バナッハ空間とは何か：完備性のイメージ

バナッハ空間は「完備なノルム空間」と定義されますが、この「完備」という性質がなぜ重要なのかを具体例で説明します。

完備性がないと何が困るか

有理数 $Q$ は完備ではありません。たとえば

$1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \dots$

という数列は $2$ に近づいていきますが、 $2$ は有理数ではありません。この数列はコーシー列（項どうしがいくらでも近づく）なのに、 $Q$ の中に極限が存在しないのです。

完備な空間では、このような「行き先のないコーシー列」が存在しません。すべてのコーシー列がちゃんと空間内の点に収束します。

関数解析では、近似列を作って極限をとる議論が頻繁に登場します。

微分方程式の解の構成

ピカールの逐次近似法では、関数列 $f_{0}, f_{1}, f_{2}, \dots$ を作り、その極限として解を得ます。空間が完備でないと、極限が存在する保証がありません。

フーリエ級数の収束

$L^{2}$ 空間でフーリエ級数が収束するのは、 $L^{2}$ が完備だからです。完備でない空間では、級数が「どこにも収束しない」可能性があります。

完備でない空間は「完備化」できます。 $Q$ を完備化すると $R$ が得られるように、ノルム空間を完備化するとバナッハ空間になります。

しかし最初から完備な空間で議論するほうが便利なので、関数解析ではバナッハ空間を舞台にすることが多いのです。

空間が完備かどうかを直接確認するのは大変です。よく使われる事実として

「この空間はバナッハ空間である」という事実を知っておくと、極限操作を安心して行えます。