ℓp 空間の包含関係と完備性（ℓ2 だけが内積から来る理由）

$x=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots \right)$ を ${\ell }^1$ で測ると、$\sum \frac{1}{n}$ が発散します。${\ell }^2$ で測れば $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ で有限。

同じ数列でも、$p$ を替えると入る空間と入らない空間に分かれる。$p$ が大きいほど条件はゆるくなります。

${\ell }^p$ 空間の定義

実数列 $x=(x_1,x_2,x_3,\dots )$ に対して、$1\le p<\infty$ のときのノルムを次で定めます。

$$\Vert x{\Vert }_p={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p\right)}^{1/p}$$

これが有限になる数列の全体が ${\ell }^p$ です。$p=\infty$ では、和のかわりに上限をとる。

$$\Vert x{\Vert }_{\infty }=\underset{n}{\sup }|x_n|$$

有界な数列の全体が ${\ell }^{\infty }$ になります。

例：$\frac{1}{n}$ を 3 通りで測る

$p$ が $1$ から $2$ へ動いただけで、外にいた数列が中に入りました。

$p$ を大きくすると空間は広くなる

$p<q$ なら $\Vert x{\Vert }_q\le \Vert x{\Vert }_p$ が成り立ち、この 1 本から包含 ${\ell }^p\subset {\ell }^q$ が導けます。

$x\ne 0$ とし、$y=\frac{x}{\Vert x{\Vert }_p}$ とおきます。$\Vert y{\Vert }_p=1$ だから、どの成分も $|y_n{|}^p\le 1$、つまり $|y_n|\le 1$。

$1$ 以下の数は、指数を大きくすると小さくなります。$q>p$ なので $|y_n{|}^q\le |y_n{|}^p$ で、和をとると次のようになる。

$$\sum _{n=1}^{\infty }|y_n{|}^q\le \sum _{n=1}^{\infty }|y_n{|}^p=1$$

$\Vert y{\Vert }_q\le 1$ です。$x$ に戻せば $\Vert x{\Vert }_q\le \Vert x{\Vert }_p$ になる。

右辺が有限なら左辺も有限。だから ${\ell }^p$ の数列は ${\ell }^q$ にも入ります。

$q=\infty$ でも同じ形になる。$|x_n{|}^p\le {\sum }_k|x_k{|}^p$ から $\Vert x{\Vert }_{\infty }\le \Vert x{\Vert }_p$ が導けます。

例：すき間に入る数列

包含は真です。$x_n=n^{-1/p}$ とおくと、${\ell }^p$ には入らないのに ${\ell }^q$ には入る。

$p$ 乗すると $|x_n{|}^p=\frac{1}{n}$ で、和は発散します。$q$ 乗すると $|x_n{|}^q=n^{-q/p}$ になり、$\frac{q}{p}>1$ だから収束する。

$p=1$ なら $x_n=\frac{1}{n}$、$p=2$ なら $x_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ です。冒頭の数列は、${\ell }^1$ と ${\ell }^2$ のすき間にいました。

${\ell }^2$ だけが内積から来る

${\ell }^2$ には内積が入ります。

$$⟨x,y⟩=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$$

コーシー・シュワルツの不等式から和は絶対収束し、$⟨x,x⟩=\Vert x{\Vert }_2^2$ になる。

ほかの $p$ では、この形が置けません。内積から来るノルムは中線定理 $\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$ を満たすので、$e_1$ と $e_2$ で試します。

$e_1+e_2=(1,1,0,\dots )$、$e_1-e_2=(1,-1,0,\dots )$ で、どちらも $p$ ノルムは $2^{1/p}$。左辺と右辺を並べます。

$$2\cdot {\left(2^{1/p}\right)}^2=2^{1+2/p},2(1+1)=2^2$$

等しくなるのは $1+\frac{2}{p}=2$、つまり $p=2$ のときだけです。$p=\infty$ では左辺が $2$、右辺が $4$ で合わない。

中線定理が破れればノルムは内積から来ません。${\ell }^p$ のノルムを与える内積は、$p=2$ 以外には存在しない。

${\ell }^p$ は完備

$1\le p\le \infty$ のどれでも ${\ell }^p$ は完備です^[1]。有限 $p$ で確かめます。

$(x^{(m)}{)}_m$ を ${\ell }^p$ のコーシー列とします。成分ごとに $|x_n^{(m)}-x_n^{(l)}|\le \Vert x^{(m)}-x^{(l)}{\Vert }_p$ が成り立つ。

$n$ を止めると $(x_n^{(m)}{)}_m$ は $\mathbb{R}$ のコーシー列です。$\mathbb{R}$ は完備だから極限が決まり、それを $x_n$ とおく。

次に、この $x$ が行き先になることを見ます。$\epsilon >0$ をとり、$m,l\ge N$ なら $\Vert x^{(m)}-x^{(l)}{\Vert }_p\le \epsilon$ となる $N$ を選ぶ。

どの $K$ についても、有限個の和は次で押さえられる。

$$\sum _{n=1}^K{\left|x_n^{(m)}-x_n^{(l)}\right|}^p\le {\epsilon }^p$$

$l\to \infty$ とすると、左辺は ${\sum }_{n=1}^K|x_n^{(m)}-x_n{|}^p$ になる。$K$ は何でもよいので、無限和にしても ${\epsilon }^p$ を超えません。

つまり $\Vert x^{(m)}-x{\Vert }_p\le \epsilon$ です。$x=x^{(m)}-(x^{(m)}-x)$ と書けば、右の 2 つがどちらも ${\ell }^p$ の元だから $x$ も ${\ell }^p$ に入る。

行き先が同じ空間の中にあり、${\ell }^p$ はバナッハ空間になります。

双対空間

$1\le p<\infty$ のとき、${\ell }^p$ 上の有界線形汎関数は ${\ell }^q$ の数列との内積の形に書けます^[2]。

${\ell }^2$ の双対は ${\ell }^2$ 自身、${\ell }^3$ の双対は ${\ell }^{3/2}$ です。$p$ と $q$ は、足して $1$ になる逆数の組で対応する。

表に ${\ell }^{\infty }$ がないのは、そこだけ形が違うためです。${\ell }^{\infty }$ の双対は ${\ell }^1$ より真に大きく、${\ell }^1$ の数列では書けない汎関数があります。

まちがえやすい点

$p$ を動かすと、ノルムの値だけでなく空間の中身が入れかわります。どこまでゆるめるかを $p$ が決めていて、$p=2$ のところにだけ内積が乗る。

参考