2}=1$ で、たしかに単位ベクトルです。

上向きが観測される確率は $|⟨e_1,\psi ⟩{|}^2=|1/\sqrt{2}{|}^2=1/2$ になります。下向きも同じく $1/2$ です。

重ね合わせとは、2 つの状態の「どちらでもある」ことではありません。射影の 2 乗が確率を与える、というだけの話です。

偏微分方程式との対応

ポアソン方程式 $-\Delta u=f$ を解くとき、まず解の住む空間を選びます。微分可能性の要求をゆるめた関数空間を使うのです。

方程式は積分の形に書き換えます。すべての $v$ に対して $\int \nabla u\cdot \nabla vdx=\int fvdx$ となる $u$ を探す、という問題です。

この $u$ を弱解といいます。2 階微分を要求しないので、解の候補がぐっと広がります。

例：ラックス・ミルグラムの定理

左辺を双線形形式 $a(u,v)$、右辺を連続線形汎関数と見ます。問題は $a(u,v)=f(v)$ を全ての $v$ で満たす $u$ を見つけることです。

$a$ が有界で、かつ強圧的（$a(v,v)\ge c\Vert v{\Vert }^2$）であれば、そのような $u$ がただ 1 つ存在します。これがラックス・ミルグラムの定理です。

証明の骨格はリースの表現定理です。汎関数を内積で表し、双線形形式が定める作用素が全単射であることを示します。

微分方程式の解の存在が、内積と完備性だけから出てきました。ヒルベルト空間が偏微分方程式の標準言語になった理由です。

理解の確認

無限次元に幾何を持ち込む

垂線を下ろし、成分に分解し、ピタゴラスの定理を使う。有限次元で覚えた操作が、関数の空間でもそっくり動きます。

フーリエ級数は正規直交系による展開であり、最小二乗法は射影であり、量子力学の確率は内積の 2 乗でした。見た目の違う 3 つが、同じ構造から出てきます。

この先には、自己共役作用素のスペクトル定理が待っています。有限次元の対角化が無限次元でどこまで生き延びるか、という問いです。

内積と完備性。この 2 つを備えた空間だけが、無限次元でユークリッド幾何の直感を許してくれます。