ヒルベルト空間の定義と内積

ヒルベルト空間は内積が定義されたバナッハ空間であり、量子力学や偏微分方程式の理論で中心的な役割を果たします。

内積の定義

複素ベクトル空間 $H$ 上の写像 $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : H \times H \to C$ が次の条件を満たすとき、内積といいます。

線形性（第1成分）

$⟨ αx + β y, z ⟩ = α ⟨ x, z ⟩ + β ⟨ y, z ⟩$

共役対称性

$⟨ x, y ⟩ = \overline{⟨ y, x ⟩}$

正値性

$⟨ x, x ⟩ \geq 0$ かつ $⟨ x, x ⟩ = 0 \Leftrightarrow x = 0$

実ベクトル空間の場合は、共役対称性が単に $⟨ x, y ⟩ = ⟨ y, x ⟩$ となります。

内積から $∥ x ∥ = ⟨ x, x ⟩$ でノルムが定義できます。これがノルムの公理を満たすことは、次のコーシー・シュワルツの不等式から従います。

$∣ ⟨ x, y ⟩ ∣ \leq ∥ x ∥ \cdot ∥ y ∥$

等号成立は $x$ と $y$ が線形従属のときに限ります。

内積空間が、その内積から定まるノルムに関して完備であるとき、ヒルベルト空間 といいます。

$R^{n}$ , $C^{n}$	標準内積 $⟨ x, y ⟩ = \sum_{i} x_{i} \overline{y_{i}}$
$ℓ^{2}$	内積 $⟨ x, y ⟩ = \sum_{n = 1}^{\infty} x_{n} \overline{y_{n}}$
$L^{2} (Ω)$	内積 $⟨ f, g ⟩ = \int_{Ω} f (x) \overline{g (x)} d x$

内積から定まるノルムは、次の 平行四辺形の法則 を満たします。

$∥ x + y ∥^{2} + ∥ x - y ∥^{2} = 2 (∥ x ∥^{2} + ∥ y ∥^{2})$

逆に、この法則を満たすノルムは内積から定まることが知られています（ヨルダン・フォン=ノイマンの定理）。

$ℓ^{p}$ （ $p \neq = 2$ ）や $C [0, 1]$ （sup ノルム）はこの法則を満たさないため、ヒルベルト空間ではありません。

ノルムが平行四辺形の法則を満たすとき、内積は 偏極恒等式 で復元できます。

$⟨ x, y ⟩ = \frac{1}{4} (∥ x + y ∥^{2} - ∥ x - y ∥^{2} + i ∥ x + i y ∥^{2} - i ∥ x - i y ∥^{2})$

実空間では虚数単位の項が消えます。