ℓ^p 空間の具体例と計算

${\ell }^p$ 空間は数列からなる空間で、関数解析の具体例として最もわかりやすいものの一つです。計算しながら性質を確認しましょう。

${\ell }^p$ 空間の定義

実数列 $x=(x_1,x_2,x_3,\dots )$ に対して、$1\le p<\infty$ のとき

$$\Vert x{\Vert }_p={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p\right)}^{1/p}$$

が有限になるもの全体を ${\ell }^p$ と書きます。$p=\infty$ のときは

$$\Vert x{\Vert }_{\infty }=\underset{n}{\sup }|x_n|$$

が有限になるもの全体を ${\ell }^{\infty }$ とします。

具体的な数列の計算

$x=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots )$ を考えます。

${\ell }^1$ ノルム：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ は発散するので、$x\notin {\ell }^1$

${\ell }^2$ ノルム：${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ なので、$\Vert x{\Vert }_2=\frac{\pi }{\sqrt{6}}$、$x\in {\ell }^2$

${\ell }^{\infty }$ ノルム：${\sup }_n\frac{1}{n}=1$ なので、$\Vert x{\Vert }_{\infty }=1$、$x\in {\ell }^{\infty }$

空間の包含関係

一般に $p<q$ ならば ${\ell }^p\subset {\ell }^q$ です。

$${\ell }^1\subset {\ell }^2\subset {\ell }^3\subset \cdots \subset {\ell }^{\infty }$$

上の例の $x$ は ${\ell }^2$ には入るが ${\ell }^1$ には入らない、ということでした。

${\ell }^2$ の内積

${\ell }^2$ は内積

$$⟨x,y⟩=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$$

をもち、ヒルベルト空間になります。${\ell }^p$（$p\ne 2$）では内積が定義できません。

双対空間

たとえば ${\ell }^2$ の双対は ${\ell }^2$ 自身、${\ell }^3$ の双対は ${\ell }^{3/2}$ です。