L² 空間で学ぶヒルベルト空間の基本

$L^2$ 空間は関数を「2乗積分可能」という条件で集めた空間です。フーリエ解析や量子力学で中心的な役割を果たします。

$L^2$ 空間の定義

区間 $[a,b]$ 上の関数 $f$ で

$${\int }_a^b|f(x){|}^{2}dx<\infty$$

を満たすもの全体を $L^2[a,b]$ と書きます。ノルムは

$$\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{{\int }_a^b|f(x){|}^{2}dx}$$

で定義されます。

具体例

$[0,1]$ 上で $f(x)=x$ のとき

$$\Vert f{\Vert }_2=\sqrt{{\int }_0^1{x}^{2}dx}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$ のとき

$${\int }_0^1\frac{1}{x}dx=\infty$$

なので $f\notin L^2[0,1]$ です。原点で発散が激しすぎます。

内積とヒルベルト空間

$L^2$ には内積

$$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(x)\overline{g(x)}dx$$

が定義でき、これによってヒルベルト空間になります。

フーリエ級数との関係

$L^2[-\pi ,\pi ]$ において、$\{1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\dots \}$ は直交系をなします。正規化すると正規直交基底になります。

関数 $f\in L^2[-\pi ,\pi ]$ のフーリエ級数は、この正規直交基底による展開です。

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

この級数は $L^2$ ノルムの意味で $f$ に収束します。

$L^2$ と ${\ell }^2$ の関係

$L^2$ の元をフーリエ係数の列 $(a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,\dots )$ に対応させると、${\ell }^2$ の元が得られます。パーセバルの等式

$$\Vert f{\Vert }_2^2=\frac{|a_0{|}^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(|a_n{|}^2+|b_n{|}^2)$$

はこの対応が等距離同型であることを示しています。