拡大率に天井があるか - 有界作用素をどう見るか

線形作用素 $T$ が有界であるとは、ベクトルの長さを何倍まで伸ばしうるか、という倍率に天井があることです^[1]。

$$\Vert Tx\Vert \le M\Vert x\Vert$$

向きごとに倍率は違います。ある向きでは大きく伸び、別の向きでは縮む。そのばらつきを全部見わたして、いちばん大きい倍率が有限かどうかを問うている^[2]。

いちばん大きい倍率そのものが作用素ノルム $\Vert T\Vert$ です^[2]。「有界かどうか」と「ノルムがいくつか」は、同じ量を別の角度から見た問いになります。

倍率を向きごとに見る

${\mathbb{R}}^2$ の行列で試すと分かりやすい。単位円の各点で $\Vert Tx\Vert$ を測り、向きの関数として並べます。

いちばん高いところが $\Vert T\Vert$、いちばん低いところがいちばん潰す倍率。行列でいえば最大特異値と最小特異値にあたります^[2]。

有限次元なら天井は必ずある

行列で書ける写像は、すべて有界です^[1,4]。向きが有限次元ぶんしかないので、倍率が発散する逃げ場がありません。

だから線形代数では「有界」という言葉が出てきません。全部有界なので、区別する必要がない。

無限次元へ移ると事情が変わります。向きが無限にあり、進むほど倍率が上がっていく方向を作れてしまう^[3]。

例：微分は天井を持たない

$C^1[0,1]$ に最大値ノルムを入れ、$Df=f^{\prime }$ を考えます^[3]。

$f_n(x)=x^n$ をとると、高さは $1$ のままです。ところが端での傾きは $n$ まで立ちます。

$$\Vert f_n{\Vert }_{\infty }=1,\Vert D{f}_n{\Vert }_{\infty }=n$$

倍率が $n$ になり、$n$ をいくらでも大きくとれる。天井になる定数が存在しません^[1]。

「関数の大きさ」と「関数の変化の速さ」が別の量だ、というだけの話です。小さい関数でもいくらでも急に振れます。

倍率が上がる別の見方もあります。$u(x)=e^{\lambda x}$ は $Du=\lambda u$ を満たすので、$\lambda$ を大きくとれば倍率がそのまま $\lambda$ になる^[3]。

例：数列空間なら天井がそのまま見える

${\ell }^2$ の上で、成分ごとに定数を掛ける作用素を考えます。倍率のばらつきが数列としてそのまま並ぶ、いちばん見やすい例です。

$$T(x_1,x_2,x_3,\dots )=(a_1{x}_1,a_2{x}_2,a_3{x}_3,\dots )$$

$e_n$ を送ると $a_n{e}_n$ になるので、$n$ 番目の向きでの倍率がちょうど $|a_n|$。作用素ノルムはその上限になります。

$$\Vert T\Vert =\underset{n}{\sup }|a_n|$$

$a_n=1/n$ なら倍率は $1$ から $0$ へ落ちていき、天井は $1$。$a_n=n$ なら倍率が青天井で、有界でありません。

同じ形の作用素なのに、係数の列が有界かどうかだけで結論が分かれる。無限次元で何が起きているかが、この例にいちばん短く出ています。

天井があることと連続であることが同じ

線形写像に限ると、有界性と連続性が一致します^[1]。

倍率に天井があると、入力を少し動かしたときの出力の動きが、その天井の倍までに収まります。

$$\Vert Tx-Ty\Vert =\Vert T(x-y)\Vert \le M\Vert x-y\Vert$$

入力の差がそのまま出力の差を押さえる。リプシッツ連続そのものです^[2]。

逆向きは、原点のそばだけ見れば足ります。原点で連続なら、小さい入力に対する出力が小さい。あとは線形性で拡大すれば、全体の天井が出ます^[1]。

なぜ有界なものだけを扱うのか

非有界な作用素は、扱いにくいというより、扱い方が変わります^[3]。

天井がないと、入力の小さな誤差が出力で無限に増幅されうる。数値計算でいう不安定さが、そのまま作用素の言葉になった状態です。

そこで定義域を狭めたり、ノルムを替えたりします。$C^1$ に微分まで込みのノルムを入れると、微分作用素が有界になる。

$$\Vert f{\Vert }_{C^1}=\Vert f{\Vert }_{\infty }+\Vert f^{\prime }{\Vert }_{\infty }$$

このノルムで測れば $\Vert Df{\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_{C^1}$ なので、倍率の天井が $1$ になります。ソボレフ空間を使う動機も、大きくはここにあります。

例：見慣れた作用素の倍率

いくつか並べておきます。どれも「いちばん伸ばす倍率」を読むだけ^[2]。

射影の行が示すとおり、倍率は向きによって $0$ にもなります。いちばん大きいところだけを見る量が作用素ノルム、というのはそういう意味です。

よくある誤り

参考文献