双対空間はベクトルを測る道具の集まりだと思えばいい

双対空間 $X^{\ast }$ は、$X$ の上の有界線形汎関数を全部集めたものです^[1]。

汎関数はベクトルを入れると数をひとつ返します。この数を「ある側面を測った結果」と読むと、$X^{\ast }$ が測定器の棚に見えてくる。

${\mathbb{R}}^3$ の $\phi (x)=2x_1+3x_2$ なら、$x_1$ 成分を $2$ 倍、$x_2$ 成分を $3$ 倍して足した量を測っています。$x_3$ 成分のほうは見ていない。

測定器を替えると、同じベクトルから別の数が返ります。1 台では分からないことも、たくさん当てれば見えてくる。

測定器はどれくらいそろっているか

道具として使えるかどうかは、そろい方で決まります。2 つのベクトルを区別できる測定器があるか、という問いが出発点。

ハーン・バナッハの定理が、これを保証します^[3]。$x\ne y$ なら、$\phi (x)\ne \phi (y)$ となる $\phi$ が必ずある。

もっと強いことも言えます。どの $x$ にも、ちょうどその長さを読みとる測定器がある^[3]。

$$\Vert \phi \Vert =1,\phi (x)=\Vert x\Vert$$

ノルムを「いちばん都合のよい測定器で読んだ値」と言い直せます。

$$\Vert x\Vert =\underset{\Vert \phi \Vert \le 1}{\max }|\phi (x)|$$

この保証がないと、双対空間が空っぽかもしれない、という心配が残ります。定理があってはじめて、道具として数えられる^[5]。

弱収束は「どの測定器でも近づく」

測定器の言葉で書き直すと、意味の見えやすくなる概念があります。弱収束がそれです^[4]。

$x_n$ が $x$ に弱収束するとは、どの測定器で測っても値が近づくこと。

$$\phi (x_n)⟶\phi (x)(\forall \phi \in X^{\ast })$$

ノルムでの収束より弱い条件です。値がそろっていくのに、ベクトルそのものは近づかないことがある。

${\ell }^2$ の標準基底 $e_n$ が分かりやすい例。どの $y\in {\ell }^2$ についても $⟨e_n,y⟩=y_n\to 0$ なので、$e_n$ は $0$ に弱収束します。

ところが $\Vert e_n\Vert =1$ のままで、$\Vert e_n-0\Vert$ は $0$ に落ちません。どの測定器でも $0$ に見えるのに、長さは変わっていない。

作用素を測定器の側から見る

$T:X\to Y$ があるとき、$Y$ の測定器を $X$ の測定器に引き戻せます^[1]。

$\psi \in Y^{\ast }$ に対し、$x$ をまず $T$ で送ってから $\psi$ で測る、という手続きを考える。合わせて 1 台の測定器になります。

$$(T^{\ast }\psi )(x)=\psi (Tx)$$

これが共役作用素 $T^{\ast }:Y^{\ast }\to X^{\ast }$ です。向きが逆になるところが要点。$X$ から $Y$ への作用素が、$Y^{\ast }$ から $X^{\ast }$ への作用素を生みます。

ノルムは変わりません。$\Vert T^{\ast }\Vert =\Vert T\Vert$ が成り立ちます^[5]。

測定器の棚から空間を見分ける

双対をとると、もとの空間の性質が見えます^[1]。

${\ell }^p$ の測定器は ${\ell }^q$ の元で書けます（$1/p+1/q=1$）。$L^p$ でも同じで、$p=2$ なら自分自身が測定器の棚になる^[2]。

$C[a,b]$ になると事情が変わります。積分する測定器だけでは足りず、1 点での値を返す測定器も入る。棚の正体はラドン測度の空間です^[5]。

もう一段進めて、測定器の測定器を考えることもできます。$X^{\ast \ast }$ をとって、もとの $X$ がそこに収まりきるかどうかを見る。収まりきるとき、$X$ を反射的といいます^[4]。

何がうれしいのか

測定器の側へ移ると、扱いにくい対象が扱いやすくなります。

無限次元では、有界な列から収束する部分列がとれるとは限りません。ところが弱収束まで許すと、反射的な空間では必ずとれる^[4]。

最適化で解の存在を言うときに、この違いが効いてきます。強い意味では収束しなくても、弱い意味で収束先を用意できる。

微分方程式の弱解も同じ発想です。方程式をそのまま解く代わりに、測定器で測った等式が成り立つものを解と呼ぶ。

よくある誤り

参考文献