空間は関数を「2乗積分可能」という条件で集めた空間です。フーリエ解析や量子力学で中心的な役割を果たします。
空間の定義
区間 上の関数 で
を満たすもの全体を と書きます。ノルムは
で定義されます。
具体例
上で のとき
のとき
なので です。原点で発散が激しすぎます。
内積とヒルベルト空間
には内積
が定義でき、これによってヒルベルト空間になります。
直交の例
上で と は直交します。
正規化
なので、 はノルム です。
フーリエ級数との関係
において、 は直交系をなします。正規化すると正規直交基底になります。
関数 のフーリエ級数は、この正規直交基底による展開です。
この級数は ノルムの意味で に収束します。
と の関係
の元をフーリエ係数の列 に対応させると、 の元が得られます。パーセバルの等式
はこの対応が等距離同型であることを示しています。
